北师大版数学七年级上册第五章 一元一次方程

这是一份北师大版数学七年级上册第五章 一元一次方程，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)
1.(2022河北石家庄长安月考)下列各式中，是一元一次方程的是( )
A.x2-x=4B.3x+5y=15C.2x+1=0D.5x+2=3
2.下列方程的变形中，正确的是( )
A.将方程3x-5=x+1移项，得3x-x=1-5B.将方程-15x=5两边同除以(-15)，得x=-3
C.将方程2(x-1)+4=x去括号，得2x-2+4=xD.将方程x3+x4=1去分母，得4x+3x=1
3.已知某数为x，若比它的34大1的数的相反数是5，求x，则可列出的方程是( )
A.-34x+1=5B.−34(x+1)=5C.34x−1=5D.−34x+1=5
4.代数式2x+3与-5x-6的值互为相反数，则x=( )
A.4B.1C.-4D.-1
5.(2023广东清远阶段测试)小红在解关于x的方程-3x+1=3a-2时，误将方程中的“-3”看成了“3”，求得方程的解为x=1，则原方程的解为( )
A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2
6.(2023江苏泰州兴化期末)已知某铁路的桥长为1500米.现有一列火车匀速从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用90秒，整列火车完全在桥上的时间是60秒.则这列火车长( )
A.100米B.200米C.300米D.400米
7.(2023四川达州通川期末)若关于x的方程kx-2x=14的解是正整数，则k的整数值有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
8.已知关于x的方程ax=b，当a≠0，b取任意数时，方程有唯一解；当a=0，b=0时，方程有无数解；当a=0，b≠0时，方程无解.若关于x的方程a3x=x2−x−66无解，则a的值为( )
A.1B.-1C.0D.±1
9.如图，正方形ABCD的边长是2个单位，一只乌龟从A点出发以2个单位/秒的速度顺时针沿正方形的边运动，同时另有一只兔子也从A点出发以6个单位/秒的速度逆时针沿正方形的边运动，则乌龟和兔子的第2020次相遇在( )
A.点AB.点BC.点CD.点D
10.(2023河北邯郸磁县期末)某超市在元旦假期举行优惠活动，推出如下购物优惠方案：
①一次性购物在100元以内的(不含100元)，不享受优惠；
②一次性购物在100元以上(含100元)，350元以内的(不含350元)，一律享受九折优惠；
③一次性购物在350元以上的(含350元)，一律享受八折优惠.
小敏在该超市两次购物分别付了90元和270元，若小敏把这两次购物合并付款，则小敏至少需付款( )
A.288元B.296元C.312元D.320元
二、填空题(每小题3分，共18分)
11.已知(a-3)x|a|-2+12=0是关于x的一元一次方程，则方程的解为 .
12.已知关于x的方程x−m2=x+m3与x+12=3x-2的解互为倒数，则m的值为 .
13.(2023安徽淮南期末)某项工作甲单独做8天完成，乙单独做12天完成，若甲先做3天，然后甲、乙合作完成此项工作，则甲一共做了 天.
14.在做解方程练习时，试卷中有一个方程“2y-14=12y+□”中的□没印清晰，乐乐问老师，老师只是说：“□是一个常数，该方程的解与当x=4时代数式12(x-2)-14x+5-x的值相同.”那么这个常数是 .
15.桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15cm，各装有10cm高的水，且下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积.小明将甲、乙杯内的一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使得甲、乙、丙三个杯子内水的高度比变为3∶4∶5.若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为 cm.
16.如图，线段AB=20cm，AO=PO=2cm，∠POQ=60°，现有一点P绕着点O以每秒30°的速度顺时针旋转一周后停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，若P，Q两点能相遇，则点Q的运动速度是 .
三、解答题(共52分)
17.(8分)解方程：
(1)5(x+2)=14-3x；(2)3x−26=1−x−13.
18.(6分)用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a※b=a(a+b).例如：1※2=1×(1+2)=1×3=3.
(1)求(-3)※4的值；
(2)若(-2)※(3x-2)=x+1，求x的值.
19.(2022河南驻马店期中)(8分)已知关于x的方程4x+2m=3x+1和3x+2m=6x+1的解相同.
(1)求m的值；
(2)求代数式(-2m)2022-m−322 021的值.
20.(8分)小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象：
x+12=0的解为x=−12，而-12=12-1；2x+43=0的解为x=−23，而-23=43-2.
于是，小东将这种类型的方程作如下定义：
若一个关于x的方程ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a，则称之为“奇异方程”.请你和小东一起进行以下探究：
(1)若a=-1，有符合要求的“奇异方程”吗?若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由；
(2)若关于x的方程ax+b=0(a≠0)为“奇异方程”，解关于y的方程：a(a-b)y+2=b+12y.
21.(10分)为方便社区人员随时到阅览室学习，某社区决定购进一批桌椅.经查询，某一种桌椅有甲和乙两个商家销售.其中甲商家的销售价格为300元一套，乙商家的销售价格为280元一套.
(1)接近年末，商家进行促销，其中甲商家推出每满400元优惠50元的活动；乙商家推出每满700元优惠60元的活动.如果社区准备购买8套桌椅，请通过计算说明，应选哪个商家更合算；
(2)经过协商，甲商家同意所买的桌椅按照销售总价的8折优惠，但需要另付300元运费(无论有多少套桌椅)；乙商家则同意按照销售总价的9折销售，免运费.若购买x套，请直接写出选择哪一家合算.
22.(12分)如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段AB、AC和BC.若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”.
(1)填空：线段的中点 这条线段的巧点；(填“是”“不是”或“不确定是”)
(2)如图2，点A和B在数轴上表示的数分别是-20和40，点C是线段AB的巧点，求点C在数轴上表示的数；
(3)在(2)的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BA向点A匀速运动.点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是以另外两点为端点的线段的巧点?并求出此时巧点在数轴上表示的数.(直接写出答案)
图1图2图3备用图
第五章 一元一次方程 综合检测
答案全解全析
1.C A.方程x2-x=4中未知数的最高次数是2，不是一元一次方程，选项A不符合题意；
B.方程3x+5y=15中含有两个未知数，不是一元一次方程，选项B不符合题意；
C.方程2x+1=0是一元一次方程，选项C符合题意；
D.方程5x+2=3不是整式方程，故不是一元一次方程，选项D不符合题意.
故选C.
2.C 将方程3x-5=x+1移项，得3x-x=1+5，
故选项A不符合题意；
将方程-15x=5两边同除以(-15)，得x=-13，
故选项B不符合题意；
将方程2(x-1)+4=x去括号，得2x-2+4=x，
故选项C符合题意；
将方程x3+x4=1去分母，得4x+3x=12，
故选项D不符合题意.
故选C.
3.D 根据题意，得-34x+1=5，
故选D.
4.D ∵2x+3与-5x-6的值互为相反数，
∴2x+3+(-5x-6)=0，
解得x=-1，
故选D.
5.B 把x=1代入3x+1=3a-2，
得3+1=3a-2，
解得a=2，
故原方程为-3x+1=6-2，
即-3x=3，
解得x=-1.故选B.
6.C 设这列火车长x米，
由题意可得x+1 50090=1 500−x60，
解得x=300，
∴这列火车长300米.
故选C.
7.D 方程kx-2x=14整理，得(k-2)x=14，
∵方程的解是正整数，
∴k的整数值为3或4或9或16，共4个.
故选D.
8.A a3x=x2−x−66，
2ax=3x-x+6，
2ax=2x+6，
2ax-2x=6，
(2a-2)x=6，
∵方程无解，
∴2a-2=0，
解得a=1，
故选A.
9.A 设运动x秒后，乌龟和兔子第2020次相遇，
依题意，得2x+6x=2×4×2020，
解得x=2020，
∴2x=4040.
又∵4040÷(2×4)=505，505为整数，
∴乌龟和兔子的第2020次相遇在点A.故选A.
10.C 设第一次购物购买商品的原价为x元，第二次购物购买商品的原价为y元，
当0当100≤x<350时，0.9x=90，
解得x=100.
∵350×0.8=280(元)，280>270，
∴100≤y<350，∴0.9y=270，
∴y=300.∴x+y=390或400，
∴0.8(x+y)=312或320.
∴至少需付款312元.故选C.
11.答案 x=2
解析 由题意得|a|-2=1，a-3≠0，
∴a=-3，
把a=-3代入原方程得-6x+12=0，
解得x=2.
故答案为x=2.
12.答案 -35
解析 解方程x+12=3x-2，得x=1，
由题意可知，x=1是关于x的方程x−m2=x+m3的解，
∴1−m2=1+m3，
解得m=-35，
故答案为-35.
13.答案 6
解析 设甲一共做了x天，则乙做了(x-3)天，
根据题意得x8+x−312=1，
解得x=6.故甲一共做了6天.
故答案为6.
14.答案 54
解析 当x=4时，12(x-2)-14x+5−x=12×(4-2)-14×4+5-4=1，所以方程2y-14=12y+□的解是y=1，把y=1代入方程，得2×1-14=12×1+□，解得□=54.所以这个常数为54.
15.答案 7.2
解析 设后来甲、乙、丙三个杯子内水的高度分别为3xcm、4xcm、5xcm，
根据题意得60×10+80×10+100×10=60×3x+80×4x+100×5x，
解得x=2.4，
所以甲杯内水的高度变为3×2.4=7.2(cm).
16.答案 8cm/s或2.5cm/s
解析 由题意可知，点P，Q只能在线段AB上相遇，
则点P旋转到线段AB上的时间为60°÷30°=2(s)，或(60°+180°)÷30°=8(s)，
设点Q运动的速度为ycm/s，
则2y=20-4，解得y=8；
或8y=20，解得y=2.5.
所以点Q的运动速度为8cm/s或2.5cm/s.
17.解析 (1)去括号，得5x+10=14-3x，
移项、合并同类项，得8x=4，
解得x=12.
(2)去分母，得3x-2=6-2(x-1)，
去括号，得3x-2=6-2x+2，
移项、合并同类项，得5x=10，
解得x=2.
18.解析 (1)根据题意得原式=(-3)×(-3+4)=-3×1=-3.
(2)由题意得-2×(-2+3x-2)=x+1，即-2(3x-4)=x+1，
去括号，得-6x+8=x+1，
移项、合并同类项，得-7x=-7，
解得x=1.
19.解析 (1)由4x+2m=3x+1，解得x=1-2m，
由3x+2m=6x+1，解得x=2m−13，
由题意知1-2m=2m−13，
解得m=12.
(2)当m=12时，
(-2m)2022-m−322 021
=−2×122 022−12−322 021
=(-1)2022-(-1)2021
=1+1=2.
20.解析 (1)没有符合要求的“奇异方程”.理由如下：
把a=-1代入原方程，解得x=b，
若为“奇异方程”，则x=b+1，
∵b≠b+1，
∴不符合“奇异方程”的定义，故没有符合要求的“奇异方程”.
(2)∵ax+b=0(a≠0)为“奇异方程”，
∴x=b-a，
∴a(b-a)+b=0，
∴a(b-a)=-b，
∴a(a-b)=b，
∴方程a(a-b)y+2=b+12y可化为by+2=b+12y，
∴by+2=by+12y，
∴2=12y，
解得y=4.
21.解析 (1)∵300×8÷400=6，280×8÷700=3.2，
∴在甲商家购买需要300×8-6×50=2100(元)，
在乙商家购买需要280×8-3×60=2060(元)，
∵2100>2060，
∴选择乙商家更合算.
(2)当x=25时，选择甲、乙两家都一样合算；
当0当x>25时，选择甲商家更合算.
22.解析 (1)是.
(2)设点C表示的数为x，则AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，
根据“巧点”的定义可知：
①当AB=2AC，即点C为AB中点时，有60=2(x+20)，
解得x=10；
②当BC=2AC时，有40-x=2(x+20)，
解得x=0；
③当AC=2BC时，有x+20=2(40-x)，
解得x=20.
综上，点C表示的数为10或0或20.
(3)由题意得，AP=2t，BQ=4t，AQ=60-4t，PQ=60−6t(0≤t≤10),6t−60(10(i)当0≤t≤10时，点P为AQ的“巧点”，分三种情况：
①当AQ=2AP，即点P为AQ中点时，60-4t=2×2t，
解得t=152，
∴AP=15，
∴点P表示的数为-20+15=-5.
②当PQ=2AP时，60-6t=2×2t，
解得t=6，
∴AP=12，
∴点P表示的数为-20+12=-8.
③当AP=2PQ时，2t=2(60-6t)，
解得t=607，
∴AP=1207，
∴点P表示的数为-20+1207=−207.
综上，“巧点”P表示的数为-5或-8或-207.
(ii)当10①当AP=2AQ，即点Q为AP中点时，2t=2×(60-4t)，解得t=12，
∴AQ=60-4×12=12，
∴点Q表示的数为-20+12=-8.
②当PQ=2AQ时，6t-60=2×(60-4t)，
解得t=907，
∴AQ=607，
∴点Q表示的数为-20+607=−807.
③当AQ=2PQ时，60-4t=2(6t-60)，
解得t=454，
∴AQ=15，
∴点Q表示的数为-20+15=-5.
综上，“巧点”Q表示的数为-8或-807或-5.
故“巧点”P表示的数为-5或-8或-207，“巧点”Q表示的数为-8或-807或-5.
底面积(cm2)
甲杯
60
乙杯
80
丙杯
100