八年级数学上册试题 第二章《特殊三角形》单元测试卷--浙教版（含答案）

这是一份八年级数学上册试题 第二章《特殊三角形》单元测试卷--浙教版（含答案），共22页。
第二章《特殊三角形》单元测试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）1．2026年4月23日第31个世界读书日主题“阅读：通往未来的桥梁”．下列图书馆标志图形中，是轴对称图形的是（　　）A．B．C．D．2．如图，如果直线m是多边形ABCDE的对称轴，其中∠A=130°，那么∠E的度数等于（   ）A．40°B．50°C．60°D．130°3．下列每组三个数能构成直角三角形的是（   ）A．3,4,6B．4,6,8C．8,15,17D．2,3,44．如图，一架靠墙摆放的梯子长10米，底端离墙角的距离为6米，则梯子顶端离地面的距离为（   ）米A．8B．7C．6D．55．小方画了一个两边长分别为5和8的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（   ）A．18B．13C．21D．18或216．如图，等边三角形ABC的边长为1cm，D，E分别是AB,AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为（    ）A．3cmB．4cmC．4.5cmD．5cm7．如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD,DF=DE，则∠E=（   ）A．20°B．25°C．10°D．15°8．如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD，若AC=6，BC=4，则BD的长为（   ）A．1B．32C．2D．39．如图，将一根长为24cm的吸管置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为ℎcm，则ℎ的取值范围是（   ）A．12≤ℎ≤13B．11≤ℎ≤12C．11≤ℎ≤13D．10≤ℎ≤1210．如图，等腰Rt△ACD，斜边AD=4，分别以的边AD、AC、CD为直径画半圆，所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和是（   ）A．4B．4πC．2πD．π2二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）11．已知在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，那么∠ADB= ．12．如图，已知△ABC ≌ △ADE，点D在BC边上，∠CAE=40°，则∠ABC的度数是 ．13．如图，校园内有一块长方形草坪ABCD，已知AB=80m，BC=60m，学校为了方便学生上学，从点A到点C修建一条笔直小路，则学生沿着AC走比原来少走 m．14．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形A、B、C、D的面积的和是 ．15．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD=4，DE=7，则线段CE的长为 ．16．如图，圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要 米．三、解答题（本题共8小题，共72分．）17．（8分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，点D、E、F分别在AB，BC，AC边上，且BE=CF，BD=CE．(1)若DE=6，求EF的长度；(2)求∠DEF的度数．18．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC，垂足为D．(1)求作∠ABC的平分线，分别交AD,AC于P，Q两点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)判断△APQ的形状，并证明．19．（8分）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．(1)若BC=10，求△AEG的周长；(2)若∠BAC=120°，求∠EAG的度数．20．（8分）【合作探究】如图①，在△ABC中，AC=13,BC=14,AB=15，过点A作AD⊥BC交BC于点D，求BD的长．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程．（1）设BD=x，则CD=___________（用含x的代数式表示）；（2）请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程，并求出x的值；【类比应用】如图①，在△ABC中，AB=15,BC=4,AC=13，求△ABC的面积．21．（8分）为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠B=90°,AB=4m,DA=12m,BC=3m,CD=13m，求出空地ABCD的面积．22．（10分）【资料】如图①，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，该图通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．【拓展】根据以上材料，老师将图①进行了拓展：(1)如图①，若黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，每个朱实的面积是_____；(2)如图②，将长方形ABCD的四边AD、DC、CB、BA分别延长至E、F、G、H，使得DE=DC=BG=AB，CF=BC=AH=AD，连接EF、FG、GH、HE．①求证：EF=GH；②若AB=4，BC=3，则图中阴影部分图形的面积为_____．23．（10分）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，AB=BC,∠ABC=60°，BD是AC边上的高，点E为线段BC上一点，CE=AD，连接DE，求证：△DCE为等边三角形；【问题解决】（2）2025年4月28日，党中央隆重召开全国劳动模范和先进工作者庆祝表彰大会．为加强劳动教育，落实五育并举，某校计划在校内修建劳动实践基地，如图2，四边形ABDC为基地平面示意图，AB、AC边靠墙，BC为一条通道，△ABC区域为果蔬栽培区，△BCD区域为花卉栽培区，根据规划要求，△ABC是等边三角形，∠BDC=120°，学校计划沿BD、CD修建栅栏，沿AD修建灌溉水渠，为了合理预算，需要知道AD、BD、CD之间的数量关系，请你帮助学校确定AD、BD、CD之间的数量关系，并说明理由．24．（12分）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形．(1)问题发现：如图1，若△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD=CE；(2)拓展探究：如图2，若△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接BE，则∠AEB的度数为______；线段BE与AD之间的数量关系是______．(3)解决问题：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A、D、E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．①请求出∠AEB的度数；②线段CM、AE、BE之间的数量关系为______．参考答案一、选择题1．A解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．2．D解：由轴对称性质可知：∠E=∠A=130°．故选：D．3．C解：A：∵32+42=25，62=36，∴32+42≠62，不能构成直角三角形，故该选项不合题意；B：∵42+62=52，82=64，∴42+62≠82，不能构成直角三角形，故该选项不合题意；C：∵82+152=289，172=289，∴82+152=172，能构成直角三角形，故该选项符合题意；D：∵22+32=13，42=16，∴22+32≠42，不能构成直角三角形，故该选项不合题意． 故选：C ．4．A解：由题意得，梯子顶端离地面的距离为102−62=8米，故选：A．5．D解：当腰长为5时 ：底边为8，三边分别为5,5,8，验证三角形三边关系：5+5>8（10>8，成立），5+8>5（13>5，成立），满足条件，周长为：5+5+8=18当腰长为8时：底边为5，三边分别为8,8,5，验证三角形三边关系：8+8>5（16>5，成立），8+5>8（13>8，成立），满足条件，周长为：8+8+5=21综上，等腰三角形的周长可能为18或21，故答案为：D.6．A解：∵等边三角形ABC的边长为1cm，∴AB=BC=AC=1cm，∵将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，∴AD=A′D,AE=A′E，∴阴影部分图形的周长为：BD+A′D+BC+A′E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3cm．故选：A7．D解：∵ △ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∵ CG=CD，∴∠CDG=∠CGD=12∠ACB=30°，∵DF=DE，∴∠E=∠EFD=12∠CDG=15°．故选：D．8．A解：延长BD与AC交于点E，∵∠A=∠ABD，∴BE=AE，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=90°，∴∠CBD+∠BCD=90°，∠CED+∠ECD=90°，又CD平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD，∴∠CBD=∠CED∴BC=CE=4，∴BD=DE，∵AC=6，∴AE=AC−CE=2，∴BE=AE=2，∴BD=12BE=1．故选：A．9．B解：当吸管与圆柱母线平行时，ℎ最长，此时ℎ=24−12=12(cm)；当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，ℎ最短，∴24−ℎ2=52+122，解得：ℎ=11或ℎ=37（舍去），∴ℎ的取值范围是11≤ℎ≤12，故选：B．10．A解：如图，过点C作CB⊥AD于点B,∵等腰Rt△ACD，斜边AD=4，∴AC2+CD2=AD2，CB=12AD=2∵以等腰Rt△ACD的边AD、AC、CD为直径画半圆，∴S半圆ACD=12π×14AD2=18πAD2 ，S半圆AEC=12π⋅14AC2=18πAC2， S半圆CFD=12π⋅14CD2=18πCD2，∴S半圆ACD=S半圆AEC+S半圆CFD，∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和为S半圆AEC+S半圆CFD+S△ACD−S半圆ACD=S△ACD，∵△ACD的面积=12×2×4=4，∴所得两个月形图案AGCE和DHCF的面积之和为4，故选：A．二、填空题11．105°解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=180°−40°÷2=70°，又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CDB=35°，∴∠ADB=180°−40°+35°=105°．故答案为：105°．12．70∘解：∵△ABC ≌ △ADE，∴∠DAE=∠BAC，AB=AD，∴∠BAD=∠CAE=40∘，∵AB=AD，∴∠ABC=∠ADB=12×180∘−40∘=70∘．故答案为：70∘．13．40解：由题意得AB=80m，BC=60m，∠ABC=90°∴AC=AB2+BC2=100m，∴AB+BC−AC=40m．∴学生沿着AC走比原来少走40m．故答案为：40．14．49cm2/49平方厘米解：如图所示，在Rt△PQM中，由勾股定理得PQ2+MQ2=PM2，由正方形的面积计算公式可得SA=PQ2，SB=MQ2，SE=PM2，∴SA+SB=SE，同理可得SC+SD=SF，SE+SF=SG，∴SA+SB+SC+SD=SG=72=49cm2，故答案为：49cm2．15．3解：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠CBF，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∴∠DBF=∠DFB，∴DF=BD=4，∴EF=DE−DF=3，同理可得CE=EF=3，故答案为：3．16．34解：由题意得：彩带最短为长方形对角线长度，∵圆柱的高为3米，底面圆的周长为5米，∴52+32=34 米，故答案为：34．三、解答题17．（1）解：∵AB=AC, ∠A=50°，∴∠B=∠C=12180°−∠A=65°，在△BED和△CFE中，BE=CF ∠B=∠CBD=CE，∴△BED≌△CFE（SAS），∴EF=DE=6；（2）∵△BED≌△CFE，∴∠BED=∠CFE，∴∠DEF=180°−∠BED+∠CEF=180°−∠CFE+∠CEF=180°−180°−∠C=∠C=65°．18．（1）解：如图，角平分线BQ即为所求．（2）解：△APQ为等腰三角形，证明如下：∵BQ是∠ABC的平分线，∴∠ABQ=∠CBQ，∵∠BAC=90°,AD⊥BC，∴∠ABQ+∠AQB=90°,∠CBQ+∠BCQ=90°，∴∠ABQ+∠AQB=90°,∠CBQ+∠BPD=90°，∴∠AQB=∠BPD，∵∠APQ=∠BPD，∴∠APQ=∠AQB，∴AP=AQ，∴△APQ为等腰三角形．19．（1）解：∵DE是AB的垂直平分线，GF是AC的垂直平分线，∴EA=EB，GA=GC，∴△AEG的周长=EA+EG+GA=EB+EG+GC=BC=10；（2）解：∵∠BAC=120°，∴∠B+∠C=180°−120°=60°，∵EA=EB，GA=GC，∴∠EAB=∠B，∠GAC=∠C，∴∠EAB+∠GAC=∠B+∠C=60°，∴∠EAG=120°−60°=60°．20．（1）解：设BD=x，∵BC=14∴CD=BC−BD=14−x故答案为：14−x．（2）由勾股定理，得AD2=AB2−BD2=152−x2，AD2=AC2−CD2=132−(14−x)2，故152−x2=132−(14−x)2，解得x=9．类比应用：如图，过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D，则AD2=AB2−BD2=AC2−CD2，即152−(4+CD)2=132−CD2，解得CD=5，所以AD=12，所以S△ABC=12AD⋅BC=24．21．解：如图，连接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=42+32=52，在△ACD中，CD2=132，AD2=122，而52+122=132，即AC2+AD2=CD2，∴△ACD为直角三角形，∴∠DAC=90°，S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12⋅BC⋅AB+12AC⋅AD=12×3×4+12×5×12=36m2，答：空地ABCD的面积36m2．22．（1）解：∵黄实的面积为1，所拼得的大正方形的面积为25，∴a−b2=1,a2+b2=25，∴ab=12，∴每个朱实的面积=12ab=6，故答案为：6；（2）①证明：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC,CD=AB,∠ADC=∠BCF=∠ABC=∠DAB=90°，∴∠EDF=∠GBH=90°，∵DE=DC=BG=AB,CF=BC=AH=AD，∴DF=BH，∴△HBG≌△FDESAS，∴EF=GH；②解：∵AB=4,BC=3，∴DE=DC=BG=AB=4,CF=BC=AH=AD=3，∴阴影部分图形的面积=3×4+2×12×3×3+2×12×4×4=37，故答案为：37．23．（1）证明：∵AB=BC,∠ABC=60°∴△ABC为等边三角形，∠C=60°，∵BD是AC边上的高，∴AD=CD．∵CE=AD，∴CD=CE，∴△DCE是等边三角形．（2）AD=BD+CD理由如下：如图，延长BD到点E，使得DE=CD．连接CE，∵ ∠BDC=120°，∴ ∠CDE=180°−120°=60°，又∵ DE=CD，∴ △CDE是等边三角形，∴ CD=CE,∠DCE=60°，∵ △ABC是等边三角形，∴ AC=BC,∠ACB=60°，∵ ∠DCE=∠ACB，∴ ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE， ∵BE=BD+DE=BD+CD，∴AD=BD+CD．24．（1）证明：∵△ABC和△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAC−∠CAD=∠DAE−∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌ △CAESAS，∴BD=CE；（2）解：∵△ABC和△CDE均是等边三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=∠CDE=∠CED=60°，∴∠ACB−∠BCD=∠DCE−∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌ △BCESAS，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∵∠CDE=60°，∴∠BEC=∠ADC=180∘−∠CDE=120°，∵∠CED=60°，∴∠AEB=∠BEC−∠CED=60°，故答案为：60°；AD=BE；（3）解：①∠AEB=90°，理由如下：同（1）（2）的方法得，△ACD≌ △BCESAS，∴AD=BE，∠ADC=∠BEC，∵△CDE是等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠ADC=180°−∠CDE=135°，∴∠BEC=∠ADC=135°，∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135°−45°=90°；②∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM.∴AE=AD+DE=BE+2CM，故答案为：AE=BE+2CM.