2022-2023学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一支田径队有男运动员24人，女运动员18人，按照性别进行分层，用分层随机抽样的方法从该田径队中抽取了男运动员8人，则女运动员被抽取的人数为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
2.复数(−1+2i)(3−i)在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinB=2，b=3，则sinA=( )
A. 23B. 13C. 12D. 14
4.下列说法正确的是( )
A. 空间中过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直
B. 空间中过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行
C. 空间中过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直
D. 空间中过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行
5.小红父亲生日即将来临，小红给父亲准备了生日礼物，并制作了一个爱心礼盒，如图1所示，该礼盒可以近似看作由两个半圆柱和一个正四棱柱组合而成，该礼盒的底面如图2所示，若AB=20cm，礼盒的高度为10cm，忽略礼盒的厚度，则爱心礼盒的容积为( )
A. (500π+2000)cm3B. (1000π+2000)cm3
C. (1000π+4000)cm3D. (2000π+4000)cm3
6.tan125∘+tan35∘=( )
A. −tan20∘B. −2tan20∘C. −tan10∘D. −2tan10∘
7.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=BC=AA1，则异面直线B1C与A1B的夹角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
8.如图，为了测量古塔的高度，选取了与该塔底B在同一平面内的两个测量基点C与D，现测得∠BCD=70.5∘，CD=105m，在C点测得古塔顶端A的仰角为26.5∘，在D点测得古塔顶端A的仰角为18.5∘，则古塔的高度AB=( )
(参考数据：取tan71.5∘=3,tan63.5∘=2,cs70.5∘=13)
A. 21mB. 30mC. 35mD. 42m
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.甘肃省1953年、1964年、1982年、1990年、2000年、2010年、2020年历次人口普查城镇人口比重图如图所示，则( )
A. 甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为40.01%
B. 甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的中位数为22.04%
C. 甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的第三四分位数为36.12%
D. 甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的平均数大于25%
10.将函数y=sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π12个单位长度，得到函数f(x)的图象，则( )
A. f(x)的最小正周期为8πB. f(x)的图象关于点(−π12,0)对称
C. f(x)的图象关于直线x=π24对称D. f(x)在(−π4,0)上单调递增
11.如图，△OAD，△OBC均为等腰直角三角形，O在线段AB上，AO=AD=BO=BC=2，在扇形COD中，M为CD的中点，P为CD上一动点，Q为线段AB上一动点，则( )
A. 向量OC在向量OM上的投影向量为BC
B. 向量AP在向量OM上的投影向量与向量BP在向量OM上的投影向量相等
C. 当P的位置固定，Q在线段AB上移动时，OM⋅QP为定值
D. 当Q的位置固定，P在CD上移动时，OM⋅QP为定值
12.抛掷一黄一白两枚质地均匀的骰子，用a表示黄色骰子朝上的点数，用b表示白色骰子朝上的点数，用(a,b)表示一次试验的结果，该试验的样本空间为Ω，记事件A=“关于x的方程x2−(a+b)x+52(a+b)=0无实根”，事件B=“a=4”，事件C=“b<4”，事件D=“ab>20”，则( )
A. A与B互斥B. A与D对立C. B与C相互独立D. B与D相互独立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若向量a=(1,m),b=(2n,10)，且a//b，则mn=______ .
14.若复数z，(1−z)2+2i均为纯虚数，则z=______ .
15.九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，a，b，c，d，e这5个数字未知，且b，d为奇数，则a+b>5的概率为______ .
16.已知P为△ABC所在平面外一点，PA=2,AB= 7,BC= 10,cs∠BAC=14，当三棱锥P−ABC的体积最大时，则该三棱锥外接球的表面积为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知D为△ABC所在平面内的一点，2AD=3AB,E为CD的中点.
(1)用AB,AC表示AE；
(2)|AB|=2,|AC|=3,cs∠BAC=13，求AE⋅BC.
18.(本小题12分)
已知cs(α+β)=13，sinαsinβ=14.
(1)求csαcsβ；
(2)求cs(2α−2β).
19.(本小题12分)
已知A，B两种奖券的中奖率分别为12,13.
(1)若甲购买了A，B两种奖券各一张，求恰有一张奖券中奖的概率；
(2)若甲购买的A，B两种奖券数量相同，为了保证甲中奖的概率大于99100，求甲至少要购买的奖券数量.
20.(本小题12分)
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 3bsinA+2acs2B2=3a.
(1)求B；
(2)若b=3，当△ABC的面积最大时，求△ABC内切圆的面积.
21.(本小题12分)
正值蓝莓销售的高峰期，一家水果店的店长计划未来10天蓝莓的日进货量(单位：千克)为85，92，90，96，86，94，88，89，85，95.
(1)计算该水果店未来10天蓝莓日进货量的众数与方差；
(2)假设未来这10天该水果店蓝莓的市场日需求量均为x(x∈Z)(单位：千克)，当日销售的蓝莓可盈利10元/千克，当日未销售的蓝莓则需要退货，亏损15元/千克，若该水果店想在未来10天销售蓝莓的盈利大于8200元，求x的最小值.
22.(本小题12分)
如图，在正三棱锥P−ABC中，E，F分别为AB，BC的中点，M，N分别为PE，PF的中点.
(1)证明：MN⊥PB.
(2)若3AB=4PA，且四棱锥P−AMNC的体积为10 113，求点A到平面PMN的距离.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意得，女运动员被抽取的人数为824×18=6.
故选：C.
根据分层抽样的抽取原则，按比例计算即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为(−1+2i)(3−i)=−1+7i，
所以(−1+2i)(3−i)在复平面内对应的点为(−1,7)，位于第二象限．
故选：B.
利用复数的乘法化简，由复数的几何意义求对应的点所在象限．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由正弦定理asinA=bsinB，得sinA=asinBb=23.
故选：A.
直接利用正弦定理求解即可．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：过直线外一点，有无数条直线与这条直线垂直，A错误；
过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，B错误；
过平面外一点，有无数个平面与这个平面垂直，C错误；
过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，D正确．
故选：D.
利用空间的平行和垂直关系对四个选项进行判断．
本题考查了空间的平行和垂直关系，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意得半圆柱的底面半径为10cm，
则该爱心礼盒的容积为π×102×10+20×20×10=(1000π+4000)cm3.
故选：C.
根据圆柱和棱柱的体积公式计算即可．
本题考查组合体的体积的求解，化归转化思想，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：tan125∘+tan35∘=−tan55∘+tan35∘=−sin55∘cs55∘+sin35∘cs35∘
=−sin55∘cs35∘−cs55∘sin35∘cs55∘cs35∘=−sin(55∘−35∘)sin35∘cs35∘
=−2sin20∘sin70∘=−2sin20∘cs20∘=−2tan20∘.
故选：B.
利用诱导公式，结合切化弦，原式可化为−sin55∘cs35∘−cs55∘sin35∘cs55∘cs35∘，再利用二倍角公式与两角差的正弦公式可得答案．
本题主要考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：如图，延长AB至D，使得AB=BD，延长A1B1至D1，使得A1B1=B1D1，连接DD1，
因为BD//A1B1且BD=A1B1，所以，四边形A1B1DB是平行四边形，所以A1B//B1D，
则异面直线B1C与A1B所成角为∠DB1C或其补角，连接CD，
设AB=BC=AA1=a，因为BB1⊥平面ABC，BC、BD⊂平面ABC，
所以BB1⊥BC，BB1⊥BD，
所以B1C= BB12+BC2= a2+a2= 2a，同理可得B1D= 2a，
因为△ABC为等腰直角三角形，且AB=BC，则BC⊥AD，
所以CD= BC2+BD2= a2+a2= 2a，
所以△B1CD为等边三角形，故∠DB1C=π3，
因此直线B1C与A1B的夹角为π3.
故选：C.
延长AB至D，使得AB=BD，延长A1B1至D1，使得A1B1=B1D1，连接DD1，证明出四边形A1B1DB为平行四边形，可得出异面直线B1C与A1B所成角为∠DB1C或其补角，连接CD，设AB=BC=AA1=a，求出△B1CD三边边长，分析△B1CD的形状，可得结果．
本题主要考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意得∠CAB=90∘−26.5∘=63.5∘，∠DAB=90∘−18.5∘=71.5∘，
则在Rt△ABC和Rt△ABD中，
BC=AB⋅tan63.5∘=2AB，BD=ABtan71.5∘=3AB，
在△BCD中，由余弦定理得BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs∠BCD，
即9AB2=4AB2+1052−2×2AB×105×13，解得AB=35m.
故选：C.
先分别将BC，BD用AB表示，再在△BCD中，利用余弦定理即可得解．
本题考查解三角形的实际应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：甘肃省这7年历次人口普查城镇人口比重的极差为52.23%−11.13%=41.1%，A错误；
这组数据从小到大排列依次为11.13%，12.22%，15.34%，22.04%，24.01%，36.12%，52.23%，
则这组数据的中位数为22.04%，B正确；
因为7×75%=5.25，所以这组数据的第三四分位数为36.12%，C正确；
平均数为17(11.13%+12.22%+15.34%+22.04%+24.01%+36.12%+52.23%)=173.09%7<25%，D错误．
故选：BC.
根据极差判断A，根据中位数的定义判断B，根据第三四分位数计算法则判断C，计算平均数判断D.
本题主要考查折线图，考查运算求解能力，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：由题意得f(x)=sin(4x+π3)，
所以f(x)的最小正周期为π2，A错误；
因为4×(−π12)+π3=0，所以f(x)的图象关于点(−π12,0)对称，B正确；
因为4×π24+π3=π2，所以f(x)的图象关于直线x=π24对称，C正确；
因为x∈(−π4,0)，所以4x+π3∈(−2π3,π3)，所以f(x)在(−π4,0)上先减后增，D错误．
故选：BC.
根据图象变换规律，得到f(x)的解析式，根据正弦函数的图象和性质，逐一验证选项即可．
本题考查了三角函数图像变换，涉及到正弦函数的性质，属于基础题．
11.【答案】ABC
【解析】解：对于A选项：根据题干易知∠AOD=∠BOC=∠MOD=∠MOC=π4，所以MO⊥AB，
易得BC与OM同向，又OC在BC上的投影向量为BC，所以OC在OM上的投影向量为BC，故A正确；
对于B选项：PH⊥AB，垂足为H，如下图所示，
由于HP与OM同向，容易得到AP,BP在HP上的投影向量均为HP，故B正确；
对于C选项：根据题意得到OM⋅QP=|OM|⋅|QP|cs∠HPQ=|OM|⋅|HP|，得到|PH|为定值，故可以得到OM⋅QP=|OM||PH|是定值，故C正确；
对于D选项：P在CD上移动时，|PH|不是定值，故OM⋅QP=|OM||PH|不是定值，故D错误．
故选：ABC.
根据数量积的定义、投影向量的定义及几何图形一一判断即可．
本题主要考查平面向量的数量积，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由题意得Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，包含36个样本点，
由Δ=(a+b)2−10(a+b)<0，得0所以A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3)}，共包含30个样本点，
B={(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6)}，共包含6个样本点，
A与B不互斥，故选项A错误；
又C={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(6,1),(6,2),(6,3)}，共包含18个样本点，
D={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}，共包含6个样本点，
所以A与D对立，故选项B正确；
选项C，因为P(BC)=336=112,P(B)=636=16,P(C)=1836=12，
所以P(BC)=P(B)P(C)，故B与C相互独立，故选项C正确；
选项D，因为P(BD)=136,P(D)=636=16，所以P(BD)=P(B)P(D)，故B与D相互独立，故选项D正确．
故选：BCD.
先用列举法写出一次试验的基本事件上，再根据条件写出事件A，B，C，D包含的基本事即可判断出选项A和B的正误；再利用古典概率公式和事件相互独立的判断方法逐一对选项C和D分析判断即可得出结果．
本题主要考查了互斥事件和独立事件的定义，属于中档题．
13.【答案】5
【解析】解：由题意a//b，得2mn=10，即mn=5.
故答案为：5.
根据向量平行的坐标表示，列式计算，即得答案．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】−i
【解析】解：设z=bi(b∈R,b≠0)，则(1−z)2+2i=(1−bi)2+2i=1−b2+(2−2b)i，
所以1−b2=0,2−2b≠0,得b=−1，即z=−i.
故答案为：−i.
设z=bi(b∈R,b≠0)后，利用复数的四则运算法则进行运算后，根据纯虚数的定义求解即可．
本题考查复数的四则运算法则、纯虚数的定义，正确理解纯虚数的定义是关键．
15.【答案】23
【解析】解：这个试验的等可能结果用下表表示：
共有12种等可能的结果，其中a+b>5的结果有8种，
所以a+b>5的概率为812=23.
故答案为：23.
根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可；
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
16.【答案】44π3
【解析】解：由题意得∠BAC为锐角，BC>AB，所以△ABC只有一解，即△ABC的面积为定值．
所以当三棱锥P−ABC的体积最大时，PA⊥平面ABC.
如图，将三棱锥P−ABC补成三棱柱ABC−PDE，设底面外接圆的圆心为O1，
三棱锥外接球的球心为O，连接AO，AO1，OO1，则AO1为底面外接圆的半径，AO为三棱锥外接球的半径．
由cs∠BAC=14，得sin∠BAC= 154，由BCsin∠BAC=2AO1，得AO1=2 63.
因为OO1⊥平面ABC,OO1=12PA=1，则OO1⊥AO1，所以AO2=OO12+AO12=113.
故该三棱锥外接球的表面积为4π⋅AO2=44π3.
故答案为：44π3.
由题意可得当三棱锥P−ABC的体积最大时，PA⊥平面ABC.将三棱锥P−ABC补成三棱柱ABC−PDE，设底面外接圆的圆心为O1，三棱锥外接球的球心为O，连接AO，AO1，OO1，从而可得OO1=12PA=1，根据正弦定理可得AO1=2 63，再结合勾股定理可得AO2=OO12+AO12=113，再根据球的表面积公式即可求解．
本题考查线面垂直的性质和棱锥、球的体积的求法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)AE=AD+DE=AD+12DC
=AD+12(AC−AD)=12AD+12AC
=34AB+12AC；
(2)因为BC=AC−AB，
则AE⋅BC=(34AB+12AC)⋅(AC−AB)=12AC2+14AB⋅AC−34AB2=12|AC|2+14|AB||AC|cs∠BAC−34|AB|2
=12×9+14×2×3×13−34×4=2.
【解析】(1)根据向量的四则运算法则进行运算即可．
(2)把AE,BC用AB,AC进行线性表示后，进行运算即可．
本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为cs(α+β)=csαcsβ−sinαsinβ=csαcsβ−14=13，
所以csαcsβ=13+14=712；
(2)因为cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=712+14=56，
所以cs(2α−2β)=cs2(α−β)=2cs2(α−β)−1=2×2536−1=718.
【解析】(1)根据两角和的余弦公式运算求解；
(2)根据两角差的余弦公式可得cs(α−β)=56，再结合倍角公式运算求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(1)恰有一张奖券中奖的概率为12×(1−13)+(1−12)×13=12.
(2)设甲购买的奖券数量为2x，则A，B两种奖券的数量均为x.
甲没中奖的概率为(1−12)x(1−13)x=(13)x，所以甲中奖的概率为1−(13)x.
由1−(13)x>99100，得(13)x<1100，
因为(13)4=181>1100,(13)5=1243<1100，且y=(13)x为减函数，所以x≥5.
故甲至少要购买的奖券数量为5×2=10.
【解析】(1)分两种情况，利用独立事件与互斥事件的概率公式求解即可；
(2)设甲购买的奖券数量为2x，则A，B两种奖券的数量均为x，甲没中奖的概率为(1−12)x(1−13)x=(13)x，可得甲中奖的概率为1−(13)x，再列不等式求解即可．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为 3bsinA+2acs2B2=3a，
所以由正弦定理得 3sinBsinA+2sinAcs2B2=3sinA，
因为sinA≠0，所以 3sinB+2cs2B2= 3sinB+2×1+csB2=3，
化简得 3sinB+csB=2sin(B+π6)=2，即sin(B+π6)=1.
又因为B∈(0,π)，所以B+π6∈(π6,7π6)，
所以B+π6=π2，即B=π3；
(2)由题意得S△ABC=12acsinB= 34ac，
由余弦定理得b2=9=a2+c2−2accsB=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，
当且仅当a=c=3时，ac取得最大值，即△ABC的面积取得最大值，
设此时△ABC的内切圆半径为r，
由S△ABC=12r(a+b+c)= 34ac，得r= 32，
所以当△ABC的面积最大时，△ABC内切圆的面积为πr2=34π
【解析】(1)根据已知条件进行边化角，结合余弦降幂公式和辅助角公式得到sin(B+π6)=1，根据B+π6∈(π6,7π6)即可得到B=π3；
(2)根据余弦定理结合基本不等式得到当且仅当a=c=3时，ac取得最大值，结合三角形面积公式得到此时面积最大，根据等面积法得到内切圆半径，进而得到答案．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于基础题．
21.【答案】解：(1)该水果店未来10天蓝莓日进货量的众数为85，
平均数为2×85+92+90+96+86+94+88+89+9510=90，
方差为110[2×(85−90)2+(92−90)2+0+(96−90)2+(86−90)2+(94−90)2+(88−90)2+(89−90)2+(95−90)2]=15.2；
(2)由题意易知，当x(x≤96)越小时，该水果店在未来10天销售蓝莓的盈利越小，所以采用二分法来确定x的最小值，
由题意得85+952=90，当x=90时，该水果店在未来10天销售蓝莓的盈利为(90×10−2−4−5−6)×10−(2+4+5+6)×15=8575元>8200元；
由题意得85+902=87.5，当x=87时，该水果店在未来10天销售蓝䔦的盈利为87×10×10−(2+2+1)×10−(1+2+3+5+7+8+9)×15=8125元<8200元；
当x=88时，该水果店在未来10天销售蓝莓的盈利为88×10×10−(3+3+2)×10−(1+2+4+6+7+8)×15=8300元>8200元．
综上所述，x的最小值为88.
【解析】(1)利用众数的定义和方差的公式求解；
(2)易知当x(x≤96)越小时，该水果店在未来10天销售蓝莓的盈利越小，采用二分法来确定x的最小值．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
22.【答案】解：(1)证明：如图，连接EF，取AC的中点G，连接PG，BG.
因为E，F分别为AB，BC的中点，M，N分别为PE，PF的中点，
所以MN//EF，EF//AC，
所以MN//AC.
因为PA=PC，AB=BC，
所以PG⊥AC，BG⊥AC.
因为PG，BG⊂平面PBG，PG∩BG=G，
所以AC⊥平面PBG，
所以MN⊥平面PBG.
因为PB⊂平面PBG，
所以MN⊥PB.
(2)连接AN，取BG上更靠近G的三等分点O，连接PO，设AB=4a，则PA=3a.
由(1)可得MN=12EF=14AC，
所以S△AMN=14S△ACN，
所以梯形ACNM的面积等于54S△ACN，
所以VP−AMNC=54VP−ANC=54VA−PNC，
因为VA−PNC=12VA−PFC=14VA−PBC=14VP−ABC，
所以VP−ANNC=516VP−ABC，
由正三棱锥性质可得PO⊥底面ABC，
所以PO⊥BO，
因为BG= BC2−GC2=2 3a，
所以BO=23BG=4 33a,PO= PB2−BO2= PA2−BO2= 333a，
又S△ABC=12AC⋅BG=4 3a2，
所以VP−AMNC=516VP−ABC=516×13×S△ABC×PO=5 1112a3=10 113，得a=2，
因为AB⊥PE，
所以PF=PE= PA2−AE2=2 5,PM=PN= 5，
所以S△PMN=12MN⋅ PM2−14MN2=2，
设A到平面PMN的距离为h，
由VA−MNP=VP−AMN=15VP−AMNC=2 113，
所以13×S△PMN×h=2 113，
所以h= 11.
【解析】(1)连接EF，取AC的中点G，连接PG，BG，则MN//AC，可证明AC⊥平面PBG，得到MN⊥平面PBG，进而可得结论；
(2)连接AN，取BG上更靠近G的三等分点O，连接PO，设AB=4a，则PA=3a，根据四棱锥P−AMNC的体积为10 113，求出a=2，再利用等积变换求点A到平面PMN的距离．
本题考查考查直线与平面的位置关系，点到平面的距离，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．9
a
7
b
c
d
4
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5
a
b
c
d
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