安徽省合肥市第八中学2024−2025学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份安徽省合肥市第八中学2024−2025学年高一上学期期末考试数学试卷，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（ ）
A．B．C．D．
4．若，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
6．若定义域均为的函数，满足：，且，使得，则称与互为“亲近函数”已知与互为“亲近函数”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（ ）
A．或B．或1C．或2D．1或
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．函数且的图象必过定点
B．方程的解集为
C．
D．角终边上一点的坐标是，则
10．下列命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若实数满足，则
D．关于的方程的一个根比2大，另一个根比2小，则实数的取值范围是
11．已知函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，是奇函数
D．方程在上有两个根，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是奇函数，则 .
13．已知，则 .
14．已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点，则的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设集合.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16．设，且.
(1)求的值及的定义域；
(2)求在区间上的最值.
17．在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边与单位圆交于点，已知.
(1)若的纵坐标为，求的值；
(2)若，求的值.
18．已知函数的最大值为．
(1)求的值；
(2)求函数的单调递减区间；
(3)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：，
19．2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会的吉祥物产自中国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出.若以80元的单价出售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费；若购进30万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为.
(1)当购进产品数量为10万件时，利润是多少？
(2)写出利润万元关于购进产品数量（万件）的函数解析式？（利润销售收入-成本）
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
参考答案
1．【答案】C
【详解】，
则.
故选：C.
2．【答案】B
【详解】命题“”的否定是：.
故选：B.
3．【答案】B
【详解】因为茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，
且喝茶的最佳口感水温大约是，
当时，由可得，合乎题意；
当时，由，解得，舍去.
综上所述，.
因此，需要等待的时间为.
故选：B.
4．【答案】D
【详解】，
又，则，
因为，则，故，
综上所述，.
故选：D.
5．【答案】B
【详解】由，即，
解得或，由，
即，因为，
不等式的解集为，
结合题意，此时原不等式组的解集为，且仅有一个整数解，
所以.
故选：B.
6．【答案】D
【详解】在上为增函数，且，
故是的唯一零点，要使和互为“亲近函数”，
则存在，使得，即在内存在零点，
所以方程有解，
令，则，
故，易知不是此方程的解
当时，有，
由对勾函数的性质可知，，
故的取值范围是.
7．【答案】A
【详解】由，得，即，
则，
故
．
故选：A.
8．【答案】D
【详解】因为，①
分别是定义在上的偶函数和奇函数，
所以，
即，②
由①+②，得，
由①-②，得，
又因为有唯一零点，
即有唯一解，
因为为偶函数，图象关于轴对称，
所以图象关于轴对称，
的图象也关于轴对称，
所以的图象关于轴对称，
所以，即，解得或.
故选：D.
9．【答案】AC
【详解】因为，所以的图象必过定点，A正确；
由可得，B错误；
，C正确；
当时，，则，D错误.
故选：AC.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，当，不成立，故A不正确；
对于B，当，则，故B正确；
对于C，令，
函数在R上单调递增，所以在定义域上单调递增，
因为，
所以，即，得，故C正确；
对于D，令，
方程的一个根比2大，另一个根比2小，
等价于，可得，故D正确.
故选：BCD.
11．【答案】AD
【详解】由的图象知，，由过点，得，
又，则，当时，，又的图象过点，
则，解得，，
由最小正周期为，得，无解，即不符合题意；
当时，，而，则，
，于是，而，则，A正确，B错误；
函数，，
，函数不是奇函数，C错误；
由图象知，函数在上递增，在上递减，且，
则当方程在上有两个根时，，D正确.
故选：AD
12．【答案】
【详解】根据题意，是奇函数，其定义域为，
则有，必有，
当时，，其定义域为，
，
为奇函数，符合题意.
故答案为：.
13．【答案】7.
【详解】已知，
则，
即，
则，
则，
则.
故答案为：7.
14．【答案】.
【详解】
，
由，且，则，
且在区间上只有一个最大值点和一个零点，
，解得，
的取值范围为：.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1），
时，，
.
（2）是的充分不必要条件，即A⫋，
又且，
（等号不同时成立），解得，
故的范围为.
16．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）因为，
则，
由题意可得，解得，
故函数定义域为；
（2）由（1）可得，
令，
根据二次函数的性质可得，当时，
故，
故函数的值域为.
17．【答案】(1)或；
(2).
【详解】（1）
，
，
若的纵坐标为，则，
当时，时，；
当时，；
综上，或；
（2）因为，
所以，
，
.
18．【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）
，
所以，即；
（2），
令，
即，，
所以函数的单调递减区间，
（3）因为，
所以，
由泰勒公式得：
所以．
19．【答案】(1)200（万元）；
(2)
(3)当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）
【详解】（1）（万元）.
所以当购进产品数量为10万件时，利润是200万元.
（2）当时，，
当时，不妨设降价元，购进产品全部售出，
则，得到，
所以，
当时，，
所以
（3）由（2）知，当时，，
当（万件），利润最大，此时利润是450（万元），
当时，，
当（万件），利润最大，此时利润是500（万元），
当时，，
当且仅当，即，
当（万件），利润最大，此时利润是910（万元），
因为，所以当（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）.