初中数学湘教版（2024）八年级上册（2024）4.6 线段的垂直平分线第二课时教学设计

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课题
4.6.2线段的垂直平分线
单元
第4单元
学科
数学
年级
八年级上册
教材分析
线段的垂直平分线是数学几何学习中的重要内容。本课时是尺规作图的进一步学习，同学们动手操作，利用尺规作图的方法自己去探索作图，进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据，培养他们的主动思考能力及动手操作能力。
核心素养
能力培养
掌握作一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线，已知底边及底边上的高线作等腰三角形，作一个角的平分线的方法，经历观察操作活动，提高动手操作能力，发展空间观念；
用线段垂直平分线解决实际问题的过程，提升解决几何问题能力。
教学目标
1．能够利用直尺和圆规作已知线段的垂直平分线；培养学生使用直尺和圆规作图的技能．
2．能够利用直尺和圆规作已知直线的垂线．
3.会在已知三角形底边及底边上的高线的条件下作等腰三角形，会作一个角的平分线.
教学重点
会作一条线段的垂直平分线.
教学难点
会在已知底边及底边上的高线的情况下作等腰三角形，会作一个角的平分线．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
复习回顾
1.垂直平分线（或中垂线）定义:
垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）.
2.线段垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
学生回忆思考回答。
用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性.
新知探究
说一说:
已知线段 AB，如果要作线段 AB的垂直平分线，可以怎样作？根据是什么？
根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可知，
若能找出到线段 AB 两端距离相等的两个点，则这两点确定的直线就是线段AB的垂直平分线.
例2
作一条线段的垂直平分线.
如图，已知线段AB.求作线段AB的垂直平分线.
作法：（1） 分别以点A，B为圆心，以相同长度（大于12AB的长）为半径画圆弧，两弧相交于点C和点D.
过点 C，D 作直线 CD，则直线 CD 就是线段AB的垂直平分线.
也可用此法作线段的中点．
注意：
在作线段的垂直平分线的过程中，弧的半径一定要大于已知线段长的一半.
思考:
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
若能找到直线 l上的一条线段 AB，使 AB的垂直平分线经过点 P，则该垂直平分线就是所求作的直线.
由于点P与已知直线l的位置关系有两种，于是需分情况来作图.
（1） 点P在直线l上.
（2） 点P在直线l外.
注意：
规定“以大于已知线段的一半 (12AB) 的长为半径”是两弧有两个交点的前提；
两弧的交点到线段的两个端点的距离相等.
例3
已知底边及底边上的高线作等腰三角形.
如图，已知线段a，h.
求作△ABC，使AB = AC，且BC = a，高AD = h.
分析：由于等腰△ABC 的底边 BC上的高线 AD 也是底边上的中线，从而直线AD是底边的垂直平分线，因此，首先作出该等腰三角形的底边及底边的垂直平分线，然后在垂直平分线上以底边中点为一端点，截取长为h的线段就可确定三角形的另一个顶点.
作法：（1） 作线段BC = a；
（2） 作线段BC的垂直平分线MN，交BC于点D；
（3） 在射线DM（或DN）上截取线段DA，使DA = h；
（4） 连接 AB，AC，则△ABC 为所求作的等腰三角形（如图）.
1. 作图依据：等腰三角形的三线合一.
2. 作图思路：运用“作一条线段等于已知线段”和“作线段的垂直平分线”的基本作图方法.
例4
求作一个角的平分线.
如图，已知∠AOB，求作∠AOB的平分线.
分析：由于等腰三角形的顶角平分线也是底边上的垂直平分线，故先以∠AOB的顶点O为顶点，两腰分别在射线 OA，OB 上，构造等腰△ODE，然后过点 O 作底边 DE的垂直平分线OC，则射线OC就是∠AOB的平分线.
作法 （1） 以点 O 为圆心，以任意长为半径画圆弧，
分别与OA，OB交于点D，E，连接DE；
（2） 分别以点 D，E 为圆心，以相同长度（大于12DE的长）为半径画圆弧，在∠AOB内部两弧交于点C；
（3） 作射线 OC，则 OC 为所求作的∠AOB 的平分线（如图）
1. “ 以大于12DE 的长为半径画弧”是因为若以小于12DE的长为半径画弧，画出的两弧不能相交；
2. “作射线OC”不能叙述为“ 连接OC”，因为角的平分线是射线而不是线段.
学生思考回答。
学生小组讨论，动手操作。
学生在教师的引导下作答。
学生独立思考，然后与老师一起作图。
学生独立思考尝试作图。
通过提出问题的形式，让学生找到作线段垂直平分线的方法。
让学生知道在作线段的垂直平分线的过程中，弧的半径一定要大于已知线段长的一半，提高实践操作能力。
引导学生过一点作已知直线的垂线，对线段垂直平分线的做法进行深入应用。
让学生运用“作一条线段等于已知线段”和“作线段的垂直平分线”的基本作图方法去作图。
掌握作一个角的平分线的作图方法，提高动手操作能力。
课堂练习
1.用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，在直线l上求作一点P，使PA = PB.
2.用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）
如图，作出△ABC的边BC上的高.
3.用尺规完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写出作法）
任意画一个钝角，作它的平分线.
学生利用尺规作图法作图，小组交流讨论，派代表板书答案。
通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。
课堂小结
1.作一条线段的垂直平分线：
在作线段的垂直平分线的过程中，弧的半径一定要大于已知线段长的一半.
2.过一点作已知直线l的垂线：
规定“以大于已知线段的一半 (12AB) 的长为半径”是两弧有两个交点的前提；
两弧的交点到线段的两个端点的距离相等.
3.已知底边及底边上的高线作等腰三角形：
作图依据：等腰三角形的三线合一.
作图思路：运用“作一条线段等于已知线段”和“作线段的垂直平分线”的基本作图方法.
4.作一个角的平分线：
“ 以大于12DE 的长为半径画弧”是因为若以小于12DE的长为半径画弧，画出的两弧不能相交；
“作射线OC”不能叙述为“ 连接OC”，因为角的平分线是射线而不是线段.
学生回顾总结，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
课后练习
必做题：教材习题4.6--学而时习之 5题、6题、7题、8题
选做题：请完成学案作业布置内容