吉林省通化市梅河口市第五中学2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案解析

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1. 已知是虚数单位，，则（ ）．
A. B. C. 3D. 5
2. 如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（ ）．
A. B. 2C. D. 4
3. 在正方体中，则异面直线AC与的所成角为（ ）
A B. C. D.
4. 已知平面向量的夹角是， ，，则（ ）．
A 2B. C. D.
5. 漳州市博物馆是了解漳州深厚文化底蕴的理想之地，博物馆共有三层，每个楼层都展示了不同的文化主题．现甲、乙两人各自选择一个楼层参观，假设每个人选择哪个楼层参观是等可能的，则甲乙在不同楼层参观的概率为（ ）．
A. B. C. D.
6. 一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度的大小为，水流速度的大小为，那么当航程最短时，这艘船到达河对岸行驶时间为（ ）．
A. B. C. D.
7. 如图，各棱长均为2的直三棱柱中，D为的中点，点到平面的距离为（ ）．
A. B. 2C. D.
8. 如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（ ）．
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 抛掷一颗质地均匀的骰子，观察向上的面的点数，“点数为偶数”记为事件M，“点数为奇数”记为事件N，“点数小于4”记为事件Q．下列说法正确的是（ ）．
A. M与N为互斥事件B. M与Q为对立事件
C. N与Q不互斥事件D. N与Q为相互独立事件
10. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）．
A. B. 在方向上投影向量为
C. D. 当时，与的夹角为锐角
11. 已知球的表面积为，一个正四面体的四个面都与球相切，且该正四面体的四个顶点都在球的球面上，则（ ）．
A. 该正四面体的表面积为B. 该正四面体的体积是
C. 球的表面积是D. 球与球的体积比是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 一个容量为10的样本，其数据依次为：9，2，5，10，16，7，18，23，20，3，则该组数据的第75百分位数为________ .
13. 2009年9月，经联合国教科文组织批准，中国传统节日端午节正式列入世界非物质文化遗产，同时，端午节成为中国首个入选世界非物质文化遗产的节日．为弘扬中国传统文化，某校在端午节期间组织有关端午节文化知识竞赛活动，某班甲、乙两人组成“粽队”参加竞赛活动，每轮活动由甲、乙各回答一个问题，已知每轮活动中甲、乙答对问题的概率分别为和，且每轮活动中甲、乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响．则甲在两轮活动中答对1个问题的概率为______，“粽队”在两轮活动中答对三个问题的概率为______．
14. 在长方形ABCD中，，，点E，F分别为边BC和CD上两个动点（含端点），且，设，，则的最小值为________.
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，.
（1）求；
（2）若为边的中点，且，求的值.
16. 为落实国家“精准扶贫”政策，让市民吃上放心蔬菜，某企业于2018年在其扶贫基地投入万元研发资金，用于蔬菜的种植及开发，并计划今后十年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长10%.
（1）写出第年(2019年为第一年)该企业投入资金数(万元)与的函数关系式，并指出函数的定义域；
（2）该企业从第几年开始(2019年为第一年)，每年投入的资金数将超过万元?
（参考数据）
17. 的内角的对边分别为，已知函数的一条对称轴为，且.
（1）求A的值；
（2）若，求边上的高的最大值.
18. 如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，求证：
（1）平面；
（2）
（3）若平面与平面的交线为，求与平面所成的角.
19. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.