2023-2024学年上海市浦东新区三林中学高二（下）期中数学试卷 （含解析）

这是一份2023-2024学年上海市浦东新区三林中学高二（下）期中数学试卷 （含解析），共13页。试卷主要包含了已知函数，则　　，已知等差数列满足，则　　，函数的导函数为 　　，若，则　　，曲线在点，处的切线方程为 　　等内容，欢迎下载使用。
1．已知函数，则（2） ．
2．已知等差数列满足，则 ．
3．函数的导函数为 ．
4．若，则 ．
5．2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 种．
6．曲线在点，处的切线方程为 ．
7．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元千克）满足关系式，，若该商品的成本为3元千克，则当销售价格为 元千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
8．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有 种．
9．正项等比数列中，与是的两个极值点，则 ．
10．已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为 ．
11．设函数，，为常数）在，上严格递减，在，和，上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ．
12．函数在区间，上存在零点，则的最小值为 ．
二.选择题（本大题共4题，满分20分）
13．已知函数在上的导函数为，则“”是“是的极值点”的 条件．
A．充要B．既不充分也不必要
C．充分不必要D．必要不充分
14．等差数列的前项和，2，当首项和公差变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是
A．B．C．D．
15．已知函数为常数），在区间，上有最大值20，那么此函数在区间，上的最小值为
A．B．C．D．
16．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数错误的是
A．排成前后两排，前排3人，后排4人，共有种方法
B．全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法
C．全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法
D．全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法
三.解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．已知数列满足：．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
18．已知函数为常数），曲线在点，处的切线平行于直线．
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
19．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和．
20．（16分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图像上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．
21．（17分）已知函数，其中实数，，．
（1）时，求函数的极值点；
（2）时，在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．
参考答案
一．选择题（共4小题）
一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1．已知函数，则（2） 9 ．
解：因为，
所以，（2）．
故答案为：9．
2．已知等差数列满足，则 ．
解：由是等差数列，得，又，
所以．
故答案为：
3．函数的导函数为 ．
解：因为，由复合函数的求导法则可得．
故答案为：．
4．若，则 1 ．
解：，
则，
故．
故答案为：1．
5．2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲、乙、丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有 64 种．
解：由于一共有四项运动，故甲、乙、丙各自有4种选择，
而他们的选择互相之间没有任何限制条件，
所以总共的选法数是．
故答案为：64．
6．曲线在点，处的切线方程为 ．
解：由，知．
所以，，故所求切线是经过点且斜率为2的直线，即．
故答案为：．
7．某商场销售某种商品，经验表明，该商品每日的销售量（千克）与销售价格（元千克）满足关系式，，若该商品的成本为3元千克，则当销售价格为 4 元千克时，该商场每日销售该商品所获得的利润最大．
解：由题意可得，商场每日销售该商品所获得的利润为，，
求导可得，
令，解得或（舍去），
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，函数取得最大值（4），
故当销售价格为4元千克时，商场每日销售该商品所获得的利润，最大值为42元．
故答案为：4．
8．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求6人排成一排，2位老人不相邻，不同的排法共有 480 种．
解：先将4名志愿者排列好，
有种排法，
再将两个老人进行插空有种排法，
所以满足题意的不同的排法共有种．
故答案为：480．
9．正项等比数列中，与是的两个极值点，则 2 ．
解：，
所以与是方程的两根，
所以在正项等比数列中，，
所以，
故答案为：2．
10．已知函数在区间，上单调递减，则实数的取值范围为 ， ．
解：由题意得，
函数在区间，上单调递减，
在，上恒成立，即在，上恒成立，
又，，
，即实数的取值范围为，．
故答案为：，．
11．设函数，，为常数）在，上严格递减，在，和，上严格递增，且的部分图像如图所示，则 ．
解：由题意得，的定义域为，所以，由图可知，解得，
则，因为，则有①，
由在，上严格递减，在，和，上严格递增，则（1），
由，则，
则，则②，由①②解得（舍，或，
则．
故答案为：．
12．函数在区间，上存在零点，则的最小值为 ．
解：设零点为，则，
所以，
由柯西不等式可得，
所以，
令，，，
所以，
所以在，上单调递增，
所以（1），
所以，
所以的最小值为．
故答案为：．
二.选择题（本大题共4题，满分20分）
13．已知函数在上的导函数为，则“”是“是的极值点”的 条件．
A．充要B．既不充分也不必要
C．充分不必要D．必要不充分
解：若是的极值点，根据函数极值存在条件可得，，即必要性成立；
若，但不一定是的极值点，例如，则，，但不是函数的极值点，即充分性不成立．
故选：．
14．等差数列的前项和，2，当首项和公差变化时，若是一个定值，则下列各数中为定值的是
A．B．C．D．
解：由等差数列的性质得：
为定值，即为定值
又
为定值
故选：．
15．已知函数为常数），在区间，上有最大值20，那么此函数在区间，上的最小值为
A．B．C．D．
解：为常数）
令，解得或3（舍去）
当时，，
当时，
当时取最小值，而（2）
即最大值为，，最小值为
故选：．
16．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，不同的排列方法数错误的是
A．排成前后两排，前排3人，后排4人，共有种方法
B．全体排成一排，男生互不相邻，共有种方法
C．全体排成一排，女生必须站在一起，共有种方法
D．全体排成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边，共有种方法
解：对于，先选出前排3人，有种排法，剩余4人随机排列有种排法，则共有种方法，故正确；
对于，利用插空法，4名女生随机排列有种排法，再将5个空位插入3个男生，有种排法，共有种排法，故错误；
对于，利用捆绑法，将4名女生放在一起有种排法，再和3名男生排列共有种排法，则共有，种方法，故正确；
对于，从其他6人中抽出两人排在两侧有种排法，再把剩余5人随机排列有种排法，则共有种方法，故正确．
故选：．
三.解答题（本大题共有5题，满分76分）
17．已知数列满足：．
（1）求证：是等比数列；
（2）求数列的通项公式．
【解答】（1）证明：因为数列满足：，
所以，
因为，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列；
（2）解：由（1）得，，
故．
18．已知函数为常数），曲线在点，处的切线平行于直线．
（1）求的值；
（2）求函数的极值．
解：（1）由，得，
在点，处的切线平行于直线，
（1），．
（2）由（1），可得，令，解得或，
和随着的变化情况如下表所示．
的极大值为，极小值为（3）．
19．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和．
解：（1）设等差数列的公差为，
又因为，且，
所以，故．
所以．
（2）由（1）可知，，又，所以．
因为，可得，
所以，
．
20．（16分）已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前项和为，点，均在函数的图像上．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，是数列的前项和，求使得对所有都成立的最小正整数．
解：（1）二次函数的图像经过坐标原点，设，
其导函数为，
所以，；
所以；
由于点，均在函数的图像上，
所以，
故（首项符合通项）；
故；
（2）由（1）得：；
故；
故对于对所有都成立，只需满足即可，
故，
即的最小整数为15．
21．（17分）已知函数，其中实数，，．
（1）时，求函数的极值点；
（2）时，在，上恒成立，求的取值范围；
（3）证明：，且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．
解：（1）因为，所以，定义域为：．
则，
因为，所以或，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
所以0是的极大值点，2是的极小值点．
（2）当时，，
所以，又因为，，
所以，，，
令，，，
，
所以在，上单调递增，
所以，
所以．
（3）证明：因为，所以，则，
设切点为，，则，，
则切线方程为，
即：，
将点代入切线方程得：，
即：，
令，则，
或，，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
当时，有极大值为（1），
当时，有极小值为（2），
又因为，，所以，
所以与有三个不同的交点．
即：方程有三个不同的根．
所以且时，经过点作曲线的切线，则切线有三条．
题号
13
14
15
16
答案
D
C
B
B
1
3
0
0
极大值
极小值