河南省信阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷含解析（word版）

这是一份河南省信阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷含解析（word版）试卷主要包含了 已知椭圆 C，95等内容，欢迎下载使用。
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要 求的.
1. 已知数列 an 的前 n 项和公式为 Sn=n2+3n ,则 a4=
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
2. 若复数 z=12−ia+2ia∈R 为纯虚数,则 a=
A. -4 B. -12 C. 11 D. 6
3. 已知向量 a=x,2,−1,b=1,1,1 ，且 a⊥b ，则 x=
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
4. 曲线 fx=x2+lnx 在点 1,f1 处的切线方程为
A. y=3x−1 B. y=2x+1 C. y=2x−1 D. y=3x−2
5. 若随机变量 X∼B9,13 ,则 E1−2X=
A. -5 B. -6 C. 6 D. 7
6. 某数学建模活动小组为测量郑州市寿圣寺双塔塔尖之间的距离, 构建了如图所示的几何模型 (点 M,N 分别代表两座塔的塔尖位置). 若 AC=402 米, BC=50 米, ∠MCA=45∘,∠NCB=60∘,∠MCN= 120∘ ,则塔尖 MN 之间的距离为
A. 80 米 B. 120 米 C. 2061 米 D. 2067 米
7. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,且 F2 为抛物线 y2=2pxp>0 的焦点. 设抛物线与 C 在第一象限的交点为 P ,若 PF1−PF2=p2 ,则 C 的离心率为
A. 12 B. 22 C. 33 D. 13
8. 已知函数 fx=e2x+m−lnx+2+2m−3 ,若 fx≥0 对任意 x>−2 恒成立，则实数 m 的取值范围可能为
A. −∞,53 B. 5−ln23,+∞ C. (−∞,2] D. [2,+∞)
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部 选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 为了解某款新型“智能手环”的销售状况，创新实践小组对该产品上半年的销售情况进行了调查，部分数据为: 1 月份销量 1.0 万件, 2 月份销量 1.2 万件, 3 月份销量 1.4 万件. 已知第二季度销量比第一季度多 0.6 万件. 设月份为 x ,销量为 y (万件),经过回归计算得到线性回归方程为 y=0.1x+a ,则下列说法正确的有
A. a=0.95
B. 该组数据的线性相关系数为 0.1 , 故相关性很弱
C. 根据回归方程, 推测 4 月份销量为 1.35 万件
D. 1 月份销量的残差为 0.05
10. 已知 A,B 是概率均不为 0 的随机事件，下列说法正确的有
A. 若 PA∪B=PA+PB ,则事件 A 与事件 B 互为对立事件
B. 若 PA∣B=PB∣A ,则 PA=PB
C. 若 PA=P1B ,则 PAB=PAB
D. 若 PA=13,PB∣A=12,PB∣A=14 ,则 PB=13 .
11. 声音的合成在音乐、信号处理中十分常见. 纯音的数学模型是函数 y=Asinωx ,我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成,记 fnx=sinx−12sin2x+13sin3x−⋯+−1n+11nsinnxn∈N∗ ,则下列说法正确的有
A. f2x 的最小正周期为 π
B. f2x 在区间 0,2π 上恰有 3 个零点
C. fnx 的图象关于点 2kπ,0k∈Z 中心对称
D. f3x 的最大值为 223+12
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 3+2x1−x3 的展开式中 x2 的系数为_____.
13. 已知圆 M 经过点 C0,3 ， D4,1 ，且圆心在直线 y=x 上，则圆 M 的方程为_____.
14. 在边长为 4 的菱形 ABCD 中, ∠BAD=π3 ,沿对角线 BD 将 △ABD 折起得到三棱锥 A′−BCD ,若 A′B⋅CD=0 ，则三棱锥 A′−BCD 外接球的表面积为_____.
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知 an 是等差数列, bn 是等比数列,且 a1=b1=3,a2+a4=2b2,a1a3=b3 .
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)记数列 anbn 的前 n 项和为 Sn ，求满足 Sn1.
(1)是否存在实数 μ ，使得 A1P⊥B1C ？若存在，求出 μ 的值；若不存在，说明理由.
(2)当 μ=2 时,求平面 PA1C1 与平面 PAC1 所成的锐二面角的余弦值.

17. (15 分) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的焦距为 23 ，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和为 4 .
(1)求椭圆 C 的标准方程.
(2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B ，点 P1,0 ，过点 P 的动直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点(M， N 均不同于 A,B )，直线 AM 与 BN 交于点 Q ,求证: 点 Q 在定直线上,并求出该定直线的方程.
18. (17分)某学校举办书法比赛，共有 n 幅作品. 评委首先按质量从高到低排序，最优者为第 1 名，次优者为第 2 名, ⋯ ,最差者为第 n 名. 一周后,评委遗忘之前排序,再次对这 n 幅作品按质量排序. 设第一次排序中排名为 i 的作品在第二次排序中的名次为 aia1,a2,⋯,an 是 1,2,⋯,n 的一个排列). 定义 X=1−a1+2−a2+3−a3+⋯+n−an 用以衡量两次排序的偏离程度.
(1)当 n=3 时,若评委两次排序完全随机(即所有排列等可能)，求 X 的所有可能取值集合.
(2)取 n=4 ，假设评委仅凭随机猜测排序，且各轮测试相互独立.
① 求 X 的分布列与数学期望 EX .
②若某评委在连续三轮测试中，每次都有 X≤2 ，计算这一事件发生的概率. 根据该概率，能否认为该评委具有较好的质量鉴别能力? 请说明理由.
19. (17 分) 已知函数 fx=ex,gx=ax2+x+1a∈R,ℎx=fx−gx .
(1)讨论 ℎ′x 在 0,+∞ 上的单调性.
(2)若任意 x>0 都有 ℎx>0 恒成立，求实数 a 的取值范围.
(3)已知数列 an 满足 an=1nn∈N∗ ，其前 n 项和为 Sn ，利用(2)中的结论,证明:对任意正整数 n ,都有 Sn>lnn+1+141−1n+1 .