广东汕尾市城区2025-2026学年高二第二学期期末教学质量监测数学试题含答案

这是一份广东汕尾市城区2025-2026学年高二第二学期期末教学质量监测数学试题含答案，共26页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知一组样本数据：8，9，7，9，6，该组数据的众数是（ ）
A．6B．7C．8D．9
2．已知集合A=1,4,a2，B=1,a+6，若A∪B=A，则实数a的值为（ ）
A．−2B．3C．−2或3D．2
3．2x+1x6展开式中的常数项是（ ）
A．30B．45C．50D．60
4．方程mx2+ny2=1中的m和n分别从1,2,3,4,5中取，若每次抽取等可能，则该方程表示椭圆方程的概率为（ ）
A．15B．12
C．45D．1625
5．曲线y=eax在点0,1处的切线与直线x−2y+3=0垂直，则实数a的值为（ ）
A．−2B．−12
C．12D．2
6．已知复数z1=m+2−m2im∈R，z2=2csθ+λ+2sinθiλ,θ∈R．若z1=z2，则实数λ的取值范围为（ ）
A．−2,4B．−1,3
C．−14,4D．−94,4
7．某隧道断面呈抛物线形，路面净宽16 m，拱顶中心距路面垂直高度为7 m，采用双向双车道设计，单侧单车道宽度为3.75 m，车道外两侧路肩为人行道，车辆不得占用．现右侧车道临时封闭，拟利用原左侧车道及同侧人行道区域，临时布设双向行车道．根据现行国家强制性标准，货车最大车宽限值为2.55 m（冷藏货车可放宽至2.6 m），最大车高限值为4.0 m；两车相邻行驶时，车身水平安全间隙不小于0.5 m；车顶与隧道内壁的垂直安全距离不小于0.4 m．若后视镜等外伸部件不计，计算限高值时，限高值结果保留两位小数且只舍不入，该临时通行方案是否需要限高？若需限高，则最大安全限高值约为（ ）
A．无需限高B．需限高，限高约3.04 m
C．需限高，限高约3.15 mD．需限高，限高约3.25 m
8．已知函数fx=sin2x+π3，设gx=ffx，则gx在0,π上的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、多选题
9．复数z=2+i，则下列说法正确的是（ ）
A．z=z=3B．zi=1−2i
C．z⋅z=5D．z=3
10．已知随机变量X的分布列，下列说法正确的是（ ）
A．EX=2.4B．EX2=4.8
C．DX=0.84D．σ2X+7=3.36
11．数列an中，有a1=2，且从第二项起满足an=nn−12．数列an前n项和为Sn，当n≥2时，记Kn=Sn−a1，Tn=1a1+1a2+1a3+⋯+1an，以下说法正确的是（ ）
A．Kn=Cn+13−1n≥2
B．675K2027=676K2026
C．Tn=52−2n
D．1+x3+1+x4+1+x5+⋯+1+xnn≥3展开式中x2项的系数为Kn
三、填空题
12．已知双曲线x2a2−y24=1a>0的焦距为6，则此双曲线的离心率为_________．
13．已知fx=12x2+3−px−3plnx在x=1处取得最小值，则fp=_________．
14．函数fx=x+ax在x∈1,2上的最大值与最小值之和为7，则实数a=_________．
四、解答题
15．已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且a1=2，S3=14．
(1)求数列an的通项公式．
(2)设bn=lg2an，求数列1bnbn+1的前n项和Tn．
16．某宿舍6名同学受邀参加校园展演活动，活动设有双人搭档展示环节：若参与人数超过1人，需从参与者中选出2人组成搭档完成双人展示．
(1)如果必须有人去，去几个人自行决定，有多少种不同的安排方案？
(2)如果甲和乙要么都去，要么都不去，其余规则不变，且两名搭档有明确分工，有多少种不同的安排方案？
17．如图，一个密封长方体形状的容器中盛有水，E为容器上底面A1B1C1D1内任意一点，在平面A1B1C1D1内过点E画一条直线l，使得l与CE保持垂直．
(1)为使得l⊥CE，请简要写出作图步骤，并证明所作直线l⊥CE．
(2)已知AB=BC=4，AA1=7．若点E在A1C1上，且A1E=3EC1，点M在AD上，且3AM=MD．现将容器倾斜，此时容器内水面恰好同时经过点C1和M，且水面与直线l平行．设水面与平面ABB1A1的交线为m，交线m与长方形ABB1A1的边界交于N，G两点．求三棱锥D1−MNG的体积．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知点A0,1，B0,−1，点P满足直线AP，BP的斜率之积为−12，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程．
(2)若Q是曲线C上第一象限的点，且tan∠AQB=3，求点Q的坐标．
(3)设Q、T是曲线C上的两点，若直线AQ的斜率是直线BT的斜率的2倍，证明：直线QT过定点，并求出定点的坐标．
19．已知直线y=x是函数fx=lnx+a的切线．
(1)求实数a的值．
(2)证明：当x>0时，x+2fx>2x．
(3)某线上商城设置了一个虚拟抽奖箱，箱内有编号为0到99的100个虚拟奖项标识．顾客每次抽奖时，系统从这100个标识中随机发放给顾客，抽奖结束后该标识自动放回抽奖箱，可被再次抽取．某顾客连续参与20次抽奖，设他抽到的20个奖项标识编号互不相同的概率为p．证明：p0，
则ℎ′x=lnx+1+1x+1−1，
令t=x+1，t>1，则φt=lnt+1t−1，则φ′t=1t−1t2=t−1t2>0，
所以φt在1,+∞上单调递增，又因为φ1=0，所以φt>0，
即ℎ′x>0在x>0上成立，所以ℎx在0,+∞上单调递增，
又因为ℎ0=0，
故ℎx=x+2lnx+1−2x>0在0,+∞上成立，
即x>0时，x+2fx>2x，得证．
(3)由题意知p=A1002010020=100×99×⋯×8110020=99×98×⋯×8110019，
由99×812×1919+2，
即ln109>219，即ln910