河北石家庄市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份河北石家庄市第一中学2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试卷（Word版附解析）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．复数的虚部是（ ）
A．B．C．1D．2
2．某校为了解同学们对“天宫课堂”这种授课模式的兴趣，决定利用分层抽样的方法从高一、高二、高三学生中选取90人进行调查，已知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，则抽取的学生中，高一年级有（ ）
A．40人B．36人C．30人D．24人
3．数据6，4，3，6，3，9，8，3，1，9，则关于这组数据下列说法正确的是（ ）
A．中位数为6B．85%分位数为8C．极差为2D．85%分位数为9
4．已知向量，若，则实数（ ）
A．B．C．1D．4
5．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，，则
B．若，，，则
C．若，，，则
D．若，，则
6．投掷一枚质地均匀的骰子，事件A：点数小于4，事件B：点数大于2，事件C：点数为偶数.则下列关于事件描述正确的是（ ）
A．A与B是互斥事件B．A与B是对立事件
C．A与C是独立事件D．B与C是独立事件
7．如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（ ）
A．B．C．D．
8．不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔，该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：

用样本估计总体，以下四个选项正确的是（ ）
A．30~41周岁参保人数最多B．随着年龄的增长人均参保费用越来越少
C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数20%D．丁险种最受参保人青睐
10．已知，，分别为内角，，的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，则为锐角三角形
D．若，，且有两解，则的取值范围是
11．半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（ ）
A．三点共线
B．
C．直线与平面所成角小于
D．三棱锥的体积为
三、填空题
12．已知，则____________.
13．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，上底面中心为O，则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为_____
14．已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的取值范围为______．
四、解答题
15．已知复数是虚数单位.
(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；
(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数值.
16．已知的内角所对的边分别为，且
(1)求角A；
(2)若的周长为，且，求的面积.
17．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，垂直于面，，，，为棱的中点．
(1)求证：平面．
(2)求直线与面所成的角的正弦值．
18．遵义市举行“高一年级节数学竞赛”，竞赛分为初赛和决赛两个阶段，为了解初赛情况，现从某中学高一年级随机抽取了200名学生，记录他们的初赛成绩，将数据按照分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值，并估计高一年级初赛成绩的众数和平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．
(2)按照分层抽样从和两组中随机抽取了5名学生，现从已抽取的5名学生中随机抽取2名，求有1名或2名学生的成绩在内的概率．
(3)已知本次竞赛最终由三人进行决赛，决赛规则如下：比赛前抽签决定首场比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛（比赛没有平局），先赢两场者获胜，比赛随即结束．已知每场比赛胜的概率为，胜的概率为，胜的概率为，每场比赛互不影响．请通过计算说明哪两人参加首场比赛获胜的概率最大．
19．如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°．
(1)若N为棱的中点，且满足平面，求的值；
(2)若，求三棱锥的体积；
(3)求二面角的正切值的取值范围．
参考答案
1．C
解析：根据复数的相关概念，得的虚部为1.
2．D
解析：由题意可知该校高一年级学生有400人，高二年级学生有500人，高三年级学生有600人，
则高一年级，高二年级与高三年级的学生人数比为，
根据分层抽样的特征可知，抽取的学生中，高一年级有人，
故选：D
3．D
解析：首先将该组数据从小到大排序得：，共10个数据.
选项A：10个数据的中位数为排序后第5个和第6个数据的算术平均数，即，故A错误.
选项C：极差为数据最大值与最小值的差，即，故C错误.
选项B,D：计算85%分位数，由，不为整数，向上取整为9，即85%分位数为排序后第9个数据，故B错误，D正确.
4．A
解析：由向量平行的坐标表示，结合题意得
，解得.
5．B
解析：对于A，若，，，则与相交或，故A错误；
对于B，若，，则，又，则，故B正确；
对于C，若，，，则与相交或或，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：B.
6．D
解析：由于点数为3时，表示事件A与B同时发生，所以A与B不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；
由题意得
由于所以A与C不是独立事件，故C错误；
由于，所以B与C是独立事件，故D正确；
故选：D
7．A
解析：因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点，
得，且，由且，得四边形为平行四边形，
即，设平面交棱于点，由平面平面，
且平面平面，平面平面，得，
由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图：
连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形.
由，E为的中点，得，又，则为的中点，
同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形，
所以截面面积为
故选：A
8．B
解析：因为样本空间，
，
可得，
设“记录号码为4”为事件A，
由题意可知：，可得，
所以.
故选：B.
9．AD
解析：对A：由扇形图可知，31～41周岁的参保人数最多，故选项A正确；
对B：由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越多，故选项B错误；
对C：由扇形图可知，30周岁以上的参保人数约占总参保人数的80%，故选项C错误；
对D：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故选项D正确.
故选：AD.
10．ABD
解析：选项A：根据正弦定理（为外接圆半径），可得，.
若，两边同乘正数即可得，故A正确.
选项B：锐角中，，因此，即.
由于，且在上单调递增，因此，故B正确.
选项C：将不等式变形为，化简得，结合正弦定理得，
由余弦定理可知，仅说明角为锐角，无法判断是否为锐角，故C错误.
选项D：已知一边和其对角时，三角形有两解的条件为，
若，则无解.
若，只有一解.
若，只有一解.
所以，故D正确.
11．ACD
解析：
因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确；
设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切，
所以平面，，，
在，，则，
，故B错误；
因为平面，所以就是直线与平面所成角，
，故C正确；
又，所以，
又，所以为直角三角形，
则，，
，故D正确；
故选：ACD.
12．
解析：.
故答案为：.
13．
解析：建立如图的坐标系，以DA所在直线为横轴，DC所在直线为纵轴，DD1所在直线为竖轴．设正方体棱长为2.
则A（2，0，0），O（1，1，2），C1（0，2，2），
，，
则异面直线AO与DC1所成角θ的余弦值为.
故答案为：.
14．
解析：，
，
故，
由
，
故，
又，故，即，
故有或，
若，由，则，即，
与为锐角三角形矛盾，故舍去；
则，由，则，即，
则
，
由，为锐角三角形，
则，解得，故，
由对勾函数在上单调递增，
则.
故答案为：.
15．(1)
(2)
解析：（1）由已知得到，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以，
解得，所以
（2）因为虚数是实系数一元二次方程的根，所以是方程的另一个根，所以，所以，
所以，
所以，所以.
16．(1)
(2)
解析：（1）由正弦定理边化角得，
所以，
因为，所以，
所以，又，
所以.
（2）因为周长为，且，所以，
由余弦定理得，
所以，解得，
所以的面积.
17．(1)
取的中点，连接、，则，且.
因为，，所以且.
所以四边形为平行四边形.
所以，
因为平面，平面，所以平面.
(2)
解析：（1）略
（2）因为底面为梯形，，，，
所以，，
，
又垂直于面，为棱的中点，
所以到平面的距离为，所以，
因为垂直于面，平面，所以，，
所以，，
所以，
所以，
设点到平面的距离为，则，即，所以，
设直线与面所成的角为，则，
直线与面所成的角的正弦值为.
18．(1)，众数为，平均成绩为77.5.
(2)
(3)首场由比赛才能使获胜的概率最大．
解析：（1）由频率分布直方图得，，
解得．
初赛成绩的众数为，
估计初赛成绩的平均数为：．
所以，众数为，平均成绩为77.5.
（2）由（1）知，成绩在的频率之比为，
则在中随机抽取了人，记为，
在中随机抽取了人，记为，
从5人中随机抽取2人的样本空间为：，
共10个样本点，
设事件“有1名或2名学生的成绩在内”，
则，有7个样本点，
因此，
所以有1名或2名学生的成绩在内的概率为．
（3）若首场比赛，则获胜有三种情况：
①比赛胜，比赛胜，概率为，
②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为
③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为；
所以最终获胜的概率为；
若首场比赛，则获胜有三种情况：
①比赛胜，比赛胜的概率为，
②比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为，
③比赛胜，比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为，
所以最终获胜的概率为，
若首场比赛，则获胜有两种情况：
①比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为，
②比赛胜，比赛胜，比赛胜的概率为，
所以最终获胜的概率为，
因为，
所以首场由比赛才能使获胜的概率最大．
19．(1)1
(2)
(3)
解析：（1）在线段上截取，由，
可得四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，
因为平面，又，则平面平面，
因为平面，所以平面，
又N为棱的中点，所以为的中点，
则，即.
（2）由，，则，
过作平面于点，过作于点，连接，
由平面，平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则为二面角的平面角，，
在中，，
由等面积法可知，，，
而，.
（3）设，则，
在中，由等面积法可知，
，
在矩形中，，
过点作于，
易得，，
设二面角的大小为，则，
由于，则，