2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

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这是一份2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期末数学试卷（含答案），共26页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，则．
2．已知复数满足，则．
3．已知圆锥的高为4，底面半径为3，则圆锥的侧面积为．
4．如图，△是水平放置的△的斜二测直观图，若，，则△的面积为．
5．设，，则向量在方向上的投影向量的坐标为．
6．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有条．
7．已知正四棱柱，，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．
8．如图所示，为梯形，，，，现在将这个图形绕着直线旋转一周，得到一个几何体，那么这个几何体的体积是．
9．已知复数满足，则的最小值为．
10．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中：
①与平行；
②与是异面直线；
③与成角；
④与垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是．
11．已知平面向量，，，且，已知向量与所成的角为，对任意实数恒有，则的最小值为．
12．如图，正方体绕直线旋转，直线旋转至直线，则直线与直线所成角的大小为．
二、单选题
13．已知，为非零向量，命题和命题，则是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
14．已知直线、和平面、，且，，则下列命题中正确的是（）
A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则
15．设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
16．如图，在棱长为2的正方体中，点、分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点、，使△为等边三角形，则（）
A．①、②均为真命题B．①、②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题
三、解答题
17．已知向量与的夹角为，，，求：
（1）；
（2）若，求实数的值．
18．已知，为虚数单位，复数．
（1）当复数为纯虚数时，求的值；
（2）已知，，当时，若是关于的方程的一个根，求与的值．
19．如图，四边形为长方形，平面，，．
（1）若、分别是、的中点，求证：平面；
（2）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的大小为？若存在，求长；若不存在，说明理由．
20．（17分）已知函数为奇函数，且的周期为．
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，求函数的值域；
（3）对于第（2）问中的函数，记方程在上的根从小到大依次为：，，，，．试确定的值，并求的值．
21．如图，在矩形中，，，是线段上的一动点，将沿着折起，使点到达点的位置，满足点平面且点在平面内的射影落在线段上．
（1）当点与点重合时，
①证明：平面；
②求二面角的余弦值；
（2）设直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，求的最大值．
参考答案
一、填空题
1．．
2．．
3．
4．12．
5．．
6．3．
8．．
9．2．
10．③④．
11．．
12．．
二、选择题
13．．
14．．
15．．
16．．
三、解答题
17．解：（1）因为，，与的夹角为，
所以，
所以，所以．
（2）因为向量与互相垂直，
所以，
所以，即，解得．
18．解：（1）因为为纯虚数，所以，解得．
（2）时，．
因为是方程的一个根，
所以代入得：，则，解得，．
20．解：（1）由于函数周期，且，
可得，可得，
又为奇函数，可得，
可得，
又因为，
可得，
所以函数；
（2）将的图象向右平移个单位长度，可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，可得，
当，即时，函数取得最小值，最小值为，
当，即时，函数取得最大值，最大值为，
所以在区间上的值域为；
（3）由方程，可得，
因为，所以，
设，则，，
作出正弦函数的图象如图所示，
由图可知方程在区间上有3个根，
所以，
其中，，
即，，
解得：，，
所以．
21．解：（1）①证明：
当点与端点重合时，由可知，
由题意知平面，平面，所以，
又，，平面，平面，
所以平面，又平面，可知，
，平面，平面，
所以平面．
②
过作于点，连接．
因为平面，平面，所以，
因为，，，所以平面，所以
所以为二面角的平面角，
且在四边形中，、、三点共线．
因为，由几何关系可得
所以在△中，
即二面角的余弦值为．
（2）
过点作交于，
所以直线与平面所成的角即为直线与平面所成的角，
过作于点，连接．
由②同理可得平面，平面，
所以平面平面，
作，垂足为，
由平面平面，平面，可得平面，
连接，是直线与平面所成的角，即，
因为，满足，
设，
所以，，，，
因为在△中，斜边大于直角边，即，
所以，
所以，
，
在△中由等面积，，
所以，
因为，，
所以是二面角平面角，
即，，
所以，当且仅当时“”成立，
故的最大值．