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湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含答案
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这是一份湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含答案，共9页。试卷主要包含了 本试卷主要考试内容， 要安排4名学生等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. 2D. 4
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 虚数z满足，则z的虚部为（ ）
A 1B. C. 2D.
4. 已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（ ）
A. B. C. 或D. 或1
6. 要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（ ）
A. 7种B. 8种C. 12种D. 14种
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A. 1B. C. 2D.
8. 已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ）
A. 45B. C. 90D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则a的值可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. ，，成等差数列
C. ，，成等比数列D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______.
13. 已知数列的前n项和满足，则______.
14. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求A；
（2）若，的面积为，求a.
16. 已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.
（1）求C方程；
（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.
17. 如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形，，，.
（1）证明：.
（2）若直线BE与平面ABC所成角为，求二面角的正弦值.
18. 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
19. 若函数满足对于任意的，恒成立，则称为“反转函数”.已知函数，.
（1）当时，证明：“反转函数”.
（2）已知有三个零点，，，且.
①求a的取值范围；
②证明：.
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.B
5.C
6.A
7.B
8.A
9.A D
10.A C
11. A C D
12.
13.
14.0.5
15.（1）
（2）
16.（1）
（2）
17.（1）证明：因为四边形为等腰梯形，，所以，
取的中点，的中点，连接，
则，，所以，，
从而四边形为平行四边形， 则，，
在中，，且为的中点，所以，
因为平面平面， 且平面平面，
平面，所以平面，
又，所以平面.
又平面，所以，
，，
由，，得.
（2）
18.（1）
（2）选
19.（1）当时，得，
gx=fx−f1x=2lnx+1x−xx>0，
得g′x=2x−1x2−1=−x−12x2<0，
则在上单调递减.
当时，，当时，
所以对于任意的，，
即x−1fx−f1x<0恒成立.
故为“反转函数”.
（2）①；
②证明：由①可知
由题意得g1x=−2alnx+x−1x=−gx，在上存在唯一零点
且，gx1=g1x1=gx3=0，所以，
有2alnx1=x1−1x12alnx3=x3−1x3，
则2alnx3−lnx1=x3−x1+1x1−1x3=x3−x1+x3−x1x1x3=2x3−x1，
得alnx3−lnx1=x3−x1，即，
要证，即证，即x3+x1>6x3−x1lnx3−lnx1−4
得lnx3−lnx1>6x3−x1x3+x1+4，
即证6×1x3x3+1x3+4−ln1x3>6x3x3+1x3+4−lnx3x3>1，
设函数Px=6xx+1x+4−lnx=6x2x2+4x+1−lnx，
得P1x=6x21x2+4x+1−ln1x=61+4x+x2+lnx，
令hx=Px−P1x=6x2−1x2+4x+1−2lnx，
则h′x=212x2+12x+12x2+4x+12−1x=−2×x4−4x3+6x2−4x+1xx2+4x+12=−2x−14xx2+4x+12≤0
所以在上是减函数，
所以P1x3=6×1x3x3+1x3+4−ln1x3>Px3=6x3x3+1x3+4−lnx3x3>1，
故不等式得证.
注意事项：
1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. 2D. 4
2. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 虚数z满足，则z的虚部为（ ）
A 1B. C. 2D.
4. 已知，是两个平面，m，n，l是三条直线，且，，，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（ ）
A. B. C. 或D. 或1
6. 要安排4名学生（包括甲）到A，B两个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有1名志愿者，且甲不去A乡村，则不同的安排方法共有（ ）
A. 7种B. 8种C. 12种D. 14种
7. 《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于家畜偷吃禾苗的问题.假设有羊、骡子、马、牛吃了别人的禾苗，禾苗的主人要求羊的主人、骡子的主人、马的主人、牛的主人共赔偿12斗粟.羊的主人说：“羊吃得最少，羊和骡子吃的禾苗总数只有马和牛吃的禾苗总数的一半.”骡子的主人说：“骡子吃的禾苗只有羊和马吃的禾苗总数的一半.”马的主人说：“马吃的禾苗只有骡子和牛吃的禾苗总数的一半.”若按照此比率偿还，则羊的主人应赔偿的粟的斗数为（ ）
A. 1B. C. 2D.
8. 已知为偶函数，若函数与图象的交点为，，…，，则（ ）
A. 45B. C. 90D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于点对称，则a的值可能为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. ，，成等差数列
C. ，，成等比数列D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知正四棱柱的底面边长为2，高为6，则该正四棱柱的外接球的表面积为______.
13. 已知数列的前n项和满足，则______.
14. 已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，椭圆C的离心率为，P是C在第一象限上的一点.若，则______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且.
（1）求A；
（2）若，的面积为，求a.
16. 已知F为抛物线C：的焦点，且C上一点到点F的距离为4.
（1）求C方程；
（2）若斜率为2的直线l与C交于A，B两点，且，求l的方程.
17. 如图，在多面体ABCDE中，平面平面ABC，四边形BCDE为等腰梯形，，，.
（1）证明：.
（2）若直线BE与平面ABC所成角为，求二面角的正弦值.
18. 某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，.
（1）若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确概率.
（2）知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？
19. 若函数满足对于任意的，恒成立，则称为“反转函数”.已知函数，.
（1）当时，证明：“反转函数”.
（2）已知有三个零点，，，且.
①求a的取值范围；
②证明：.
参考答案
1.D
2.B
3.A
4.B
5.C
6.A
7.B
8.A
9.A D
10.A C
11. A C D
12.
13.
14.0.5
15.（1）
（2）
16.（1）
（2）
17.（1）证明：因为四边形为等腰梯形，，所以，
取的中点，的中点，连接，
则，，所以，，
从而四边形为平行四边形， 则，，
在中，，且为的中点，所以，
因为平面平面， 且平面平面，
平面，所以平面，
又，所以平面.
又平面，所以，
，，
由，，得.
（2）
18.（1）
（2）选
19.（1）当时，得，
gx=fx−f1x=2lnx+1x−xx>0，
得g′x=2x−1x2−1=−x−12x2<0，
则在上单调递减.
当时，，当时，
所以对于任意的，，
即x−1fx−f1x<0恒成立.
故为“反转函数”.
（2）①；
②证明：由①可知
由题意得g1x=−2alnx+x−1x=−gx，在上存在唯一零点
且，gx1=g1x1=gx3=0，所以，
有2alnx1=x1−1x12alnx3=x3−1x3，
则2alnx3−lnx1=x3−x1+1x1−1x3=x3−x1+x3−x1x1x3=2x3−x1，
得alnx3−lnx1=x3−x1，即，
要证，即证，即x3+x1>6x3−x1lnx3−lnx1−4
得lnx3−lnx1>6x3−x1x3+x1+4，
即证6×1x3x3+1x3+4−ln1x3>6x3x3+1x3+4−lnx3x3>1，
设函数Px=6xx+1x+4−lnx=6x2x2+4x+1−lnx，
得P1x=6x21x2+4x+1−ln1x=61+4x+x2+lnx，
令hx=Px−P1x=6x2−1x2+4x+1−2lnx，
则h′x=212x2+12x+12x2+4x+12−1x=−2×x4−4x3+6x2−4x+1xx2+4x+12=−2x−14xx2+4x+12≤0
所以在上是减函数，
所以P1x3=6×1x3x3+1x3+4−ln1x3>Px3=6x3x3+1x3+4−lnx3x3>1，
故不等式得证.
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