2022-2023学年河北省承德市部分学校高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2022-2023学年河北省承德市部分学校高一（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.为庆祝“七一”建党节，某文化馆举办“喜迎建党节⋅奋进新征程”文化艺术展.文化馆计划从18名女志愿者、12名男志愿者中选调10人加强文化艺术展讲解工作，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女志愿者人数为( )
A. 7B. 3C. 6D. 4
2.若复数i(5−i)+m(m∈R)为纯虚数，则m=( )
A. 1B. −1C. 5D. −5
3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA=3sinB,b=1,C=π6，则△ABC的面积为( )
A. 34B. 32C. 3 34D. 3 32
4.设O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则OA+OB+2OC=( )
A. ACB. BDC. ADD. AB
5.中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中.某瓷器如图1所示，该甁器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个等高(高为6cm)的圆台组合面成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为20cm，底面直径AB=10cm，底面直径CD=20cm，EF=16cm，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的容积为( )
A. 669πcm3B. 1338πcm3C. 650πcm3D. 1300πcm3
6.2013∼2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资及名义增速如图所示，则( )
A. 2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资未突破60000元
B. 2013∼2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速逐年递减
C. 2013∼2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的40%分位数为8.1%
D. 2013∼2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的65%分位数为8.8%
7.在三棱锥P−ABC中，AB+2PC=9，E为线段AP上更靠近P的三等分点，过E作平行于AB，PC的平面，则该平面截三棱锥P−ABC所得截面的周长为( )
A. 5B. 6C. 8D. 9
8.如图，在曲柄CB绕C点旋转时，活塞A做直线往复运动，连杆AB=4cm，曲柄CB=1cm，当曲柄CB从初始位置CB0按顺时针方向旋转60∘时，活塞A从A0到达A的位置，则A0A=( )
A. 11− 612cmB. 11− 512cmC. 9− 612cmD. 9− 512cm
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知O为坐标原点，点A(−1,1)，B(1,3)，AB的中点为C，则( )
A. AB=(−2,−2)B. C的坐标为(0,2)
C. OA⊥ABD. OA,OC的夹角为π4
10.将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件A=“点数为4”，事件B=“点数为奇数”，事件C=“点数小于4”，事件D=“点数大于3”，则( )
A. A与B互斥B. A与C互斥C. B与D对立D. C与D对立
11.将函数y=csx图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移π12个单位长度，得到函数f(x)的图象，则( )
A. f(x)=cs(4x+π12)B. f(x)的最小正周期为π2
C. f(x)的图象关于直线x=−π12对称D. f(x)的图象关于点(π12,0)对称
12.甲工程师计划将一块边长为6m的正方形ABCD铁片加工成一个无盖正四棱台，其工程平面设计图如图1所示，正方形EFGH和正方形ABCD的中心重合，I，J，K，L，M，N，O，P分别是边AB，BC，CD，DA上的三等分点，且EF//AB，IJA. 甲工程师可以加工出一个底面周长为8m的正四棱台
B. 甲工程师可以加工出一个底面面积为8m2的正四棱台
C. 甲工程师可以加工出一个高为1.5m的正四棱台
D. 甲工程师可以加工出一个侧棱长为1.5m的正四棱台
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数1− 3i 3−i的虚部为______ ，共轭复数为______ .
14.一个袋子中有2个红球，2个白球，若从中随机一次性取出2个球，则取出的2个球都是白球的概率为______ .
15.若α为第三象限角，且tan(π4−α)=23tan(α+π)，则tanα的值为______ .
16.若长方体的3条面对角线的长度分别为2、 3、 5，则该长方体外接球的表面积为______ .
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知向量a=(1,m),b=(3,−2).
(1)若a//b，求m；
(2)若a在b上的投影向量为113b，求m.
18.(本小题12分)
如图，在三棱锥D−ABC中，E，F分别为AC，BC的中点.
(1)证明：EF//平面ABD.
(2)若△ABC，△ACD均为正三角形，AB=2 3,BD=3 2，求直线BD与平面ABC所成角的大小.
19.(本小题12分)
北京时间2023年5月11日5时16分，天舟六号货运飞船与空间站组合体完成交会对接天舟六号货运飞船，是中国空间站运送补给物资的飞船，物资装载能力可达7.4吨.某校开展了航空航天数字科技体验活动课，并邀请名参加了该体验活动课的学生进行打分，得到的数据如表所示：
(1)分别求n，a，b的值，并在图中画出频率分布直方图；
(2)若学生打分分数不低于80的人数至少要占60%，并且学生打分分数的平均数超过80，则该课堂可以评为“优秀课堂”，估计该航空航天数字科技体验活动课能否评为“优秀课堂”，并说明理由.(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)
20.(本小题12分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin2C2+csin2B2=12a.
(1)证明：b+c=2a.
(2)求A的最大值.
21.(本小题12分)
如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E是AA1的中点.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1.
(2)若AA1=2AB=4，求点B到平面CED1的距离.
22.(本小题12分)
甲、乙两位同学切磋棋艺，已知甲先手时，甲获胜的概率为23，平局的概率为16，乙先手时，乙获胜的概率为12，平局的概率为14：第一局甲先手，后面比赛的先手顺序约定如下：若上一局有胜败，则本局由上一局的败者先手，若上一局平局，则本局由乙先手，且每局比赛之间的结果相互独立.若某选手先胜三局，则该选手胜利，比赛结束.
(1)求三局内结束比赛，且甲连胜三局的概率；
(2)求五局内结束比赛，且乙胜利的概率.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：18名女志愿者、12名男志愿者，比例为18：12=3：2，
选调10人，按照性别进行分层随机抽样，
应抽取的女志愿者人数为10×33+2=6人．
故选：C.
分层随机抽样的特点就是按照比例抽取即可．
本题考查分层随机抽样，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵复数i(5−i)+m(m∈R)=m+1+5i为纯虚数，
∴m+1=0，则m=−1.
故选：B.
由题意，根据纯虚数的定义，求得m的值．
本题主要考查纯虚数的定义，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：因为sinA=3sinB,b=1,C=π6，
所以a=3b=3，
则△ABC的面积S=12absinC=12×3×1×12=34.
故选：A.
由已知利用正弦定理可求a的值，进而利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了正弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由图形可知OA+OC=0，故OA+OB+2OC=OB+OC=OB+AO=AB.
故选：D.
根据平面向量的线性运算法则进行计算．
本题主要考查了向量的线性运算，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：因为圆柱的高为20cm，底面直径AB=10cm，底面直径CD=20cm，EF=16cm，且两圆台的高都为6cm，
所以该瓷器的容积为：
V=π×25×20+13×(25π+100π+ 25π×100π)×6+13×(64π+100π+ 64π×100π)×6
=500π+13×175π×6+13×244π×6=1338πcm3.
故选：B.
根据题意利用圆柱和圆台的体积公式直接求解即可．
本题考查组合体的体积的求解，属中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据图象可知2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资突破60000元，因此选项A不正确；
因为2018年的全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速高于2017年，所以选项B不正确；
2013∼2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速从小到大排列为：
3.7，6.8，7.7，8.1，8.2，8.3，8.8，8.9，11.3，13.8，
因为40%×10=4，65%×10=6.5
所以2013∼2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的40%分位数为
8.1%+8.2%2=8.15%，因此选项C不正确；
2013∼2022年全国城镇私营单位就业人员年平均工资名义增速的65%分位数为8.8%，
因此选项D正确．
故选：D.
根据图中数据，结合百分数位的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了统计图的应用，考查了百分位数的计算，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：如图所示，在三棱锥P−ABC中，过E作分别作EF//AB，EH//PC，
再分别过点F，H作HG//AB，FG//PC，可得E，F，G，H四点共面，
因为AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
所以AB//平面EFGH，
同理可证：PC//平面EFGH，所以截面即为平行四边形EFGH，
又由E为线段AP上更靠近P的三等分点，且AB+2PC=9，
所以EF=13AB,EH=23PC，
所以平行四边形EFGH的周长为：2⋅(EF+EH)=23⋅(AB+2PC)=6.
故选：B.
作EF//AB，EH//PC且HG//AB，FG//PC，证得AB//平面EFGH和PC//平面EFGH，得到截面为平行四边形EFGH，结合题意，即可求解．
本题主要考查了线面平行的判定定理，考查了三棱锥的结构特征，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：连接BB0，因为∠BCB0=60∘，所以△BB0C为等边三角形，故∠BB0A=120∘，BB0=BC=1cm，
在△ABB0中，AB=4cm，由余弦定理得cs120∘=B0A2+B0B2−AB22B0A⋅B0B，
即B0A2+1−162B0A=−12，解得B0A=−1± 612cm，负值舍去，
则A0A=A0B0−AB0=4−B0A=4−−1+ 612=9− 612cm.
故选：C.
作出辅助线，根据题意得到∠BB0A=120∘，BB0=BC=1cm，由余弦定理得到B0A=−1+ 612cm，从而得到A0A.
本题主要考查了余弦定理在求解实际问题中的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：对于A，AB=(1,3)−(−1,1)=(2,2)，故A错误；
对于B，由中点坐标公式得C(−1+12,1+32)，即(0,2)，故B正确；
对于C，∵OA⋅AB=−1×2+1×2=0，∴OA⊥AB，故C正确；
对于D，cs=OA⋅OC|OA||OC|=−1×0+1×22 (−1)2+1= 22，
∵∈[0,π]，∴=π4，故D正确．
故选：BCD.
由向量的坐标运算可判断A，由中点坐标公式可判断B，由平面向量的数量积的坐标运算可判断C，由平面向量的夹角可判断D.
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以A与B互斥，A正确；
事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以A与C互斥，B正确；
事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”，C错误；
事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”，C与D对立，D正确．
故选：ABD.
利用互斥事件和对立事件的概念求解．
本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念，属于基础题．
11.【答案】BC
【解析】解：因为函数y=csx图象上所有点的横坐标缩短到原来的14，纵坐标不变，
再把得到的图象向左平移π12个单位长度，得到函数f(x)的图象，
所以有f(x)=cs[4(x+π12)]=cs(4x+π3)，因此选项A不正确；
因为2π4=π2，所以f(x)的最小正周期为π2，因此选项B正确；
因为f(−π12)=cs(−4×π12+π3)=1，所以f(x)的图象关于直线x=−π12对称，因此选项C正确；
因为f(−π12)=cs(−4×π12+π3)≠0，所以f(x)的图象不关于点(π12,0)对称，
因此选项D不正确．
故选：BC.
根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦函数的对称性、最小正周期公式逐一判断即可．
本题主要考查函数的图象变换，考查转化思想，属于中档题，
12.【答案】BCD
【解析】解：令正四棱台的底面边长EF=2am，高为hm，侧棱长为lm，等腰梯形EFJI的高为h1m，
则由题意可知，IJ=13AB=2m,2a+2h1=AB，即h1=3−a(m)，
对于A，当正四棱台的底面周长为8m时，EF=2m，不满足IJ对于B，当正四棱台的底面面积为8m2时，EF=2 2m，满足IJ对于C，当正四棱台的高为1.5m时，则h=1.5m，
记正四棱台的上下底面的中心分别为O1，O2，
取JL，FG的中点Q，R，连接O1O2，O1Q，O2R，QR，过点Q作QS⊥O2R于点S，
则QS=1.5，QR=3−a，RS=a−1，
所以1.52+(a−1)2=(3−a)2，解得a=2316，则EF=238m，
满足IJ对于D，当正四棱台的侧棱长为1.5m时，则l=1.5m，过点J作JT⊥FG于点T，
则JF=1.5，JT=3−a，FT=a−1，所以1.52=(a−1)2+(3−a)2，
即8a2−32a+31=0，解得a=8± 24，则EF=8± 22m，满足IJ故选：BCD.
令正四棱台的底面边长EF=2am，高为hm，侧棱长为lm，等腰梯形EFJI的高为h1m，则由题意可知，IJ=13AB=2m，2a+2h1=AB，再根据正四棱台的结构分别计算即可判断各选项．
本题考查了正四棱台的特征，属于中档题．
13.【答案】−12 32+12i
【解析】解：1− 3i 3−i=(1− 3i)( 3+i)( 3−i)( 3+i)= 3+i−3i+ 33+1= 32−12i，
所以复数1− 3i 3−i的虚部为−12，复数1− 3i 3−i的共轭复数为 32+12i.
故答案为：−12； 32+12i.
根据复数的除法运算性质，结合复数虚部和共轭复数的定义进行求解即可．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】16
【解析】解：根据题意，2个红球记为AB，2个白球记为ab，
从中随机一次性取出2个球有AB，Aa，Ab，Ba，Bb，ab共6种取法，
则取出的2个球都是白球的有ab，1种取法，
所以取出的2个球都是白球的概率为P=16，
故答案为：16.
根据题意，用列举法分析“从中随机一次性取出2个球”和“取出的2个球都是白球”的取法数目，由古典概型公式计算可得答案．
本题考查古典概型的计算，注意列举法的应用，属于基础题．
15.【答案】12
【解析】解：由tan(π4−α)=23tan(α+π)，可得1−tanα1+tanα=23tanα，
整理得2tan2α+5tanα−3=0，解得tanα=12或tanα=−3，
因为α为第三象限角，可得tanα>0，所以tanα=12.
故答案为：12.
根据两角差的正切公式和诱导公式，化简得到2tan2α+5tanα−3=0，再由α为第三象限角，可得tanα>0，即可求解．
本题主要考查两角差的正切公式，诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】6π
【解析】解：设该长方体的长、宽、高分别为x、y、z，该长方体外接球的半径为R，
则x2+y2=4y2+z2=3z2+x2=5，
上述三个等式相加可得2(x2+y2+z2)=12，
所以R= x2+y2+z22= 62，
因此，该长方体外接球的表面积为4πR2=4π×( 62)2=6π.
故答案为：6π.
设该长方体的长、宽、高分别为x、y、z，该长方体外接球的半径为R，根据已知条件可得出关于x、y、z的等式，求出R的值，再利用球体的表面积公式可求得结果．
本题主要考查球的表面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵a//b，
∴1×(−2)−3m=0，解得 m=−23，
故m=−23.
(2)因为a⋅b=3−2m,|b|= 13，
又a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=3−2m13b=113b，
所以3−2m13=113，解得m=1.
故m=1.
【解析】(1)根据向量平行的坐标表示即可求解；
(2)根据投影向量的定义即可求解．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
18.【答案】解：(1)证明：因为E，F分别为AC，BC的中点，
所以EF//AB，而EF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，
所以EF//平面ABD；
(2)连接DE，BE，
因为△ABC，△ACD均为正三角形，AB=2 3，E，F分别为AC，BC的中点．
所以DE⊥AC，BE⊥AC，DE=BE= AB2−(12AC)2= 12−3=3，
而BD=3 2，因为BD2=BE2+DE2，
所以BE⊥DE，因为AC∩BE=E，AC，BE⊂平面ABC，
所以DE⊥平面ABC，因此∠DBE是直线BD与平面ABC所成角，
而DE=BE，所以∠DBE=π4.
【解析】(1)根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
(2)根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义进行求解即可．
本题考查线面平行的证明，线面角的求解，属中档题．
19.【答案】解：(1)由题意可得，n=50.05=100，a=10100=0.1，b=100×0.3=30，
频率分布直方图如下：
(2)学生打分分数不低于80的人数至占比为30%+35%=65%>60%，
学生打分分数的平均数为55×0.05+65×0.1+75×0.2+85×0.3+95×0.35=83>80，
所以该航空航天数字科技体验活动课能评为“优秀课堂”．
【解析】(1)根据频率的定义求出n，a，b的值，再画出频率分布直方图即可；
(2)求出学生打分分数不低于80的人数至占比，和学生打分分数的平均数，再比较即可作出判断．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了平均数的计算，属于基础题．
20.【答案】(1)证明：因为bsin2C2+csin2B2=12a，
所以b⋅1−csC2+c⋅1−csB2=12a，得b−bcsC+c−ccsB=a，
所以由余弦定理得b−b⋅b2+a2−c22ab+c−c⋅a2+c2−b22ac=a，
所以b−b2+a2−c22a+c−a2+c2−b22a=a，
所以b+c=a+b2+a2−c22a+a2+c2−b22a=a+2a22a=2a，
即b+c=2a，
(2)解：由(1)得a=b+c2，
所以由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=b2+c2−(b+c2)22bc
=b2+c2−b2+2bc+c242bc=3b2+3c2−2bc8bc
=38(bc+cb)−14≥38×2 bc⋅cb−14=12，
当且仅当bc=cb，即b=c时取等号，
即csA≥12，
因为A∈(0,π)，
所以0【解析】(1)利用降幂公式和余弦定理化简可得结论；
(2)由(1)得a=b+c2，代入csA=b2+c2−a22bc化简后利用基本不等式可求出csA的范围，从而可求出A的最大值．
本题考查解三角形的应用，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，可得四边形ABCD为正方形，可得AC⊥BD，
由AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以AA1⊥BD，
因为AA1∩AC=A且AA1，AC⊂平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，
又因为BD⊂平面BDD1B1，所以平面ACC1A1⊥平面BDD1B1.
(2)解：如图所示，分别延长D1E，DA，交于点M，连接CM，交AB于点F，
因为E为AA1的中点，且平面ABB1A1//平面CDD1C1，
且平面ABB1A1∩MCD1=EF，且平面CDD1C1∩MCD1=CD1，所以EF//CD1，
可得F的中点AB，且AD=AM，MF=CF，
所以点B到CED1的距离等于点B到MEF的距离，
因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB=4，可得MF= 5,ME=2 2,EF= 5，
取ME的中点N，连接FN，可得FN⊥ME，且FN= 3，
所以S△MEF=12×2 2× 3= 6，且S△MBF=12×BF×MA=12×1×2=1，
设点B到平面MEF的距离为h，
由VB−MEF=VE−MBF，可得13× 6×h=13×1×AE=13×1×2=23，解得h= 63，
即B到平面CED1的距离 63.
【解析】(1)分别证得AC⊥BD，AA1⊥BD，得到BD⊥平面ACC1A1，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；
(2)根据题意转化为点B到CED1的距离等于点B到MEF的距离，结合VB−MEF=VE−MBF，即可求解．
本题主要考查平面与平面垂直的证明，点到平面距离的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)若甲连胜三局，
则第一局甲先手，乙败；第二局乙先手，乙败；第三局乙先手，乙败，
由题意甲先手甲胜的概率为23，乙先手甲胜的概率为1−12−14=14，
所以甲连胜三局的概率为23×14×14=124；
(2)若三局乙获胜，则结果为乙胜-乙胜-乙胜，
三局都为甲先手，每局乙获胜的概率为1−23−16=16，
所以乙前三局连胜的概率为16×16×16=1216；
若四局乙获胜，则第四局乙胜，前三局有一局乙不胜，结果为乙不胜-乙胜-乙胜-乙胜，
乙胜-乙不胜-乙胜-乙胜，乙胜-乙胜-乙不胜-乙胜，
其中乙获胜的局中有2局是甲先手，一局乙先手，不获胜的局都是甲先手，
所以此时乙获胜的概率为3×16×16×12×56=5144；
若五局乙获胜，则第五局乙获胜，前四局乙获胜两局，共4×32×1=6种结果，
结果为乙不胜-乙不胜-乙胜-乙胜-乙胜，乙胜-乙不胜-乙不胜-乙胜-乙胜，
乙胜-乙胜-乙不胜-乙不胜-乙胜，乙不胜-乙胜-乙不胜-乙胜-乙胜，
乙不胜-乙胜-乙胜-乙不胜-乙胜，乙胜-乙不胜-乙胜-乙不胜-乙胜，
其中前三种结果中乙获胜的三局中有两局是甲先手，一局乙先手，
不获胜的两局中一局甲先手，一局乙先手，
后三种结果中乙获胜的三局中有两局是乙先手，一局甲先手，
不获胜的两局都是甲先手，
所以此时乙获胜的概率为3×16×16×12×56×12+3×12×12×16×56×56=548，
综上，五局内结束比赛，且乙胜利的概率为1216+5144+548=31216.
【解析】(1)根据题意第一局甲先手，乙败；第二局乙先手，乙败；第三局乙先手，乙败，由此计算甲连胜三局的概率；
(2)若三局乙获胜，则结果为乙胜-乙胜-乙胜；
若四局乙获胜，则第四局乙胜，前三局有一局乙不胜，结果为乙不胜-乙胜-乙胜-乙胜，乙胜-乙不胜-乙胜-乙胜，乙胜-乙胜-乙不胜-乙胜；
若五局乙获胜，则第五局乙获胜，前四局乙获胜两局，共4×32×1=6种结果，结果为乙不胜-乙不胜-乙胜-乙胜-乙胜，乙胜-乙不胜-乙不胜-乙胜-乙胜，乙胜-乙胜-乙不胜-乙不胜-乙胜，乙不胜-乙胜-乙不胜-乙胜-乙胜，乙不胜-乙胜-乙胜-乙不胜-乙胜，乙胜-乙不胜-乙胜-乙不胜-乙胜．
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，理清各个结果是解决本题的关键，属中档题．分数
[50,60)
[60,70)
[70,80)
[80,90)
[90,100]
频数
5
10
20
b
35
频率
0.05
a
0.20
0.30
0.35