七年级数学上册试题 第五章《 一元一次方程》暑假单元自测卷 --北师大版（含答案）

这是一份七年级数学上册试题 第五章《 一元一次方程》暑假单元自测卷 --北师大版（含答案），共44页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式中，是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．解方程时，去分母正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的进价为（ ）
A．240元B．270元C．250元D．230元
5．整式的值随x的取值不同而不同，下表是当x取不同数值时对应的整式的值。则关于x的方程的解为（ ）
A．0B．C．12D．无法计算
6．当的值为 25 时，代数式的值是（ ）
A．51B．15C．51 或D．15 或
7．对于任意有理数，定义它的“对称差”为：，例如：．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．下列变形中，不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
9．牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．二人五个少十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？（选自《算法统宗》）．题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若2人一组，每组5个杏，则少10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏．设杏有个，则所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．记，，称为，，…，这列数的“理想数”．已知，，…，的“理想数”为2026，若在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，则的值为（ ）
A．0B．2C．4D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若是关于的方程的解，则的值为__________．
12．若是关于x的一元一次方程，则______．
13．若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为________．
14．已知代数式，当取一个值时，代数式对应的值如上表所示，则关于的方程的解为_____．
15．年月日，我国首艘万立方米液化天然气（）运输船“乔治敦”号顺利交付，该船型被称为“造船业皇冠上的明珠”．某工厂计划用天时间生产一批轮船模型，实际每天比原计划多生产个，结果提前天完成了生产任务，则原计划每天生产________个轮船模型．
16．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程解为_____．
三、解答题（第17--第22题，每题8分；第23，24题，每题12分；共8小题，共72分）
17．解一元一次方程．
(1) (2)
18．小芳同学在解关于的一元一次方程时，误将抄成，求得方程的解为，请帮小芳求出原方程正确的解．
(1)求的值；
(2)求方程正确的解．
19．已知，为定值，关于的方程，无论为何值，它的解总是．求．
20．某村为了更方便地运输农作物，现计划将村里全部的交通主干道修成水泥路．已知甲工程队单独完成此项工程需要的天数比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的2倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为25天．
(1)甲、乙工程队单独完成此项工程各需要多少天？
(2)若甲先单独修5天，之后甲、乙合作修完，甲、乙还需合作几天才能完成此项工程？
21．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“相反方程”．例如：方程的解为，的解为，其中2和互为相反数，我们就称方程和为“相反方程”．
(1)请说明方程和是“相反方程”；
(2)若关于x的方程和是“相反方程”，求m的值；
(3)若关于y的方程的“相反方程”的解，也是关于y的方程的解，求n的值．
22．小晶家以下各月用水量情况如下表所示：（每月1号检查水表读数，水费按月计费）
(1)二月份小晶家用水多少吨？
(2)若一月份比六月份用水少．已知每个家庭用水量不超过标准范围每吨收取水费3元，若超过标准范围超标部分每吨收取水费元，小晶家六月份共交水费54元，求每月标准用水量．
(3)在（2）的条件下，若小晶家下半年每个月的用水量均大于或等于用水量的最高标准，且上半年交水费比下半年少，求小晶家下半年用水量多少吨？
23．“洛书”，是世界上最早的矩阵，又称幻方．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等．
根据题意回答：
(1)表1三阶幻方中间的数字是_____；
(2)设表2三阶幻方中间的数字是，
①用含的代数式表示幻方中9个数的和；
②每一行、每一列、每条对角线三数之和等于中间数的_____倍；
③求第一行中间的代数式；
(3)类比于“幻方”，表3是一个每一行、每一列和每条对角线上各个数之积都相等的“三阶积幻方”，根据表格信息求．
24．【阅读理解】“数形结合”是重要的数学思想．如：表示2与差的绝对值，实际上也可以理解为2与在数轴上所对应的两个点之间的距离．同样地，表示与在数轴上所对应的两个点之间的距离．进一步地，数轴上两个点，，所对应的数分别用，表示，那么，两点之间的距离表示为．
【简单应用】利用此结论，回答下列问题：
(1)根据绝对值的几何意义，当时，__________；
(2)当取得最小值时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
(3)【变式应用】已知，求的最小值；
(4)【实际应用】如图，一条笔直的公路边有四个居民区、、、和市民广场，居民区、、、分别位于市民广场左侧，右侧，右侧，右侧．现需要在该公路上建一个便民服务点，直接写出这个便民服务点建在何处，才能使其到四个居民区、、、总路程最短？最短路程是多少？
参考答案
一、选择题
1．D
解：A、，含有2次项，不是一元一次方程；
B、，不是等式，不是一元一次方程；
C、，含有两个未知数，不是一元一次方程；
D、，是一元一次方程.
2．A
解：，
移项得：，
两边同时除以得：
因此方程的解为．
3．B
解：∵方程的分母为2和3，最小公倍数是，
∴给方程两边同时乘去分母，得：．
4．C
解：设该商品的原售价为元，
∵商品进价固定，按原售价七五折出售亏损25元，可得进价为元，按原售价九折出售盈利20元，可得进价为元，
∴列方程得：，
解得，
将代入，得进价为：
（元），
因此该商品的进价为250元．
5．A
解：∵ 所求方程为 ，
∴ 给等式两边同乘 ，可得 ，
观察表格可知，当整式 的值为 时，对应的 的取值为 ，
∴ 方程 的解为
6．C
解：，
∴，
∴，
当时，，
当时，，
∴ 代数式的值为51或，
故选：C．
7．A
∵，
当时，，，与矛盾，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
8．D
解：根据等式性质，等式两边同时加(或减)同一个数，等式仍然成立，∵，两边同时加，得，∴ A变形正确；
根据等式性质，等式两边同时乘(或除以)同一个不为的数，等式仍然成立，∵，两边同时除以，得，∴B变形正确；
∵，
∴，
根据不等式性质，不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∵，两边同时除以正数，得，∴C变形正确；
∵无法确定的符号，当时，不等式两边同时除以，不等号方向改变，若，可得，因此D变形错误．
9．A
解：设杏有个，两种分法的牧童总人数相等．
∵第一种分法中，2人一组，每组5个杏，少10个杏，
∴满足分组共需要个杏，组数为，总人数为．
∵第二种分法中，4人一组，每组8个杏，多2个杏，
∴实际分掉个杏，组数为，总人数为．
∵总人数相等，因此可得方程．
10．
【分析】根据题意得出，，然后建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意得：
∴，
∵在前面添加一个数，得到新的一列数，，，…，的“理想数”仍为2026，
∴，
∴，
解得．
二、填空题
11．
解：把代入方程得：
整理得
移项合并同类项得
系数化为得．
12．1
解：是关于x的一元一次方程，
∴，
∴．
13．
解：设，则关于的一元一次方程可化为，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴，
∴，解得，
∴关于的一元一次方程的解为．
14．
解：∵，
∴，
由表格可知，当时，，
故关于的方程的解为；
故答案为：
15．
解：设原计划每天生产个轮船模型，
由题意可知，实际生产天数为天，实际每天生产个，根据总任务量相等，列方程得：
，
解得：，
即原计划每天生产6个轮船模型．
16．4048
解：设，则新方程化为，
两边乘以，得：，
即 ，
设 ，则方程变为 ，
已知方程的解为，
因此，
于是，即，
由，得，
解得：．
故答案为：4048．
三、解答题
17．（1）解：
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
18．（1）解：依题意可知方程的解为．
把代入，得．
，
，
；
（2）解：把代入，可得原方程为．
去分母，得
．
去括号，得
．
移项，得
．
合并同类项，得
．
19．解： 将代入方程，得：
，
整理得：，
因为上式对任意的值都成立，所以含项系数为0，常数项也为0，
则有：，，
∴，，
∴．
20．（1）解：设乙工程队单独完成此项工程需要天，则甲工程队单独完成此项工程需要天，根据题意得：
，解得，
甲单独完成需要的天数为（天）
答：甲工程队单独完成此项工程需要15天，乙工程队单独完成此项工程需要10天．
（2）设甲、乙还需合作天才能完成此项工程，将总工程量看作单位1，则甲每天工作效率为，乙每天工作效率为，根据题意得：
，解得．
答：甲、乙还需合作4天才能完成此项工程．
21．（1）解：解方程，得，
解方程，得，
∵3与是相反数，
∴方程与是“相反方程”．
（2）解：解方程，得．
∵关于x的方程和是“相反方程”，
∴是方程的解，
将代入，得，
解得．
（3）解：解方程：，得，
∴的“相反方程”的解是，
将代入方程，得，
解得．
22．（1）解：（吨），
二月份小晶家用水6吨；
（2）解：一月份用水 （吨），
设六月份用水 吨，由一月份比六月份少 ​，
，
（吨），
若标准量 ，水费 ，故标准量小于14吨，
设标准量为 吨，
，
解得，；
答：每月用水量的最高标准为6吨；
（3）解：上半年各月用水：5，6，7，7，9，14（吨），
标准量为6吨，
1月水费：（元），
2月水费：（元），
3月水费：（元），
4月水费：（元），
5月水费：（元），
6月水费：（元），
上半年总水费 （元），
设下半年总水费为 元，
，
解得，（元），
设下半年用水量为 吨，标准内 吨，
，
解得，（吨）．
答：小晶家下半年用水量为吨．
23．（1）解：由题意可知，，
∴，
（2）解：①幻方中9个数的和为，
②由①知每一行、每一列、每一对角线三数之和等于中间数的3倍
③第一行中间代数式为：
（3）解：∵横、竖、斜三数之积均相等，
，
解得：，，
；
24．（1）解：，
或，
解得，或．
（2）解：由题意得，，
当时，取得最小值．
故选：C．
（3）解：由绝对值的几何意义可知，当时，取得最小值，
此时，最小值为；
当时，取得最小值，
此时，最小值为；
当时，取得最小值，
此时，最小值为；
又，
，，．
又取最小值，
，取最小值，取最大值，
，，，
的最小值为．
（4）解：设该便民服务点表示的数为，
根据题意，以市民广场为数轴原点，市民广场右侧为正方向建立数轴，如图所示：
则居民区、、、在数轴上表示的数分别为，1，4，9，
点到、、、四点的距离和，可表示为，
当时，取得最小值，
此时，最小值为．
答：便民服务点建在点与点之间，包括点和点处，才能使其到四个居民区、、、总路程最短，最短路程是．
x
0
12
8
4
0
0
0.5
1
1
2
2.5
3
月份
1
2
3
4
5
6
7
月初水表读数为（吨）
185
190
196
203
210
219
233
表1
表2
表3
4
2
1
8
？
3
0
5
4