2025-2026学年上海市浦东新区三林中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区三林中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数的虚部为 ．
2．直线的倾斜角为 ．
3．若角的终边过点，则 ．
4．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 ．
5．点到直线的距离为 ．
6．已知与互为”共轭复数”，其中，，为虚数单位，则的值为 ．
7．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
8．已知是纯虚数是虚数单位），则 ．
9．已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于 ．
10．已知复数，，为虚数单位）．在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期 ．
11．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
12．设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 ．
二、选择题
13．直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．由决定
14．设，为复数，则是的条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
15．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ）
A．，B．，C．D．
16．在平面直角坐标系中，定义，为两点，，，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作．给出下列两个命题：
①对任意三点，，，都有，，，；
②已知点和直线，则．
则下列正确的是（ ）
A．①和②都是真命题B．①真②假
C．①假②真D．①和②都是假命题
三、解答题
17．已知复数，，是虚数单位）
（1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值．
18．已知直线过点且它的斜率为，直线．
（1）写出直线的方程，并求当时，与的夹角；
（2）若，求实数的值，并求此时直线到直线的距离．
19．已知复数满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值．
20．已知向量．
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在△中，内角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．
21．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点．
（1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程；
（2）求△面积的最小值；
（3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标．
参考答案
一、填空题
1．．
2．
3．．
4．．
5．1．
6．1．
7．．
8．．
9．．
10．．
11．．
12．．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1），，
，
在复平面内对应的点，落在第二象限，
，解得，
故的取值范围为；
（2）已知是实系数一元二次方程的一个虚根，
则其共轭也是该方程的一个虚根，
由韦达定理得，解得，
，，
，
．
18．解：（1）因为的斜率为，且过点，
所以的方程为，即；
当时，，其斜率为，
所以，，
即；
（2）因为，可化为，
若，，得；
则，即，
到直线的距离．
19．解：（1）设，
由复数满足，的虚部为2．
可得，解得或，
故，；
（2）当时，，，
所以，，，
所以，，，
当时，，，
，，，
所以，，．
20．解：（1）当时，则存在非零实数，使得，
当时，则，与时矛盾，舍去．
当时，，即，
所以．
（2）由题意，，
由正弦定理可知，即，
因为且，所以．
所以，
当时，，，，
所以．