2025-2026学年辽宁省朝阳市部分重点高中高一（下）期末数学试卷

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1.已知复数z满足，则=（ ）
A. 1-iB. 1+iC. D.
2.已知，那么=（ ）
A. B. C. D.
3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若m∥α，α∩β=n，则 m∥nB. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α
C. 若m⊥α，n⊥α，则m∥nD. 若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n
4.如图，圆台的侧面展开图为半圆环，图中线段AB=8，C，O，D为线段AB的四等分点，则该圆台的体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.已知函数，若将函数f（x）的图象向右平移t（t＞0）个单位长度，得到函数g（x）的图象.若函数g（x）为奇函数，则t的最小值是（ ）
A. B. C. D.
6.若函数f（x）=2sin2x+sin2x在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知A、B、C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. a2+b2＜c2B. sinA可以取到
C. tanA＜tanCD. csC可以取到
8.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，AB=BC=CA=2，平面PAB与平面CAB夹角的余弦值为，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A. B. 6πC. D. 24π
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知向量，满足，，，则下列结论中正确的有（ ）
A. 与夹角为B.
C. D. 与夹角为
10.已知z为复数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若z=，则z为实数B. 若z2＜0，则z为纯虚数
C. 若|z+1|=|z-1|，则z为纯虚数D. 若z3=1，则=z2
11.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，AA1=3，点E在棱AA1上，A1E=2EA，动点F在线段BD上（不含端点B），平面A1EF与平面DCC1D1交于直线l,则（ ）
A. l∥BB1
B. 不存在点F，使得B1E⊥A1F
C. ∠A1FE的最大值为
D. l与平面B1EF所成角的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则|α|的最小值为 .
13.在平行四边形ABCD中，，AB=2AD，将△DAB沿对角线BD折起，使得平面BCD⊥平面ABD，则直线AB与CD所成角的余弦值为 .
14.已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.若c=1，4a2cs2B+4b2sin2A=3b2-3，则tanA的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知ω＞0，向量，，且f（x）=•.
（1）若函数y=f（x）的最小正周期是2π，求y=f（x）的单调增区间；
（2）已知0＜ω＜2，若是函数y=f（x）的图像的一条对称轴，求y=f（x）的周期和值域.
16.(本小题15分)
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为矩形，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点.设平面PAD与平面PBC的交线为l,平面PAD⊥平面ABCD.
（1）证明：平面EFG∥平面PAB；
（2）求证：BC∥l.
（3）求证：DC⊥PA.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,满足c-acsB=b-asinB.
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为4，内角A的角平分线交边BC于E，求AE的最大值；
（3）若a=7，边BC上的中线AD=，设点O为△ABC的外接圆圆心，求的值.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=-2sin2x+2csx+t,其中t为常数.
（1）当时，f（x）≤0恒成立，求实数t的取值范围；
（2）设函数f（x）在上有两个零点m,n.
①求t的取值范围；
②证明；.
19.(本小题17分)
如图，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC是边长为4的等边三角形，底面BCD为直角三角形，其中D为直角顶点，∠CBD=.点O为棱BC的中点，E，F，G，H分别是线段AB，AC，CD，DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形.设λ=∈（0，1）.
（1）设点A在平面BCD的射影A'，当二面角A-BC-D从0增加到的过程中，求线段CA'扫过的区域的周长；
（2）若△ACD是以CD为底边的等腰三角形；
（ⅰ）求证：OA⊥平面BCD；
（ⅱ）当λ为何值时，多面体ADEFGH的体积恰好为2.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】CD
10.【答案】ABD
11.【答案】ABC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）
=，
因为y=f（x）的最小正周期是2π，所以，解得，
故，
令，
解得，
故y=f（x）的单调增区间为；
（2），
因为是函数y=f（x）的图像的一条对称轴，
所以，
解得ω=1+3k1，k1∈Z，
因为0＜ω＜2，只有当k1=0时，ω=1满足要求，
故，
故y=f（x）的最小正周期为，
故函数的周期为k2π，k2∈Z且k2≠0，
因为，
所以y=f（x）的值域为．
16.【答案】证明：依题意，以EF∥CD，EG∥PB，
因为底面ABCD为矩形，所以AB∥CD，所以EF∥AB，
EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以EF∥平面PAB．
因为EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，所以EG∥平面PAB．
因为EF∩EG=E，EF、EG⊂平面EFG，所以平面EFG∥平面PAB 证明：因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，
因为BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD．
因为BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，所以BC∥l 证明：因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD，
因为平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，故CD⊥PA
17.【答案】
2

18.【答案】（-∞，-2] ①；②设m=-π+α，n=-π+β（），则csm=-csα，csn=-csβ．
由u1=csm，u2=csn是2u2+2u+t-2=0的根，得u1+u2=-1，即csα+csβ=1．
要证，即证．
假设，则，故，
等号仅当时成立，此时，矛盾，故，即
19.【答案】解：（1）延长CD到G，使DG=CD，由题可得△BCG是正三角形，

连结OA，OG，易得BC⊥平面AOG，所以平面AOG⊥平面GBC，
所以点A在平面BCD上的投影A′在线段BC的中垂线OG上（如图所示）
当二面角A-BC-D为0时，点A，G，A′三点重合，当二面角A-BC-D为时，点A′与O重合，
所以射影A'的轨迹就是线段OG，
故CA在平面BCD上的射影所扫过的平面区域为Rt△OCG，
又△BCG是边长为4的正三角形，则△OCG周长为，
故所求平面区域的周长为．
（2）（i）证明：因为AC=4，CD=2，且△ACD为等腰三角形，
所以AD=4，
由题意得，，
所以OA2+OD2=AD2，由勾股定理的逆定理可知OA⊥OD，
又OA⊥BC，又BC∩OD=O，BC、OD⊂平面BCD，
所以OA⊥平面BCD．
（2）（ii）由（i）得

，
又V多面体ADEFGH=2，所以V多面体ADEFGH=V多面体BCEFGH=2，
连结AG，AH，BF，BG，FH，设点A，B到平面EFGH的距离分别为hA，hB，点A，F到平面BCD的距离分别为h0，hF，
因为四边形EFGH为平行四边形，所以EF∥HG，又EF⊄平面BCD，HG⊂平面BCD，
所以EF∥平面BCD，又因为EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD=BC，
所以EF∥BC∥HG，同理可得AD∥EH∥FG，
则．
==，
所以，
，
所以
又，
则VB-HFE=VB-HFG=λVF-BCG，
所以VB-EFGH+VF-BCG=2=（2λ+1）VF-BCG，
解得，
由①+②得，
化简得8λ2-2λ-1=0，
解得舍去），
即当时，多面体ADEFGH的体积恰好为2