2025-2026学年上海市浦东新区三林中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2025-2026学年上海市浦东新区三林中学高一（下）期末数学试卷（含解析）试卷主要包含了填空题.，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．复数的虚部为 ．
2．直线的倾斜角为 ．
3．若角的终边过点，则 ．
4．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 ．
5．点到直线的距离为 ．
6．已知与互为”共轭复数”，其中，，为虚数单位，则的值为 ．
7．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
8．已知是纯虚数是虚数单位），则 ．
9．已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于 ．
10．已知复数，，为虚数单位）．在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期 ．
11．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
12．设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 ．
二、选择题
13．直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．由决定
14．设，为复数，则是的条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
15．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ）
A．，B．，C．D．
16．在平面直角坐标系中，定义，为两点，，，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作．给出下列两个命题：
①对任意三点，，，都有，，，；
②已知点和直线，则．
则下列正确的是（ ）
A．①和②都是真命题B．①真②假
C．①假②真D．①和②都是假命题
三、解答题
17．已知复数，，是虚数单位）
（1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值．
18．已知直线过点且它的斜率为，直线．
（1）写出直线的方程，并求当时，与的夹角；
（2）若，求实数的值，并求此时直线到直线的距离．
19．已知复数满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值．
20．已知向量．
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在△中，内角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．
21．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点．
（1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程；
（2）求△面积的最小值；
（3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标．
参考答案
一、填空题（共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）
1．复数的虚部为 ．
解：复数的虚部为．
故答案为：．
2．直线的倾斜角为 ．
解：直线的斜率是，
直线的倾斜角的正切值是，
，，
，
故答案为：
3．若角的终边过点，则． ．
解：由已知得，，则．
故答案为：．
4．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为 ．
解：复数与分别对应向量与，
．
故答案为：．
5．点到直线的距离为 1 ．
解：点到直线的距离．
故答案为：1．
6．已知与互为”共轭复数”，其中，，为虚数单位，则的值为 1 ．
解：因为与互为共轭复数，
所以，
故得．
故答案为：1．
7．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为， ．
解：由已知得，，，
则向量在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
8．已知是纯虚数是虚数单位），则 ．
解：是纯虚数，
，得且，
为第二象限角，则．
．
故答案为：．
9．已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于 ．
解：根据题意，若直线与直线互相垂直，
则有，变形可得，
则，当且仅当时，等号成立；
即的最大值为，
故答案为：．
10．已知复数，，为虚数单位）．在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期 ．
解：由题意，，，，
，
，
即，
．
则函数的最小正周期为．
故答案为：．
11．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 ．
解：建立平面直角坐标系如下，
则，，，
直线的方程为，即，
点在直线上，设，
，，
，
的最小值为．
故答案为：．
12．设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为 ．
解：设．
由，，可知，即，即．
因为，，，所以，
则可化为，解得．
即集合在复平面内表示的图形为圆及其内部，
集合在复平面内表示的图形为直线的左侧，
集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线，
如图所示：
所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分，
弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径，
则扇形的面积，，
所以弓形的面积为．
故答案为：．
二、选择题
13．直线与直线的位置关系是（ ）
A．相交B．平行C．重合D．由决定
解：直线与直线斜率分别为和，既不相等，且乘积也不为，
故直线与直线的位置关系是相交，
故选：．
14．设，为复数，则是的条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充要D．既非充分也非必要
解：由复数除法的模的性质得，，
若，则，即，则是的必要条件；
若，即，因为，所以，则是的充分条件；
综上所述，则是的充要条件．
故选：．
15．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（ ）
A．，B．，C．D．
解：已知向量满足与的夹角为，
则，
所以
，
当时，取得最小值48，
所以的取值范围是．
故选：．
16．在平面直角坐标系中，定义，为两点，，，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作．给出下列两个命题：
①对任意三点，，，都有，，，；
②已知点和直线，则．
则下列正确的是（ ）
A．①和②都是真命题B．①真②假
C．①假②真D．①和②都是假命题
解：①对任意三点，，，若，，不共线，且△中为锐角或钝角，
由矩形或矩形，，，，；
对任意三点，，，若，，共线，设，，，，，，如图，
结合三角形的相似可得，，为，，，
或，，，则，，，；
若，或，对调，可得，，，．
综上所述，对任意的三点，，，都有，，，，命题①正确；
②设点是直线上一点，且，
可得，，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
所以的范围是，无最值；
综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故②正确．
故选：．
三、解答题
17．已知复数，，是虚数单位）
（1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围；
（2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值．
解：（1），，
，
在复平面内对应的点，落在第二象限，
，解得，
故的取值范围为；
（2）已知是实系数一元二次方程的一个虚根，
则其共轭也是该方程的一个虚根，
由韦达定理得，解得，
，，
，
．
18．已知直线过点且它的斜率为，直线．
（1）写出直线的方程，并求当时，与的夹角；
（2）若，求实数的值，并求此时直线到直线的距离．
解：（1）因为的斜率为，且过点，
所以的方程为，即；
当时，，其斜率为，
所以，，
即；
（2）因为，可化为，
若，，得；
则，即，
到直线的距离．
19．已知复数满足，的虚部为2．
（1）求复数；
（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值．
解：（1）设，
由复数满足，的虚部为2．
可得，解得或，
故，；
（2）当时，，，
所以，，，
所以，，，
当时，，，
，，，
所以，，．
20．已知向量．
（1）当时，求的值；
（2）设函数，已知在△中，内角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．
解：（1）当时，则存在非零实数，使得，
当时，则，与时矛盾，舍去．
当时，，即，
所以．
（2）由题意，，
由正弦定理可知，即，
因为且，所以．
所以，
当时，，，，
所以．
21．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点．
（1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程；
（2）求△面积的最小值；
（3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标．
【解答】（1）解：由题意可设直线，
所以，所以，
即．
（2）解：当直线斜率不存在时，不存在点，舍去．
当直线斜率存在时，设，即，
由题意可知，，
，
时，，当且仅当，即时取等号，
．
（3）证明：由题意，设，，因为，点，
即，，，，
，即，，．
过点作平行于轴的直线交轴于点，则．
直角梯形的顶点为，，，，
上底，下底，高为2，
梯形的面积，
设动点，，，，
因为直线平分直角梯形的面积，所以四边形的面积为6，
四边形是梯形，其上底为，下底为，高为2，
所以，即，
因此点的坐标为，
直线经过点和，其斜率，
则直线的方程为：，化简得，
去分母整理得，
上式对任意，恒成立，因此需满足，解得．
所以，直线必过定点，该定点坐标为．