2024-2025学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.cs19π6=( )
A. − 32B. −12C. 32D. 12
2.在△ABC中，设AB=a，AC=b，若点D满足DC=3BD，则AD=( )
A. 54a−14bB. 34a−14bC. 14a+34bD. 34a+14b
3.将函数y=sinx的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的13(纵坐标不变)，再将得到的图象向右平移π12个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )
A. y=sin⁡(3x−π4)B. y=sin⁡(3x−π12)C. y=sin⁡(x3−π4)D. y=sin⁡(x3−π12)
4.已知向量a=(1,3)，b=(−1,2)，则b在a上的投影向量为( )
A. bB. −12bC. 12aD. −12a
5.若直线l的一个方向向量为u=(0,1,− 3)，平面α的一个法向量为n=( 2,0,1)，则l与α所成的角为( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
6.用斜二测画法画出的四边形OABC的直观图如图中的四边形O′A′B′C′，其中O′A′=3，O′C′=32，B′C′=2，则原四边形OABC以OC所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为( )
A. 28π3B. 19π2
C. 38π3D. 19π
7.在△ABC中，已知2sinAsinC(csB−1)+sin2B=0，则△ABC一定是( )
A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 锐角三角形
8.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD−A1B1C1D1，其中底面ABCD是正方形，CC1=CD=4，∠C1CB=∠C1CD=60°，则直线A1C与AD1所成角的余弦值为( )
A. 510B. 1010
C. 55D. 22
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sin(2x+π3)，则( )
A. f(x)的最小正周期为πB. f(x+π3)是奇函数
C. f(x)的图象关于直线x=−5π12对称D. f(x)在区间[0,π3]上单调递减
10.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是△ABC所在平面内一点，则下列结论正确的是( )
A. c=acsB+bcsA
B. M为△ABC的外心⇔|MA|=|MB|=|MC|=a2sinA
C. 若AM=23AB+13AC，则△AMC的面积是△ABC面积的13
D. 若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，且AB|AB|⋅AC|AC|=12，则△ABC为等边三角形
11.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱AA1上的动点，F是棱AB上的动点，过点A1，C，F作正方体的截面α，则( )
A. 存在点E，使得B1D⊥平面BED1
B. 三棱锥B1−BED1的体积是定值
C. 截面α的形状为梯形
D. 当截面α的面积取得最小值时，F为AB的中点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(2,2)，b=(1,−2)，c=(k,1)，若(2a+b)//c，则k=______．
13.已知α∈(0,π2)，2sin(2α)=cs(2α)+1，则tan(α+π4)=______．
14.如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=BD=2，AB⊥BD，将△BCD沿直线BD翻折至△BPD，使得AP=AD，则三棱锥P−ABD外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csBcsC+csA=sin2B+sin2C−sin2A.
(1)求A；
(2)若a=2 3，△ABC的面积为 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，BC=2BB1=2B1C1=4．
(1)求证：BB1//平面ACD1；
(2)求点B1到平面ACD1的距离．
17.(本小题15分)
如图，在长方形ABCD中，AD=2，AB=4，M是边CD的中点，将△ADM沿直线AM翻折至△APM，使得∠PMC=120°，连接PB，PC，得到四棱锥P−ABCM．
(1)求证：平面PAM⊥平面ABCM；
(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值．
18.(本小题17分)
已知向量a=(sinx,csx)，b=( 3csx,−csx)，且f(x)=a⋅b+12．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(α)=45，且α∈(π6,π3)，求cs2α的值；
(3)若函数y=[f(x)]2−(m+1)f(x)+m在区间[−π2,π3]上有三个不同的零点，从小到大依次记为x1，x2，x3，求tan(x1+x2+x32)的值．
19.(本小题17分)
如图，设Ox，Oy是平面内相交成α(0