2025-2026学年广东省汕头市潮阳区棉城中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年广东省汕头市潮阳区棉城中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.函数y=1x+1+ 2−x的定义域为( )
A. (−1,2]B. (−∞,−1)∪(−1,2]
C. [−1,2]D. (−∞,−2)
2.sin75°cs30°−sin30°cs75°=( )
A. 12B. 22C. 32D. 33
3.已知复数z1=a+2i与z2=3+bi互为共轭复数，则z1z2的值是( )
A. 4B. 6C. 9D. 13
4.有一组数据按从小到大排序如下：85，86，88，90，94，则这组数据的第30百分位数，第60百分位数分别是( )
A. 86，88B. 86，89C. 87，88D. 87，89
5.如图，在△ABC中，D是BC上靠近B的一个三等分点，记AB=a，AC=b，则AD可以用a，b表示为( )
A. AD=13a+13b
B. AD=34a+14b
C. AD=23a+13b
D. AD=13a+23b
6.已知平面α，β，γ和直线m，n，c，下列命题正确的是( )
A. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β
B. 若m⊥c，n⊥c，则m//n
C. 若α//γ，β//γ，则α//β
D. 若m⊥α，α⊥β，则m//β
7.已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为6，体积为24，则该球的表面积是( )
A. 264πB. 44πC. 4 11πD. 44 113π
8.函数f(x)=lg3x+x−3的零点所在的区间是( )
A. (0,2)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(1,2)，b=(1,−1)，则( )
A. a+2b=(3,1)
B. |a|= 5
C. cs= 1010
D. a在b方向上的投影向量坐标是(−12,12)
10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同，编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中依次不放回摸出两个球.设事件A=“第一次摸出球的编号为奇数”，事件B=“摸出的两个球的编号之和为5”，事件C=“摸出的两个球中有编号为2的球”，则( )
A. P(C)=12B. 事件A与事件B为独立事件
C. P(A+B)=512D. 事件B与事件C为互斥事件
11.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有两解
C. 若△ABC为钝角三角形，则a2+b2>c2
D. 若A=60°，a=2，则△ABC面积的最大值为 3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=x2−4,x≤1−2x,x>1，则f(f(3))=______．
13.如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，若A′C′=3，B′C′=2，则边AB的实际长度为______．
14.已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某中学为提升学生的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，全校学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取300人的成绩作为样本，得到如下频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)求频率分布直方图中a的值.若从成绩不低于70分的学生中，按分层抽样方法抽取24人的成绩，求24人中成绩不低于90分的人数．
(2)用样本估计总体，估计该校学生数学文化素养知识初赛成绩的中位数.(保留小数点后两位)
(3)若甲、乙两位同学均进入复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为25，乙复赛获一等奖的概率为13，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．
16.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2=b2+c2−bc．
(Ⅰ)求A；
(Ⅱ)若csC=17，c=8，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
如图，圆锥的底面圆心为O，直径为AB，C为半圆弧AB的中点，E为劣弧CB的中点，且AB=4，PO= 3．
(1)求证：OE//平面PAC；
(2)求直线PE与底面ABC所成角的正切值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−2x．
(1)若g(x)=f(x)−a为奇函数，求a的值；
(2)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性，并用定义证明．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=2sinxcsx+ 3cs2x．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期；
(3)求函数f(x)在区间[0,π2]上的值域．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】BD
10.【答案】AB
11.【答案】ABD
12.【答案】32
13.【答案】5
14.【答案】 3π3
15.【答案】解：(1)根据题意可得(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1，解得a=0.03；
因为成绩位于(70,80]，(80,90]，(90,100]的频率之比为0.3：0.25：0.05=12：10：2，
所以按分层抽样方法抽取24人的成绩，这24人中成绩不低于90分的人数为2；
(2)因为前几组的频率依次为0.1，0.15，0.15，0.3，
所以中位数位于(70,80]，且为70+0.5−0.1−0.15−≈73.33；
(3)因为甲复赛获一等奖的概率为25，乙复赛获一等奖的概率为13，
且甲、乙是否获一等奖互不影响，
所以甲乙两个人都未复赛获一等奖的概率为(1−25)(1−13)=25，
所以至少有一位同学复赛获一等奖的概率为1−25=35．
16.【答案】π3 10 3
17.【答案】连接BC交OE于D，
因为E为劣弧CB的中点，
所以D是BC中点，
又O是AB中点，
所以OD/​/AC，即OE/​/AC，
因为AC⊂平面PAC，OE⊄平面PAC，
所以OE/​/平面PAC
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18.【答案】(1)∵g(x)=x−2x−a是奇函数，
∴g(−x)+g(x)=0，
∴−x−2−x−a+x−2x−a=0，
∴2−2a=0，即a=1．
(2)f(x)在(0,+∞)上是增函数．
证明：设x1>x2>0，则f(x1)−f(x2)=x1−2x1−x2−2x2=2x2−2x1=2(x1−x2)x1x2，
∵x1>x2>0，∴x1−x2>0，x1x2>0，
∴f(x1)−f(x2)>0，即f(x1)>f(x2).
∴f(x)在(0,+∞)上是增函数．
19.【答案】 3 π [− 3,2]