2025--2026学年安徽合肥市第八中学高一下册期中检测数学试题 [含答案]

这是一份2025--2026学年安徽合肥市第八中学高一下册期中检测数学试题 [含答案]，共5页。试卷主要包含了 若是第四象限角，则点在， 若的三个内角满足，则的形状是， 下列说法中正确的是， 关于复数， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若是第四象限角，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在中，是上一点，满足是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
3. 若的三个内角满足，则的形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 以上都有可能
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
B. 用一个平面去截圆锥，一定会得到一个圆锥和一个圆台
C. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得到的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成的
D. 球的截面可以是椭圆
5. 如图，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为，则该建筑物的高度为（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，直三棱柱中，点分别为和的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 2D. 3
二､多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A.
B. 复数对应的点在第二象限
C.
D. 复数是方程的一个根
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 若的图象关于直线对称，则的最小值是2
D. 若在区间上有且只有一个最大值，则的取值范围是
11. 在锐角中，角对应的边分别为，且.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 角的范围是
C. 若是边上的一点，满足，则可以等于16
D. 的取值范围是
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数是纯虚数，则实数__________.
13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.
14. 如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________.
四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，且与向量共线.
（1）求的值；
（2）若与垂直，求实数的值.
16. 已知，其中为锐角，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
17. 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱.
（1）求圆锥的表面积与体积；
（2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少.
18. 已知点是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的对称中心及在上的减区间；
（3）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围.
19. 在斜三角形中，内角的对边分别为，记.
（1）若，求的最小值；
（2）若，且为锐角，求的最大值；
（3）若，请写出的解析式.
数学
满分为150分，考试时间为120分钟.
一､选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若是第四象限角，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
答案：D
解析：
思路：根据题意可判断的余弦和正切的符号，进而判断点横纵坐标的正负，得到答案.
解答过程：因为是第四象限角，所以，即点在第四象限
故选：D.
2. 在中，是上一点，满足是的中点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
答案：C
解析：
思路：利用平面向量线性运算计算即可.
解答过程：是的中点，，
又，
从而得到，进而可知.
3. 若的三个内角满足，则的形状是（ ）
A. 钝角三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 以上都有可能
答案：A
解析：
思路：由正弦定理可得可设，，，再由余弦定理判断最大角的余弦值符号即可求解.
解答过程：由，得，设，，（），
则由余弦定理有：，又，
所以，即为钝角；
故选：A.
4. 下列说法中正确的是（ ）
A. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
B. 用一个平面去截圆锥，一定会得到一个圆锥和一个圆台
C. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得到的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成的
D. 球的截面可以是椭圆
答案：A
解析：
解答过程：A､有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，符合棱柱的定义，正确.
B､用平行于底面的平面去截圆锥，一定会得到一个圆锥和一个圆台，用其它平面去截圆锥，不会得到一个圆锥和一个圆台，故错误；
C､将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆柱和两个圆锥组合而成的，而不是一个圆台和两个圆锥，故错误；
D､球的截面一定是圆，故错误；
5. 如图，为测量一建筑物的高度，在地面上选取两点，从两点测得建筑物顶端的仰角分别为，且两点间的距离为，则该建筑物的高度为（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：
解答过程：在中，，
，
由正弦定理，得，
所以建筑物的高度为.
6. 如图，已知是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），为其中心，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据正六边形的对称性，结合平面向量数量积的几何意义进行求解即可.
解答过程：由正六边形的对称性可知，易知正六边形的每个内角为.
设与的夹角为，则，
所以当最大时，取得最大值；
当最小时，取得最小值.
可知当与重合时，取得最大值，
，此时..
当与重合时，取得最小值，此时，
此时，故的取值范围为.
7. 如图，直三棱柱中，点分别为和的中点，则三棱锥与四棱锥的体积之比为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
解答过程：
连接，对于三棱锥与三棱锥，二者高相等，
因为是的中点，所以底面积，
所以．
对于三棱锥与四棱锥，由于二者高相等，
底面积，所以．
所以，所以．
8. 已知为正内的一点，且满足，若的面积与的面积的比值为4，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 2D. 3
答案：D
解析：
思路：由，得到，根据的面积与的面积比值为4，即可求解.
解答过程：由于，即.
如图所示，分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，
故，
在正中，，
，则.
故选D.
二､多选题：本题3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（ ）
A.
B. 复数对应的点在第二象限
C.
D. 复数是方程的一个根
答案：ACD
解析：
思路：利用复数模公式，共轭复数概念，复数乘法，复数对应点坐标，复数方程根逐项分析即可.
解答过程：对于A，因为复数，所以，故A正确；
对于B，因为复数，
所以对应的点为位于第四象限，故B错误；
对于C，因为复数，
所以，故C正确；
对于D，因为复数，
所以，故D正确.
10. 已知函数，则（ ）
A.
B. 在区间上单调递增
C. 若的图象关于直线对称，则的最小值是2
D. 若在区间上有且只有一个最大值，则的取值范围是
答案：AC
解析：
思路：由余弦二倍角公式及辅助角公式可判断A，由，求得 的范围，可判断B，通过对称轴代入，可判断C，由，求得 的范围，再结合正弦函数性质可判断D.
解答过程：因为A正确；
因为，所以，所以在区间上不单调，B错误；
因为的图象关于直线对称，
所以，所以，
又因为，所以，所以当时，取得最小值，最小值是，C正确；
因为，所以，
因为在区间上有且只有一个最大值，
所以，所以D错误.
11. 在锐角中，角对应的边分别为，且.则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 角的范围是
C. 若是边上的一点，满足，则可以等于16
D. 的取值范围是
答案：ABD
解析：
解答过程：解：对于，由，得及正弦定理
有，
所以，
因为，
所以，得，故A正确；
对于B，由锐角中，，
得，可得，故B正确；
对于C，由题意，在锐角中，由，可知为的平分线，
由A选项可知，所以，
设，则，
所以，
由，
得，
即，
所以，故不可能等于16，故C错误；
对于D，由，
设，由，得，
又在上单调递增，
则值域为，故D正确.
三､填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
12. 若复数是纯虚数，则实数__________.
答案：0
解析：
解答过程：因为为实数，且复数是纯虚数，
所以，且，解得（舍去）.
13. 的内角的对边分别为.已知，则的面积为__________.
答案：
解析：
解答过程：的内角的对边分别为.
，
利用正弦定理可得，
由于，
所以，
所以，则或
由于，故为锐角，所以，
由，得，解得，
所以.
14. 如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________.
答案：
解析：
思路：求出原正四面体外接球的半径，从而可求出多面体外接球的球心到底面的距离，求出多面体的棱长，即可求出其外接球的半径，从而可求出外接球的表面积.
解答过程：解：由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为，
则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较，
表面积少了8个边长为的正三角形的面积，
所以该多面体的表面积为，所以.
如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心，
由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上，
.
设球的半径为，在中，，所以，
在中，，
所以，
所以，解得，所以，
所以该多面体外接球的表面积.
四､解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知向量，且与向量共线.
（1）求的值；
（2）若与垂直，求实数的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）根据平面向量线性运算坐标表示公式，结合平面向量共线的坐标表示公式进行求解即可；
（2）根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.
（1）.
因为与共线，所以，解得；
（2）由（1）知，
所以，
由与垂直，
得，
所以，解得.
16. 已知，其中为锐角，，已知.
（1）求的值；
（2）若，求的值.
答案：（1）
（2）解析：
思路：（1）由两点间距离公式得，展开即可得解；
（2）求出，利用两角差的余弦公式即可得解.
（1）由，得，
.
（2）为锐角，.
.
17. 如图，一个圆锥的底面半径为1，高为4，在圆锥中有一个内接圆柱.
（1）求圆锥的表面积与体积；
（2）设圆柱的底面半径为，当为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少.
答案：（1），
（2）解析：
思路：（1）根据圆锥的表面积及体积公式计算即可；
（2）根据相似计算出圆柱的高，再写出表面积公式再结合二次函数得出最大值.
（1）如图：圆锥的母线；
；
（2）记圆柱的表面积为，圆柱高为，则.
，即，
解得，其中；
所以，
当时，.
18. 已知点是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的对称中心及在上的减区间；
（3）若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围.
答案：（1）
（2）对称中心为；减区间为；
（3）或.
解析：
思路：（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；
（2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间；
（3）设，将方程转化为函数与直线公共点问题.
（1）角的终边经过点，
.
由时，的最小值为，
得，即；
（2）令，即，即，
所以函数的对称中心为
令，得，
又因为，所以在上的减区间为；
（3）.设，则，
因为当时，方程只有一个解，不符合题意，
所以上述问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根.
.作出曲线与直线的图象.
时，时，时，.
∴当或时，直线与曲线有且只有一个公共点.
的取值范围是：或.
19. 在斜三角形中，内角的对边分别为，记.
（1）若，求的最小值；
（2）若，且为锐角，求的最大值；
（3）若，请写出的解析式.
答案：（1）最小值为；
（2）最大值为；
（3）解析：
思路：（1）由余弦定理结合基本不等式可求出的最小值.
（2）利用三角恒等变换可得，利用余弦定理可得，利用，结合基本不等式可求最大值；
（3）由已知可得，运用三角恒等变换可得，
（1）因为，所以，
所以由余弦定理得
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为；
（2）因为，
所以，
所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，
由余弦定理可得，
所以，
当且仅当时取等号，所以，所以的最大值为2；
（3）因为，所以由正弦定理可得，
于是，
所以，所以，
所以，
所以，所以，
所以.