山东东营市2025-2026学年高一下学期期末学业质量评价数学试题（含解析）

这是一份山东东营市2025-2026学年高一下学期期末学业质量评价数学试题（含解析），共14页。
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1. 已知向量满足，则（ ）
A. B. 3C. 6D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可.
【详解】平面向量的夹角为，，，
则向量.
2. 下列四个函数中，以1为最小正周期，且在区间上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对A，函数周期为，在区间上递减，故A不满足要求；
对B，函数周期为，在上单调递增，在上也是单调递增，故B不满足要求；
对C，因为，，
所以，故不是以1为周期的周期函数，故C不满足条件；
对D，因为，故是以1为周期的周期函数，
且当时，，，所以，所以在上单调递减，故D满足条件.
3. 已知复数，，则的虚部等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用复数乘法运算及复数定义分析求解即可.
【详解】由，
则，
所以的虚部等于.
4. 在中，已知，则的形状为（ ）
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等边三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由正弦定理边化角得到，再结合正弦二倍角公式即可判断.
【详解】在中，，
∴由正弦定理，得．
又，，．
，即，即，
因为，
或，即或，
为等腰三角形或直角三角形．
故选：D
5. 已知，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助辅助角公式可得，再利用诱导公式整体代换计算即可得.
【详解】，则，
则.
6. 在中，，是线段上的一点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，设，且，化简得到，结合，列出方程组，即可求解.
【详解】如图所示，因为点是线段上的一点，设，且，
可得，即
又因为，可得，解得.
7. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由辅助角公式、余弦二倍角公式及两角和的正切公式化简，结合正弦函数的单调性即可判断.
【详解】，
，
.
由对锐角是递增的，所以，
所以.
8. 如图，四边形为矩形，其中，，其上方是一个以为直径的半圆，为半圆弧上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取中点，利用向量中点分解与平方差公式将转化为，再结合的取值范围求得最终结果.
【详解】如图，取AB的中点O，则,
则，
由于为半圆弧上的一个动点，故的最小值为，
最大值为，即P点位于圆弧中点时的长，
即，所以，所以，
则的取值范围为.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知向量，，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
C. 若，则D. 向量在向量上的投影向量为
【答案】AD
【解析】
【详解】对于A，若，则，所以，A正确；
对于B，若与的夹角为钝角，则，解得且，B错误；
对于C，，若，则，
解得，C错误；
对于D，向量在向量上的投影向量为，D正确.
10. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知中，内角、、所对的边分别为、、，若，，，则
B. 已知复数，复数满足，则的最小值为
C.
D. 中，若，，则动点的轨迹一定通过的内心
【答案】BD
【解析】
【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用复数模的三角不等式可判断B选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C选项；利用平面向量的线性运算以及数形结合可判断D选项.
【详解】对于A选项，由正弦定理可得，则，
因为，，故或，故A错误；
对于B选项，由复数模的三角不等式可得，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故B正确；
对于C选项，设，，则、，
所以表示与共线的一个向量，
表示与共线的一个向量，
但与不一定共线，所以与不一定相等，故C错误；
对于D选项，由题意可知是与同方向的单位向量，是与同方向的单位向量，
作，，以、为邻边作平行四边形，如下图所示：
易知，所以四边形为菱形，则直线平分，
，故点在的角平分线所在直线上，
故动点的轨迹一定通过的内心，故D正确.
11. 某小型风力发电机中心为坐标原点，初始时刻叶片端点质点位于位置．定义一次叶片旋缩运动：电机带动质点绕原点顺时针旋转，同时叶片弹性伸长，质点到转轴原点的距离变为原来的2倍．从初始位置出发，连续完成次旋缩运动后质点的位置记为，，…．下列说法正确的是（ ）
A. 完成1次旋缩运动后，的坐标为
B. 记坐标为，则
C. 第35次、第70次运动后质点与原点构成，该三角形面积为
D. 若质点到转轴原点的距离大于1250时叶片会触发过载警报，则触发警报的最小运动次数正整数
【答案】BCD
【解析】
【分析】确定，设，由三角函数的定义可得点的坐标，判断A项；同理可得，利用辅助角公式化简，判断B项；依次求出，利用三角形的面积公式计算,判断C项；将代入计算，即可判断D项.
【详解】以原点O为中心，把点绕O顺时针旋转，再把新点到O的距离变为原来的2倍得到点，
则，角的终边为，
则，即，故A错误；
坐标为，同理类推可得，
则
，故B正确；
，
，
，同理，
，故C正确；
因，由，得，
由于，则正整数的最小值为11，
使的最小正整数为9，即触发警报的最小运动次数正整数，故D正确.
第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．
12. 若角的终边过点，________．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数终边上点的定义得，进而利用二倍角公式求解即可得答案.
【详解】解：由三角函数终边上点的定义得，
所以.
故答案为：
13. 已知点是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】取线段的中点，连接，可得出，代入等式，推导出为线段的中点，据此可求得的值.
【详解】因为点是内部一点，并且满足，
取线段的中点，连接，如下图所示：
因为为的中点，所以，即，所以，
所以，即，故为线段的中点，
所以，，故.
14. 目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影．某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高，该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为，求得山高为__________m（用参考数据进行计算，山高为到地面的距离）；当该同学面向基站前行时，记该同学所在位置处到基站所在直线的距离为，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为．试问当__________（保留精确值）时，观测基站的视角最大？（数据：，，，）
【答案】 ①. 145.65 ②.
【解析】
【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角的正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解.
【详解】由已知，如图，
在中，由正弦定理，，
则，
在中，.
所以山高为（）.
因为，，且.
观测基站的视角，
且.
因为，当且仅当，即时取等号.
此时取得最大值，即观测基站的视角最大.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 在中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求角；
（2）若是边的中点，，的面积为，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）借助正弦定理将边化为角后，结合两角和的正弦公式与同角三角函数基本关系计算即可得；
（2）利用面积公式计算出，再借助向量模长与数量积的关系计算可得.
【小问1详解】
由题意知，在中，，
由正弦定理得，
，，
即，
，
，
又，，解得，
又，．
【小问2详解】
，，由（1）知，
，．
是边的中点，．
．
．
16. 已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）

（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，以及，结合两角差的余弦公式，即可求解；
（2）根据题意，利用倍角公式和诱导公式，求得和的值，进而求得的值.
【小问1详解】
解：由可得，
又因为，所以，
所以，则.
由，可得，所以，
所以，所以，
所以．
【小问2详解】
解：由正弦的倍角公式，可得，
所以，
又由余弦的倍角公式，可得，
所以，
所以．
17. 如图，在菱形中，，，是的中点，，，为与的交点．
（1）当时，用，表示，．
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
（3）求的取值范围．
【答案】（1），．
（2）不存在，理由如下：
因为．
又因为，，
所以
，
故不存在满足．
（3）
【解析】
【分析】（1）应用平面向量数量关系结合加减法计算求解；
（2）应用平面向量数量积定义计算，再应用垂直数量积为0得出参数；
（3）应用数量积公式结合数量积运算律计算求解.
【小问1详解】
因为是的中点，所以，
所以，．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
连接，因为，所以、、三点共线及、、三点共线．
设，①
设，则，即
得．②
由①②得，，解得．
所以．
所以
．
由，得，所以，．
所以的取值范围为．
18. 记的内角，，的对边分别为，，，若．
（1）若，求；
（2）求；
（3）当取最小值时，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，借助三角公式，对该式化简变形，再根据，得到，从而.
（2）由，得到，再利用二倍角公式化为，进而得出结论；
（3）利用正弦定理将转化为角的正弦之间的关系，借助第（2）问，将角化为同角，利用基本不等式讨论最值，进而求出的值.
【小问1详解】
由题意知
从而
所以
因为，所以，为锐角，
所以，
所以
所以
所以，所以，
因为为锐角，所以，从而.
【小问2详解】
由（1）可知：，所以，
所以，
所以，故，因为，且，
所以，所以由，所以，即.
【小问3详解】
由（2）可知，所以有，，
显然，为锐角，为钝角，由正弦定理得
，当且仅当时取等号，
当时，有最小值，
此时．
19. 已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角．当时，称为辐角的主值，记为．复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，，则．即模相乘，辐角相加．
（1）写出复数的三角形式，并计算，的三角形式，由此归纳出的三角形式；
（2）设是复数的辐角主值，是复数的辐角主值，且，若，，求的值．
（3）设复平面上单位圆内接正八边形的8个顶点对应的复数依次为，，…，（逆时针顺序），其中．求复数，，…，在复平面所对应不同点的个数．
【答案】（1），，，．
（2）
（3）4
【解析】
【详解】解：（1），故，．故．
，，
．
（2）由题意，，
则，，
即，
即．
又因为，所以．
因为，则，所以．
即，所以．
（3）正八边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个顶点，
即，．
故，
当时，得，时，得，
时，得，时，得，
时，得，
发现后续依次重复的结果．对应的不同复数为：1，，，，
所以在复平面所对应不同点的个数为4．