安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份安徽省合肥市第八中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}（ ）
A．{x|x＞2}B．RC．{x|1＜x＜2}D．{x|x＞1}
2．（5分）命题“∀x≥1，x2﹣2x﹣1≤0”的否定是（ ）
A．∃x＜1，x2﹣2x﹣1≤0B．∃x≥1，x2﹣2x﹣1＞0
C．∀x＜1，x2﹣2x﹣1≤0D．∀x＜1，x2﹣2x﹣1＞0
3．（5分）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y（单位：℃）（单位：min）满足关系式y＝若喝茶的最佳口感水温大约是60℃（ ）
A．1.5minB．2minC．3minD．4min
4．（5分）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．b＜a＜c
5．（5分）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．[4，5）B．（4，5]C．[3，4）D．（3，4]
6．（5分）若定义域均为D的函数f（x），g（x）满足：∃x1，x2∈D，且x2﹣x1∈（﹣m，m），使得f（x1）＝g（x2）＝0，则称f（x）与g（x）（x）＝ln（x+1）与g（x）2x﹣acsx+1互为“亲近函数”，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[2，+∞）
7．（5分）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）（x）＝csx+sinx﹣x，若函数f（x）|x﹣2025|+λg（x﹣2025）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为（ ）
A．﹣1或B．﹣2或1C．﹣1或2D．1或
二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。）
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，﹣1）
B．方程的解集为{﹣1，4}
C．
D．角α终边上一点P的坐标是（a，2a），则
（多选）10．（6分）下列命题中，正确的是（ ）
A．若a＜b，则a2＜b2
B．若b＞a＞0，m＞0，则
C．若实数x，y满足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，则x﹣2y＜0
D．关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数a的取值范围是（﹣，0）
（多选）11．（6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．ω＝2
B．
C．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，g（x）是奇函数
D．方程f（x）＝a在上有两个根，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．（5分）已知是奇函数，则a＝ ．
13．（5分）已知si，则＝ ．
14．（5分）已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15．（13分）设集合A＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）若m＝6，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
16．（15分）设f（x）＝lga（1+x）+lga（5﹣x）（a＞0，a≠1），且f（2）＝﹣2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间上的最值．
17．（15分）在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于点P．
（1）若P的纵坐标为，求f（α）的值；
（2）若，求的值．
18．（17分）已知函数的最大值为3．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）英国数学家泰勒（B．Taylr，1685﹣1731）发现了如下公式：n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2），该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想的值．（结果精确到小数点后3位，参考数据：，
19．（17分）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，感受到中国发展的脉搏．巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会80%的吉祥物产自中国．据调查，需要固定投入300万元费用．假设购进该款产品全部售出．若以80元的单价出售，可售出15万件，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售（x）（万元）与销量x（万件）的关系为．
（1）当购进产品数量为10万件时，利润是多少？
（2）写出利润W（x）万元关于购进产品数量x（万件）的函数解析式？（利润＝销售收入﹣成本）
（3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
2024-2025学年安徽省合肥八中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜0}，B＝{x|y＝ln（x﹣1）}（ ）
A．{x|x＞2}B．RC．{x|1＜x＜2}D．{x|x＞1}
【答案】C
【分析】先求出集合A，B，然后结合集合交集运算即可求解．
【解答】解：A＝{x|（x+1）（x﹣2）＜6}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|y＝ln（x﹣8）}＝{x|x＞1}，
则A∩B＝{x|1＜x＜4}．
故选：C．
2．（5分）命题“∀x≥1，x2﹣2x﹣1≤0”的否定是（ ）
A．∃x＜1，x2﹣2x﹣1≤0B．∃x≥1，x2﹣2x﹣1＞0
C．∀x＜1，x2﹣2x﹣1≤0D．∀x＜1，x2﹣2x﹣1＞0
【答案】B
【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．
【解答】解：命题“∀x≥1，x2﹣7x﹣1≤0”的否定是：∃x≥7，x2﹣2x﹣8＞0．
故选：B．
3．（5分）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度y（单位：℃）（单位：min）满足关系式y＝若喝茶的最佳口感水温大约是60℃（ ）
A．1.5minB．2minC．3minD．4min
【答案】B
【分析】分别令60＝﹣5t+70和，求出t后检验是否符合范围．
【解答】解：令60＝﹣5t+70，解得t＝2；
令，解得t＝3；
所以需要等待的时间为2min．
故选：B．
4．（5分）若，，，则a、b、c的大小关系是（ ）
A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．c＜b＜aD．b＜a＜c
【答案】D
【分析】结合对数的单调性，基本不等式的公式，即可求解．
【解答】解：＝，且a＞0，
则a＞b，
6＞8e，
则，
故a＜c，
综上所述，b＜a＜c．
故选：D．
5．（5分）已知关于x的不等式组仅有一个整数解，则k的取值范围为（ ）
A．[4，5）B．（4，5]C．[3，4）D．（3，4]
【答案】B
【分析】由已知结合二次不等式的求法分别求出各不等式的解集，即可求解．
【解答】解：由x2﹣x﹣6＞6，即（x﹣3）（x+2）＞4，
由2x2+（5﹣2k）x﹣k＜0，即（4x+1）（x﹣k）＜0，
不等式（6x+1）（x﹣k）＜0的解集为，结合题意，k），
所以4＜k≤6．
故选：B．
6．（5分）若定义域均为D的函数f（x），g（x）满足：∃x1，x2∈D，且x2﹣x1∈（﹣m，m），使得f（x1）＝g（x2）＝0，则称f（x）与g（x）（x）＝ln（x+1）与g（x）2x﹣acsx+1互为“亲近函数”，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．（﹣2，2）
C．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）D．[2，+∞）
【答案】D
【分析】根据题目新定义，结合换元法求解．
【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在R上为增函数，且f（0）＝0，
要使f（x）和g（x）互为“亲近函数”，
则存在，使得g（x2）＝f（0）＝8，
即g（x）在内存在零点，
所以方程acsx＝cs6x+1有解，
令t＝csx，则t∈（0，故at＝t4+1，
易知t＝0不是此方程的解；
当t∈（2，1]时，有，，
故a的取值范围是[2，+∞）．
故选：D．
7．（5分）已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由诱导公式，结合两角和与差的三角函数及二倍角公式求解．
【解答】解：已知，
则，
即，
则＝＝﹣cs＝＝．
故选：A．
8．（5分）已知函数g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g（x）（x）＝csx+sinx﹣x，若函数f（x）|x﹣2025|+λg（x﹣2025）﹣2λ2有唯一零点，则实数λ的值为（ ）
A．﹣1或B．﹣2或1C．﹣1或2D．1或
【答案】D
【分析】由题意可得g（x）＝csx，从而可得f（x）的图象关于x＝2025对称，即得f（2025）＝0，代入求解即可．
【解答】解：因为g（x）+h（x）＝csx+sinx﹣x，①
g（x），h（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，
所以g（﹣x）+h（﹣x）＝cs（﹣x）+sin（﹣x）+x，
即g（x）﹣h（x）＝csx﹣sinx+x，②
由①+②，得g（x）＝csx，
由①﹣②，得h（x）＝sinx﹣x，
又因为f（x）＝3|x﹣2025|+λg（x﹣2025）﹣2λ6有唯一零点，
即3|x﹣2025|+λcs（x﹣2025）﹣2λ7＝0有唯一解，
因为y＝3|x|为偶函数，图象关于y轴对称，
所以y＝2|x﹣2025|图象关于x＝2025轴对称，
y＝cs（x﹣2025）的图象也关于x＝2025轴对称，
所以y＝f（x）的图象关于x＝2025轴对称，
所以f（2025）＝0，
即1+λ﹣3λ2＝0，
解得λ＝4或﹣．
故选：D．
二、多选题（本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。）
（多选）9．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．函数f（x）＝ax﹣1﹣2（a＞0且a≠1）的图象必过定点（1，﹣1）
B．方程的解集为{﹣1，4}
C．
D．角α终边上一点P的坐标是（a，2a），则
【答案】AC
【分析】结合指数函数，对数函数定义检验选项AB，结合三角函数的定义检验选项CD即可．
【解答】解：根据指数函数的性质可知，f（x）＝ax﹣1﹣2的图象必过定点（5，﹣1）；
由3x+4＝x2﹣3＞6可得x＝4，B错误；
tan（﹣）＝﹣tan，C正确；
当a＜0时，D显然错误．
故选：AC．
（多选）10．（6分）下列命题中，正确的是（ ）
A．若a＜b，则a2＜b2
B．若b＞a＞0，m＞0，则
C．若实数x，y满足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，则x﹣2y＜0
D．关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数a的取值范围是（﹣，0）
【答案】BCD
【分析】结合不等式性质检验选项AB，结合函数单调性检验选项C；结合二次方程根的分布检验选项D．
【解答】解：对于A，当a＜b＜0，故A不正确；
对于B，当b＞a＞0，则，故B正确；
对于C．令，易知f（x）在定义域上单调递增，
因为7x+9﹣y＜3﹣x+3y，
所以f（x）＝2x﹣3﹣x＜42y﹣3﹣5y＝f（2y），即x＜2y，故C正确；
对于D，令f（x）＝x7+（a2﹣1）x+a﹣8，
方程x2+（a2﹣6）x+a﹣2＝0的一个根比4大，另一个根比2小2+a＜6，可得．
故选：BCD．
（多选）11．（6分）已知函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（ ）
A．ω＝2
B．
C．将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，g（x）是奇函数
D．方程f（x）＝a在上有两个根，则
【答案】AD
【分析】由f（x）的图象求出A，根据f（x）过点（0，1）得出csφ，求出φ，再求出ω；写出f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：由f（x）的图象知，A＝2，
又函数f（x）＝2cs（ωx+φ）过点（2，1），解得csφ＝，
又，所以；
当时，，
又函数过点，
解得，所以，
所以ω＝﹣2+12k，k∈Z；①
又最小正周期为，所以0＜ω＜2；②
由①②可得无解，所以．
当，f（x）＝8cs （ωx﹣），
又函数f（x）＝2cs （ωx﹣）过点（，
所以f（x）＝2cs （ω﹣，解得cs （）＝1，
所以ω﹣，k∈Z，k∈Z；③
又最小正周期＞4×＝；④
由③④可得ω＝7，所以函数f（x）＝2cs （2x﹣），B错误；
由函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，
可得g（x）＝2cs[2（x﹣）﹣），
所以g（x）不是奇函数，选项C错误．
f（x）＝2cs（2x﹣）在[0，，在[，，
且f（0）＝6，f（，f（，选项D正确．
故选：AD．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）
12．（5分）已知是奇函数，则a＝ ﹣1 ．
【答案】﹣1．
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝＝0，求出a的值，验证可得答案．
【解答】解：根据题意，是奇函数，
则有f（0）＝＝0，
当a＝﹣5时，f（x）＝x﹣e﹣x）csx，其定义域为R，
f（﹣x）＝（ex﹣e﹣x）csx＝（e﹣x﹣ex）cs（﹣x）＝﹣（ex﹣e﹣x）csx＝﹣f（x），
f（x）为奇函数，符合题意．
故答案为：﹣4．
13．（5分）已知si，则＝ 7 ．
【答案】7．
【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解．
【解答】解：已知si，
则sin[（α﹣β）﹣α]＝，
即，
则，
则，
则＝＝7．
故答案为：7．
14．（5分）已知函数在区间上只有一个最大值点和一个零点 ．
【答案】．
【分析】根据二倍角公式和两角差的正弦公式化简f（x）＝，然后根据x即可得出2的范围，然后根据f（x）在上只有一个最大值点和零点即可得出关于ω的不等式，解出ω的范围即可．
【解答】解：＝，
x，且ω＞0，则上只有一个最大值点和一个零点，
∴，解得，
∴ω的取值范围为：．
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
15．（13分）设集合A＝{x|x2﹣2mx+m2﹣4≤0}，B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}．
（1）若m＝6，求A∩B；
（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝{4}；
（2）[0，2]．
【分析】（1）先求出集合A，B，然后结合集合的交集运算即可求解；
（2）结合集合包含关系与充分必要条件的转化即可求解．
【解答】解：（1）B＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤5}，
m＝6时，A＝{x|x2﹣12x+32≤5}＝{x|4≤x≤8}，
∴A∩B＝{7}；
（2）x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A⫋B，
又A＝{x|x2﹣2mx+m4﹣4≤0}＝{x|m﹣2≤x≤m+2} 且m﹣2＜m+6，
∴，解得0≤m≤8，
故m的范围为[0，2]．
16．（15分）设f（x）＝lga（1+x）+lga（5﹣x）（a＞0，a≠1），且f（2）＝﹣2．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求f（x）在区间上的最值．
【答案】（1）a＝，（﹣1，5）；
（2）[﹣2，lg5]．
【分析】（1）由已知先求出a，然后结合对数函数的性质即可求解；
（2）结合二次函数及对数函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）因为f（2）＝lga3+lga3＝﹣3，
则a＝，
由题意可得，解得﹣1＜x＜5，
故函数定义域为（﹣4，5）；
（2）由（1）可得f（x）＝lg[（1+x）（5﹣x）]，
令t（x）＝（4+x）（5﹣x）＝﹣x2+6x+5，
根据二次函数的性质可得，当时，5≤t≤5
故﹣2≤lgt≤lg7，
故函数的值域为[﹣2，lg．
17．（15分）在平面直角坐标系中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边与单位圆交于点P．
（1）若P的纵坐标为，求f（α）的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）或；
（2）﹣．
【分析】（1）结合诱导公式进行化简，然后结合同角基本关系进行化简即可求解；
（2）结合和差角公式及同角基本关系进行化简即可求解．
【解答】解：（1）∴
＝，
∴f（α）＝﹣tanα，
若P的纵坐标为，则，，
当时，时，；
当，时，；
综上，或；
（2）因为，
所以，
∴，
＝ ＝．
18．（17分）已知函数的最大值为3．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）英国数学家泰勒（B．Taylr，1685﹣1731）发现了如下公式：n！＝n×（n﹣1）×（n﹣2），该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想的值．（结果精确到小数点后3位，参考数据：，
【答案】（1）a＝﹣1；
（2），k∈Z．
（3）2.081．
【分析】（1）先利用和差角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数取得最值条件即可求解a；
（2）结合正弦函数的单调性即可求解；
（3）由已知公式即可求解．
【解答】解：（1）
＝
＝，
所以f（x）max＝2﹣a＝6，即a＝﹣1，
（2），令，k∈Z，
即，k∈Z，
所以函数f（x）的单调递减区间，k∈Z．
（3）因为，
所以，
由泰勒公式得：，
所以．
19．（17分）2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，感受到中国发展的脉搏．巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会80%的吉祥物产自中国．据调查，需要固定投入300万元费用．假设购进该款产品全部售出．若以80元的单价出售，可售出15万件，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行销售（x）（万元）与销量x（万件）的关系为．
（1）当购进产品数量为10万件时，利润是多少？
（2）写出利润W（x）万元关于购进产品数量x（万件）的函数解析式？（利润＝销售收入﹣成本）
（3）购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
【答案】（1）200（万元）；
（2）；
（3）当x＝40（万件）时，利润最大，此时利润是910（万元）．
【分析】（1）根据题意和已知条件代入求解即可；
（2）对x进行分类讨论写出W（x）的解析式；
（3）对x分类讨论写出各段函数的最大值进行比较．
【解答】解：（1）利润为（80﹣30）×10﹣300＝200（万元）．
（2）当0＜x≤15时，W（x）＝（80﹣30）x﹣300＝50x﹣300，
当15＜x≤30时，不妨设降价t元，
则15+0.4t＝x，得到t＝2x﹣30，
所以W（x）＝[80﹣（2x﹣30）]x﹣30x﹣300＝﹣6x2+80x﹣300，
当x＞30时，，
所以．
（3）由（2）知，当x≤15时，
当x＝15（万件），利润最大，
当15＜x≤30时，W（x）＝﹣2x6+80x﹣300＝﹣2（x﹣20）2+500，
当x＝20（万件），利润最大，
当x＞30时，，
当且仅当，即（x+10）2＝2500，
当x＝40（万件），利润最大，
因为910＞500＞450，所以当x＝40（万件）时，此时利润是910（万元）．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
B
D
B
D
A
D