2025-2026学年安徽省合肥市第八中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年安徽省合肥市第八中学高一（下）期末数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一个容量为10的样本，则男生应抽取（ ）
A. 3人B. 4人C. 5人D. 6人
2.在△ABC中，，则B=（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°
3.设l是一条直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若l∥α，l∥β，则α∥βB. 若α⊥β，l∥α，则l⊥β
C. 若l∥α，l⊥β，则α⊥βD. 若α⊥β，l⊥α，则l∥β
4.若两个非零向量，满足|+|=|-|=2||，则向量+与-的夹角是（ ）
A. B. C. D.
5.下列说法中，正确的是（ ）
A. 已知一个底面半径分别为r1，r2的圆台有内切球的充要条件是圆台的母线长为r1+r2
B. 已知数据2，3，5，7，8，9，10，11则该组数据的第三四分位数为9
C. 一组样本数据的频率分布直方图是单峰形状且向右拖尾，该组数据平均数小于中位数
D. 若P（A）＞0，P（B）＞0，则存在事件A、B彼此互斥与相互独立同时成立
6.如图，在四面体C-OAB中，OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC且OA=OB，D为四面体C-OAB外一点，要使CD⊥AB，需要添加的条件是（ ）
A. CD⊥OC
B. CD=OC
C. DA=DB
D. DA⊥DB
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N是棱BC的中点，点M在四边形DCC1D1内部运动（包括边界）.设直线A1D1与直线MN所成的角为θ，则当MN∥平面BB1D1D时，tanθ的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
8.半径2的圆O的内接正五边形P1P2…P5中，P是圆上的动点，则=（ ）
A. 36B. 40C. A4D. 48
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知复数z1=1+i,z2=-2+3i,则（ ）
A. z1+z2=-1+4iB. z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限
C. 的虚部为2iD.
10.设全集U={（x,y）|x,y∈（-2，-1，1，2）}，平面内共16个整数点，定点P（1，1），记样本空间Ω=CU（P），从Ω中随机取一点，定义三个事件：A=“x=1”，B=“y=2”，C=“x+y=0”，从全集U中随机取一点，定义三个事件X=“x＞0”，Y=“y＞0”，z=”xy＞0”，下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件A、B相互独立
C. D. 三事件X，Y，Z两两独立但不相互独立
11.现有3个半径为2且完全相同的小球，若要将这3个小球放入封闭型容器中（容器壁的厚度忽略不计），则这个容器可以是（ ）
A. 底面边长为，高为4的正三棱锥B. 底面边长为7，高为12的正三棱柱
C. 直径为9的球体D. 长为8，宽为4，高为的长方体
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则m= .
13.如图，四面体ABCD中，AC=3，BD=2，M、N分别为AB、CD的中点.若异面直线AC与BD所成角的大小为60°，则MN的长为 .
14.直角三角形DEF的三个顶点分别在等边三角形ABC的边AB，BC，CA上，且∠DEF=60°，∠EDF=30°，求的最小值 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为CD和AD的中点.
（1）求证：四点M，N，A1，C1共面；
（2）若沿着平面MNA1C1将正方体截成两部分.
①请判断几何体MND-C1A1D1是否是台体（说明理由）；
②求截得的较小与较大部分体积比.
16.(本小题15分)
为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为[2，10]），将其分数记为满意指数.根据打分结果按[2，4），[4，6），[6，8），[8，10]分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在[2，4）内的学生有15人.
（1）求图中a,b的值；
（2）利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；
（3）若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差s2.
（注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
17.(本小题15分)
如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=PD=AD=1，PA=，cs∠PAB=.
（1）求证：平面PAD⊥平面ABCD；
（2）求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
（请用几何法求解，向量坐标法不计分）
18.(本小题17分)
在正三棱合ABC-A1B1C1中，AB=6，AA1=A1B1=3，点O为△ABC的重心.
（1）求证：A1O⊥BC.
（2）棱A1C1上是否存在一点P使得OP∥平面BCC1B1？若存在，求出线段比值A1P：PC1，不存在说明理由.
（3）若侧棱AA1上有一动点D，求直线BD与平面BCC1B1所成角θ的正弦值的取值范围.
（请用几何法求解，向量坐标法不计分）
19.(本小题17分)
在△ABC中，a,b,c分别是角A，B，C的对边，且bcsC-c=a-bsinC，点D是线段AB的中点，点E在线段BC上，且，线段CD与线段AE交于点M.
（1）求角B；
（2）若AB=2，BC=3，求cs∠AMC；
（3）①若△ABC为锐角三角形且b=2，求△AMC中AC边上的高线MH的取值范围.
②过点M的动直线交△ABC的边AB和BC分别交于点P、Q，∠BPQ=α，请用适当的方法探究出角α与△ABC的边a,b,c和角A，B，C之间的一个等量关系并写出，无需证明.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】AD
10.【答案】ACD
11.【答案】BCD
12.【答案】-2
13.【答案】或
14.【答案】
15.【答案】证明：正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接AC，
如下图所示：

易得AA1=CC1，AA1∥CC1，则四边形AA1C1C为平行四边形，则AC∥A1C1，AC=A1C1，
又以为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN∥AC，且MN=AC，
所以MN∥A1C1，所以四点M，N，A1，C1共面
①几何体MND-C1A1D1是台体；理由如下：MN≠A1C1，则可延长A1N、C1M使得A1N∩C1M=S，所以S∈A1N、S∈C1M，
又因为A1N⊂面A1D1D、C1M⊂面C1D1D，面A1D1D∩面C1D1D=D1D，则S∈D1D，
所以A1N、D1D、C1M三线共点，
M，N分别是CD，AD的中点，所以有==，所以∠A1D1C1=∠NDM=90°，
所以△NDM与△A1D1C1相似，
由面NDM∥面A1D1C1，所以几何体MND-C1A1D1是台体；②
16.【答案】a=0.10，b=0.15

17.【答案】连接BD，过点B作BE⊥AD于点E，
因为AD∥BC，AB=BC=CD=AD=1，
所以AE=，DE=，BE=，
所以BD==，
在△PAB中，PA=，AB=1，cs∠PAB=，
由余弦定理得，PB2=PA2+AB2-2PA•ABcs∠PAB=5+1-2×=4，
又PD=1，
所以PB2=PD2+BD2，即PD⊥BD，
因为PD=AD=1，PA=，所以PA2=PD2+AD2，即PD⊥AD，
又BD∩AD=D，BD、AD⊂平面ABCD，
所以PD⊥平面ABCD，
而PD⊂平面PAD，
所以平面PAD⊥平面ABCD

18.【答案】证明：连接AO并延长交BC于M，由于点O为正△ABC的重心，
故M为BC的中点，则AM⊥BC，
设点O1为正△A1B1C1的重心，连接A1O1，并延长交B1C1于E，则E为B1C1的中点，
根据正三棱台的性质得AM∥A1E，即A，M，E，A1共面；连接OO1，则OO1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故OO1⊥BC；又AM∩OO1=O，AM，OO1⊂平面AMEA1，
故BC⊥平面AMEA1，因为A1O⊂平面AMEA1，
故BC⊥A1O，
即A1O⊥BC
棱A1C1上存在一点P，使得OP∥平面BCC1B1，A1P：PC1=1：2

19.【答案】
①；②（答案不唯一）