吉林省通化市梅河口市第五中学2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2022-2023学年高一下学期7月期末数学试题，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高一数学
一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（ ）
A. B. C. D.
2. 若，，，则事件与的关系是（ ）
A. 事件与互斥 B. 事件与对立
C. 事件与相互独立 D. 事件与既互斥又相互独立
3. 在下列判断两个平面与平行的4个命题中，真命题的个数是（ ）．
①都垂直于平面r，那么
②都平行于平面r，那么
③都垂直于直线l，那么
④如果l、m是两条异面直线，且，，，，那么
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女，若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，则选出的2名教师性别相同的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，若，则（    ）
A． B． C． D．
6．如图1，在高为的直三棱柱容器中，现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则容器的高为（    ）
      
A． B．3 C．4 D．6
7. 在正四棱锥中，，M为棱PC的中点，则异面直线AC，BM所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知中，，且，则（ ）
A. B. C. 8 D. 9
    二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9. 为深入学习宣传党的二十大精神，某校开展了“奋进新征程，强国伴我行”二十大主题知识竞赛.其中高一年级选派了10名同学参赛，且该10同学的成绩依次是：.则下列针对该组数据说法正确的是（ ）
A. 平均数为89，方差为3.06
B. 中位数为90，众数为88和92
C. 每个数都加5后平均数和方差均无变化
D. 分位数为93，极差为19
10. 已知向量在平面直角坐标系中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则下列选项中正确的是（ ）

A.
B. 向量在向量方向上的投影向量为
C.
D. 若，则
11. 甲、乙两位射击爱好者，各射击10次，甲的环数从小到大排列为4，5，5，6，6，7，7，8，8，9，乙的环数小到大排列为2，5，6，6，7，7，7，8，9，10．则（ ）
A. 甲的环数的70%分位数是7 B. 甲的平均环数比乙的平均环数小
C. 这20个数据的平均值为6.6 D. 甲的成绩比乙的成绩更稳定
12. 某圆柱的侧面展开图是长为4、宽为2的矩形，则该圆柱的体积可能为（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 在复平面内，复数对应点的坐标为，则___________.
14．若一组数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为______．
15．在中，点满足:，，若，则=_________.
16．已知向量_______，在方向上的投影向量是___________．
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 已知平面向量，满足，，．
（1）求与的夹角；
（2）求．
18. 如图，在棱长为2的正方体中，为中点，为与的交点.

（1）求三棱锥的体积；
（2）证明：平面；
（3）证明：平面.
19．4月23日是世界读书日，树人中学为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位，小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图：（以各组的区间中点值代表该组的各个值）女生一周自读时间频率分布直方图
男生一周阅读时间频数分布表
小时
频数

9

25

3

3
  (1)从一周课外阅读时间为的学生中按比例分配抽取6人，则男生，女生各抽出多少人?
(2)分别估计男生和女生一周课外阅读时间的平均数；
(3)估计总样本的平均数和方差．
参考数据和公式;男生和女生一周课外阅读时间方差的估计值分别为和．
，和分别表示男生和女生一周阅读时间的样本，其中．
20．如图，在正三棱台中，，，过棱的截面与棱，分别交于、.
  
(1)记几何体和正三棱台的体积分别为，，若，求的长度；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
21．（要求此题使用坐标法）如图，在棱长为1的正方体中，，，分别是，，的中点.（1）求与所成角的余弦值；
（2）求点到平面的距离.







22．（要求此题使用定理证明）三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.




1-8 ACDBCB DB
9-12 BD ABD BCD AC
13【答案】 14。 18 15. 3 16.
17【答案】（1）
（2）12
设与的夹角为
因为，，，
所以，
所以，
即与的夹角为
2. 由题意得，.
18 【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
在正方体中，平面且
则
证明：连接，在中，点分别为的中点，
所以
又平面平面
平面；
【小问3详解】
证明：连接，在正方体中，

在Rt中，

，
中，，
又，

平面且交于点
平面.
19 【答案】(1)男生人，女生人
(2)，
(3)，

（1）一周课外阅读时间为的学生中男生有人，女生有人，
若从中按比例分配抽取人，则男生有人，女生有人
（2）估计男生一周课外阅读时间平均数；
估计女生一周课外阅读时间的平均数.
（3）估计总样本的平均数，
∵，
∴，，
，，
∴，
所以估计总样本的平均数，方差.

20 【答案】(1)2
(2)

（1）∵三棱台是正三棱台，∴平面，
∵平面，平面平面，∴，
若,则,几何体是三棱柱，记，，
此时,不满足题意，舍去；
因此，设与交于点,与交于点,则
因为,即交于同一点,
∴几何体是三棱台
∵，∴，∴.
（2）如图，延长，，交于点，作中点，连接，，
  
∵，,平面∴平面，
过作交于，则,
∵平面∴平面，
∴即直线与平面所成的角，
∵，，，
∴在中，由余弦定理可得，

∴直线与平面所成角的正弦值为.
21.（1）设EF与CG所成角为， ，，
则，
所以EF与CG所成角的余弦值为；
（2）
22(1)证明：∵、分别为、的中点，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
(2)证明：∵，为的中点，∴，
又∵平面平面，平面平面，
且平面，∴平面，又平面，
∴平面平面；
(3)解：在等腰直角三角形中，，
∴，，∴等边三角形的面积，
又∵平面，∴三棱锥的体积，
∴.