湖南省郴州市2025-2026学年高二下学期期末数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省郴州市2025-2026学年高二下学期期末数学试卷（Word版附解析）试卷主要包含了本试卷分试题卷和答题卡等内容，欢迎下载使用。
1．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共 6 页，有四道大题，共 19 道小题，满分 150 分.考试
时间 120 分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答
题卡的指定位置．
3．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答
题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
4．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．）
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 若双曲线 的一个焦点到两条渐近线的距离之和为 ，则该双曲线的离心率为
（ ）
A. B. C. D.
6. 已知直线 与 ： 交于 ， 两点，当 面积为 时，
（ ）
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A. B. C. 或 D. 或
7. “米斗”古时候常作为一种称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈，米行及地主家里必备的用具，有一种米斗，
其形状是一个上大下小的正四棱台，上底面边长为 10，下底面边长为 4，该米斗盛满米可盛一斗米，现往
该米斗里加米，当米的高度是米斗高度的 时，米的体积为（ ）
A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗
8. 已知 及其导函数 的定义域均为 ， 为偶函数， 的图象关于点 对称，
则 （ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题（本题共 3 个小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9. 已知一组大小不全相等的数据 的平均数为 ，方差为 ，标准差为 ，极差为 ，若
，则下列关于数据 的结论正确的是（ ）
A. 标准差为
B. 极差为
C. 平均数为
D. 方差为
10. 在 中，角 ， ， 所对的边长分别为 ， ， 且 ， ， ，则（
）
A.
B. 的面积
C. 的外接圆半径
D. 是钝角三角形
11. 在棱长为 的正方体 中，点 是 上靠近点 的三等分点，点 是 的中点，
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是四边形 内一点（不包括边界），且满足 ，则下列选项中正确的是（ ）
A. 过点 、 、 的平面截正方体的截面为四边形
B. 平面 与平面 所成二面角的平面角的正切值为
C. 点 的轨迹长度为
D. 的取值范围为
三、填空题（本题共 小题，每小题 分，共 分．）
12. 的展开式中 的系数为________．
13. 已知等差数列 中， ，公差为 ，若该数列的前 项和 仅在 时取得最大值，则公
差 的取值范围是________．
14. 已知 ， ，过点 的直线 与单位圆交于 ， 两点， 为 的中点，则 的
最大值为________．
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知数列 的前 项和 ，数列 是公比为 2 的等比数列，且 ．
（1）求出数列 的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；
（2）求集合 中元素的个数，并求所有元素的和．
16. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形． 是正三角形，且平面 平面
．
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（1）求证：平面 平面 ；
（2）若 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
17. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的图象在点 处的切线方程；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围．
18. 已知椭圆 ： ，斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ．
（1）求直线 在 轴截距 的取值范围；
（2）求点 的轨迹方程；
（3）线段 的垂直平分线交 轴于点 ，当 为何值时， 的面积有最大值，最大值为多少？
19. 航空航天零件的合格率是衡量制造质量的重要指标，典型影响因素包括材料纯度、加工精度、检测标准
等．通过改善生产工艺、加强过程质量检测、优化生产流程，可以有效提升一次性加工合格率，降低返工
与报废风险，推动高质量发展．
（1）某航空制造企业为鼓励生产车间积极优化生产流程，提升零件一次性加工合格率，开展“精益生产，
质量为先”活动．下表为开展活动后近 5 个季度高精度零件的合格情况统计：
季度 1 2 3 4 5
一次性加工合格批次数 142 186 229 275 313
若该高精度零件一次性加工合格批次数 与季度变量 （季度变量 依次为 1，2，3，4，5， ）具有较好
的线性相关关系，请根据表中数据建立 关于 的线性回归方程，并预测第 6 季度该高精度零件一次性加工
合格批次数？（保留整数）
（2）企业将参加生产流程优化的车间分成了甲、乙、丙三组进行质量挑战，其规则：挑战权在任何一组，
该组都可向另外两组发起挑战，首先由甲组先发起挑战，挑战乙组、丙组的概率均为 ，若甲组挑战乙组，
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则下次挑战权在乙组．若挑战权在乙组，则挑战甲组、丙组的概率分别为 ， ；若挑战权在丙组，则挑
战甲组、乙组的概率分别为 ， ．假设挑战权在各组的转移只取决于当前拥有挑战权的组，与之前的挑
战结果无关．
（ⅰ）经过 3 次挑战后，求挑战权在乙组的次数 的分布列与数学期望；
（ⅱ）经过 次挑战后，求挑战权在甲组的概率．
附 ： 回 归 方 程 中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为
， ．
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