2025-2026学年山东省青岛第十七中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年山东省青岛第十七中学高一（下）期末数学试卷试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=sin1+ics1，则|z|=（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
2.已知向量=（m,1），=（4，m），则“m=2”是“∥”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知集合，B={x|x＞1}，则（ ）
A. A∩B=∅B. A∪B=RC. B⫋AD. A⫋B
4.已知，sin（α+β）=1，则=（ ）
A. -2B. C. D. 2
5.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（2+x）=f（-x），f（-1）=1，则f（9）=（ ）
A. -1B. 0C. 1D. 2
6.Margalef丰富度指数是用于衡量群落中生物种类丰富程度的一个指标，其中S和N分别表示群落中的生物种类数和生物个体总数.如果某生物群落一年后的生物种类数S没有改变，生物个体总数由N1变为N2，Margalef丰富度指数由1.8提高到4.5，则（ ）
A. 5N2=2N1B. 2N2=5N1C. D.
7.如图，在△ABC中，，F为AB中点，CE=3，CB=6，AB=12，则=（ ）
A. -32
B. -27
C. -18
D. -12
8.设函数（其中a,b均大于0），若f（x）≥0，则的最小值为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设Ox、Oy是平面内相交的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为60°.若向量，则把有序实数对（x,y）叫做在坐标系Oxy中的坐标，即，设，则（ ）
A.
B.
C. 在上的投影向量的坐标为
D.
10.已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. f（x）的最小正周期是πB. f（x）的图像关于点中心对称
C. D. f（x）在区间上单调递减
11.函数f（x），g（x）的定义域为R，f（x）为偶函数且恒大于0，，f（x+y）=f（x）f（y）+g（x）g（y），g（x+y）=g（x）f（y）+f（x）g（y），则（ ）
A. f（0）=2
B. f（8）-g（8）=9
C. f（3x）=4f3（x）-3f（x）
D. 对于任意x∈R，点（f（x），g（x））到直线y=x与y=-x的距离之积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且3S5=8S3，S4=26，则a5= .
13.已知函数，若f（a）=e,则实数a= ______.
14.已知实数a1，a2，…，a10，满足|a1+a2+…+a10|=1，且|an-an-1|≤1（n=2，3，4，…，10），则当1≤i＜j≤10时，|ai+ai+1+…+aj|的最大值为 .
15.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PA，PB，PC分别为圆锥的母线，PA⊥PB，OP=OA=1，则三棱锥P-ABC体积的最大值为 .
四、解答题：本题共6小题，共89分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.已知.
（1）求的值；
（2）证明：.
17.(本小题12分)
已知函数f（x）=alnx+x-2a（a∈R）.
（1）当a=-2，求f（x）的单调性；
（2）若曲线y=f（x）经过点A（1，-1），且在A处的切线为l.证明：除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的下方.
18.(本小题15分)
某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，且其图象关于y轴对称，求g（x）g′（x）＞2在上的解集.
19.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC交BD于O，AB⊥BC，AB=BC=，AD=CD=，PA=2，E为PC中点.
（1）证明：PA∥平面BED；
（2）求AE与平面PAD所成角的正弦值.
20.(本小题17分)
已知向量，，函数，f（x）的所有大于0的零点构成递增数列{an}.
（1）写出{an}的前6项；
（2）记{an}的所有偶数项构成数列{bn}，设，求数列{cn}的前n项和Sn.
21.(本小题17分)
已知函数y=f（x）的定义域为R.对于正实数a,定义集合Ma={x|f（x+a）=f（x）}.
（1）若f（x）=sinx,判断是否是Mπ中的元素，并说明理由；
（2）若f，Ma≠∅，求a的取值范围；
（3）设y=f（x）是偶函数，当x∈（0，1]时，f（x）=1-x,且对任意a∈（0，2），均有Ma⊆M2.写出y=f（x），x∈（1，2）的解析式，并证明：对任意实数c,函数y=f（x）-c在[-3，3]上至多有9个零点.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】ACD
10.【答案】AD
11.【答案】BCD
12.【答案】14
13.【答案】e
14.【答案】13
15.【答案】
16.【答案】 证明：因为=，
又0＜B＜π，所以
17.【答案】在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增 由f（x）=alnx+x-2a过点A（1，-1），
可得f（1）=1-2a=-1，解得a=1，
此时f（x）=lnx+x-2，定义域为（0，+∞），
f′（x）=，又f（1）=-1，f′（1）=2，
故曲线y=f（x）在A点处的切线l的方程为：y-（-1）=2（x-1），即y=2x-3；要证：除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的下方，
即证：2x-3-（lnx+x-2）≥0，也即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时等号成立，
令h（x）=lnx-x+1，定义域为（0，+∞），
h′（x）=，
故当x∈（1，+∞），h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（0，1），h′（x）＞0，h（x）单调递增；故当x=1时，h（x）取得极大值，也是最大值h（1）=0，
故h（x）≤h（1）=0，也即lnx-x+1≤0，当且仅当x=1时等号成立，
故除切点A外，曲线y=f（x）在直线l的下方，即证
18.【答案】解：（1）根据五点法完善表格数据如下：
因为，
所以ω=2，，
又由于，可得A=2，
可得；
（2）由于将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）的图象，且其图象关于y轴对称，
可得为偶函数，
所以，，
又，
所以k=0时，，
可得，
可得g′（x）=-4sin2x,
所以g（x）g′（x）=2cs2x×（-4sin2x）=-4sin4x＞2，即，
又，
所以4x∈（0，2π），
则，
解得，
所以g（x）g'（x）＞2在上的解集为．
19.【答案】解：（1）证明：连接OE，
因为AB=BC，AD=CD，BD=BD，
则△ADB≌△CDB，
则∠ABD=∠CBD，又AB=BC，OB=OB，
则△CBO≌△ABO，
则AO=CO，即O为线段AC的中点，
因E为PC中点，则OE为△ACP的中位线，
则OE∥AP，
因为OE⊂平面BED，AP⊄平面BED，
则PA∥平面BED；
（2）设点E到平面PAD的距离为d,
因为AB⊥BC，，则AC=2，
由（1）可知△CBO≌△ABO，
则，即AC⊥BD，
因为，则，
则，
因为PA⊥底面ABCD，AD⊂平面ABCD，
则PA⊥AD，因为PA=2，
则，
因为，
则，
即，
又PA⊥底面ABCD，OE∥PA，则OE⊥底面ABCD，
又AC⊂底面ABCD，则OE⊥AC，则，
则AE与平面PAD所成角的正弦值为．
20.【答案】解：(1)由题意f(x)=-
​​​​​​​=x-(1-x)=(x+x)-=(x+)-.
由f(x)=0,得(x+)=.
​​​​​​​所以x+=2k+或x+=2k+,kZ.
​​​​​​​即x=2k或x=2k+,kZ,
取其中的正数构成递增数列{},知{}的前6项为,2,,4,,6.
(2)由(1)知=2n,所以=2n=n.
所以=1(-2)+2+3++n.
-=1+2+3++(n-1)+n.
-,得=-2++++-n=-n=--(n+).
所以=--.
​​​​​​​
21.【答案】不属于Mπ，理由见解答．
a．
x∈（1，2）时，f（x）=x-1；证明见解答． ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
-2
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin（ωx+φ）
0
2
0
-2
0