河南省信阳市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省信阳市2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. （ ）
A. 0B. 4C. 12D. 24
【答案】D
【详解】.
故选：D.
2. 某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从6道题（其中选择题4道，填空题2道）中不放回地依次抽取2道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题，
即在3道选择题2道填空题中随机抽一题，抽到填空题的概率.
故选：B．
3. 根据下图的散点图，变量和变量的样本相关系数的值为（ ）
A. B. C. 0.34D. 0.88
【答案】A
【详解】由散点图知，变量和变量负相关，且相关性较强，所以样本相关系数．
故选：A．
4. 调查某医院一段时间内婴儿出生的时间（白天与晚上）和性别（男与女）的关联性，对样本数据分析统计，计算得到，依据小概率值的独立性检验，下列说法正确的是（ ）（附：）
A. 婴儿90%在白天出生
B. 婴儿性别与出生时间无关联
C. 有0.1的把握认为婴儿性别与出生时间有关联
D. 婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1
【答案】D
【详解】因为，
依据小概率值的独立性检验，
所以婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1．
故选：D．
5. （哪吒之魔童闹海）在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱．现将敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人4个卡通模型和2个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】解法1：从6个位置中选2个摆放哪吒模型，有种方法，
两个哪吒相邻等价于从5个位置中选一个摆放两个哪吒模型，有种方法，
所求概率为．
故选：C．
解法2：先从6个位置中选4个摆放敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人（剩下两个位置放哪吒模型），有种方法，
两个哪吒相邻可将两个哪吒捆绑在一起，与敖丙、敖闰、申公豹、太乙真人进行全排列，有种方法，
所求概率为．
故选：C．
6. 已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立．
设，，，
所以，函数在是单调递减，
，．．
故的最大值为.
故选：A．
7. 随机变量的分布列如下表，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由已知可得：得．
．
故选：C．
8. 某人在次射击中击中目标的次数为，且，记，，若是唯一的最大值，则的值为（ ）
A. 1.28B. 1.6C. 6.4D. 8
【答案】A
【详解】，，，
若是唯一的最大值，则
所以
解得．
因为，，
，，．
．
故选：A．
二、多项选择题：本大题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 设函数在上可导，其导函数为，函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. 在上单调递减B. 为的极小值点
C. 函数有极大值D. 函数有三个零点
【答案】AC
【详解】由函数的图象知，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，选项A正确；
不是的极值点，选项B错误；
2为的极大值点，函数有极大值，选项C正确；
由于不知道的极小值与极大值的符号，
所以不能确定函数的零点的个数，选项D错误．
故选：AC．
10. 我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所示，关于杨辉三角正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【详解】根据杨辉三角的性质：，，所以选项A正确，B错误；
当时，
，选项C正确；
当时，
，选项D正确．
故选：ACD．
11. 甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种．方式1：投篮3次，每次投中得1分，未投中不得分，累计计分．方式2：选手最多投3次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得2分，未投中不得分，累计计分．已知甲、乙两人每次投中的概率均为，且各次投篮相互独立．甲选择方式1投篮，乙选择方式2投篮．则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，甲得1分的概率为
B. 当时，甲至少得1分的概率为
C. 当时，乙最多得2分的概率为
D. 当时，乙得分的期望大于甲得分的期望
【答案】BCD
【详解】对于AB选项，当时，设甲得分为，则，
所以，
，A错误，B正确；
对于C，设乙的得分为，则可取0，2，4，6．
当时，，，则，C正确；
对于D，，，，，
的分布列为：
，
因为，，
由，
令，即，解得，
即当时，，选项D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 随机变量，若，则_____．
【答案】
【详解】由正态密度曲线的性质可得，所以．
故答案：.
13. 曲线在处的切线方程为_____．
【答案】
【详解】记，，，又．
所以，曲线在处的切线方程为，
即．
故答案为：.
14. 某校8名学生（高一1人，高二3人，高三4人）在数学竞赛中获奖.8人站成一排合影留念，同年级的同学不相邻的站法有_____种．
【答案】2016
【详解】先将4名高三学生全排列，
若高一、高二学生不相邻，站法有，
若高一学生与高二学生相邻，站法有，
共有站法种．
故答案为：2016.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
令，得．令，得，
所以．
【小问2详解】
令，得，
所以，
【小问3详解】
两边对求导，
得，
再令，得．
16. 人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷．随着DeepSeek的开源，促进了AI技术的共享和进步．某校AI社团十分关注学生DeepSeek的使用，若将经常使用DeepSeek的人称为“AI达人”，偶尔使用或不使用DeepSeek的人称为“非AI达人”．从该社团随机抽取60名学生进行调查，得到如下数据：
（1）补全列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为“AI达人”与性别有关联？
（2）现从抽取的“AI达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取7人，然后从7人中随机抽取2人，记2人中女“AI达人”的人数为，求的分布列与数学期望．
附：，．
【答案】（1）填表见解析；认为“AI达人”与性别无关
（2）分布列见解析；期望为
【小问1详解】
列联表如下：
零假设“AI达人”与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此认为成立，因此认为“AI达人”与性别无关．
【小问2详解】
在“AI达人”中按性别分层抽样抽取7人，其中，男“AI达人”抽取人，
女“AI达人”抽取3人，的所有可能取值为0，1，2．
则，，．
所以，的分布列如下：
的数学期望．
17. 某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据，其中，表示连续用药天，相应的临床药效指标值．已知该组数据中与之间具有线性相关关系，令，经计算得到下面一些统计量的值：，，，，，．
（1）求关于的经验回归方程；
（2）该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立．
①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率．
参考公式：对于一组数据，其回归方程中，斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
【答案】（1）
（2）①0.0072 ；②
【小问1详解】
，．
，，
关于的线性回归方程为：．
所以关于的回归方程为．
小问2详解】
设事件A：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件B：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件C：随机抽取一件该公司生产的药品为不合格品．
①因为设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，所以，，
则，．
所以．
故所抽药品为不合格品的概率为0.0072．
②，
即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为，
所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为．
18. 对于函数，若实数满足，则称为的不动点．已知函数．
（1）若的极小值小于，求的取值范围；
（2）当时，求函数的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
【答案】（1）
（2）函数有两个不动点，证明见解析
【小问1详解】
，
当时，，当时，，
所以，在上单调递减，在上单调递增，
故极小值为．
由，解得．
故的取值范围为；
【小问2详解】
当时，，依题意方程，
即的解就是函数的不动点．
令，
，
令，则，
当时，，当时，，
所以，在上递减，在上递增，
又，，且当时，．
所以，存在唯一，，使．
当时，，即，当时，，即，
所以，在上递减，在上递增．
所以，．
因为，即，也即
所以．
又．
根据零点存在定理，在，内各仅有一个零点，
所以，有且仅有两个零点．即函数有两个不动点．
设是的零点，则，
又，
所以也是的零点．
故所有零点之和等于零．即函数所有不动点之和等于零．
19. 第届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日．某大学举办中国传统节日知识竞赛，每位大学生随机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立．若答对一题记分，答错一题记分．已知学生甲答对每个问题的概率为，答错的概率为．
（1）学生甲随机抽取题，记总得分为，求的分布列与数学期望；
（2）若学生甲已答过的题累计得分为分的概率为，求与．
【答案】（1）分布列见解析，
（2），
【小问1详解】
的可能取值为、、、
，，
，．
的分布列为
所以，．
【小问2详解】
，，
当时，若甲已答过题累计得分为分，可由以下两种情况得出：
①甲已答过的题累计得分为分，下一个题答错得分，
②甲已答过的题累计得分为分，下一个题答对得分，
所以，即，
所以，数列为常数列．
又，所以，
则，所以，是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即．
当时，上式也成立．
所以，对任意的，．
.0
1
2
0
2
4
6
AI达人
非AI达人
合计
男
6
30
女
18
合计
0.100
0.050
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
AI达人
非AI达人
合计
男
24
6
30
女
18
12
30
合计
42
18
60
0
1
2