山东省东营市2025-2026学年高一上学期期末学业质量评价数学试题（试卷+解析）

这是一份山东省东营市2025-2026学年高一上学期期末学业质量评价数学试题（试卷+解析），共23页。试卷主要包含了选择题的作答，填空题和解答题的作答， 已知函数， 下列说法中正确的是， 已知正数满足，则的最大值为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C 若，则D. 若，则
3. 已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
4. 已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（ ）
A. B.
C D.
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 为了解某校高一年级学生的视力情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本
B. 若一组数据1，2，4，2，4，3，5，m，3的唯一众数是3，则这组数据的中位数是3，极差是4
C. 已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为11和9
D. 一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的分位数是13
6. 已知正数满足，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
7 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 对于函数和，设，若存在使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为（ ）
A B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 是的必要不充分条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 函数的单调递减区间为
D. 函数且的图象恒过点
10. 已知点O是正方形ABCD的中心，从五个点中随机选取两个不同的点，构成一个向量，记样本空间为，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本空间包含的样本点总数为10B. 向量与向量相等的概率为
C. 向量的模等于正方形边长的概率为D. 向量与向量共线的概率为
11. 已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（ ）
A. 在是减函数
B.
C. 当时，
D. 不等式的解集为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 求值：__________．
13. 在一个智能机器人实验中，机器人在三个充电站之间移动（三个充电站呈正三角形分布），每次移动时，机器人会随机选择移动到相邻的两个充电站之一．由于程序设置，机器人按顺时针方向移动的概率是按逆时针方向移动概率的3倍．假设机器人初始位置在充电站，则机器人移动三次后恰好回到充电站A的概率是__________.
14. 已知函数，其中［］表示不超过的最大整数.下列四个结论：
①定义域为；
②方程没有实数根；
③函数的值域为；
④存在实数，使得当且时，都有.
其中所有正确结论的序号是__________.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为，集合，集合.
（1）若，求集合A、B；
（2）若，求实数的取值范围.
16. DeepSeek、豆包等国产人工智能的广泛应用，给人们生活带来了便捷．某网站组织了人工智能知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份，将其成绩作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分），分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本的分位数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩是66，方差是4，求成绩在内的平均数和方差.
17. 在学校的传统文化课上，甲、乙两名同学进行投壶比赛．规则如下：两人轮流向壶中投箭，甲先投．谁先投中谁就获得胜利，且比赛立即结束．若每人都投了3次仍未投中，则视为平局，比赛也结束．已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投箭是否投中相互独立.
（1）求比赛在完成次投箭时结束的概率；
（2）求乙获得比赛胜利的概率；
（3）求比赛结束时，乙恰好投了次箭的概率.
18. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义证明的单调性；
（3）若，解关于的不等式.
19. 对于函数，若存在实数使得，则称为的生成函数.
（1）设函数，生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）设函数，能否由生成一个函数，满足①是偶函数；②在上的最小值为，若能生成，求函数的解析式，若不能，请说明理由．
山东省东营市2025-2026学年高一上学期学业质量评价数学试题
本试卷共4页 满分150分 考试时间120分钟
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据指数函数的性质，求得，结合集合交集的定义与运算，即可求解.
【详解】由不等式，可得，解得，所以，
因为，可得.
故选：A
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断.
【详解】若，取，，则，故A错误；
若，当时，则，故B错误；
若，取，，则，故C错误；
若，则，故D正确.
故选：D.
3. 已知向量，是两个不共线的向量，，，且，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量共线定理即可求解.
【详解】向量，是两个不共线的向量，，
，存在唯一实数使得，即，
，.
故选：A.
4. 已知函数（，且），若点，都在的图象上，则下列各点一定在的图象上的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由指数幂的运算求解.
【详解】解：因为点，都在的图象上，
所以，则，
即点在的图象上，
故选：D.
5. 下列说法中正确的是（ ）
A. 为了解某校高一年级学生视力情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40名学生是该调查的样本
B. 若一组数据1，2，4，2，4，3，5，m，3的唯一众数是3，则这组数据的中位数是3，极差是4
C. 已知样本数据的平均数为5，方差为2，则的平均数和方差分别为11和9
D. 一组数据10，11，11，12，13，13，14，16，20，23的分位数是13
【答案】B
【解析】
【分析】由样本的定义判断A选项，由众数和中位数的定义判断B选项，由平均数和方差的计算判断C选项，由百分位数的计算判断D选项.
【详解】A选项，样本是40名学生的视力情况，A错误；
B选项，数据1，2，4，2，4，3，5，m，3中已经有两个，两个，两个，如果有唯一的众数，则，
这组数据从小到大排序为，中位数为，极差是，B正确；
C选项，因为的平均数为5，方差为2，
则的平均数为，方差为，C错误；
D选项，这组数据共有个，所以分位数是从小到大排列后的第个数和第个数的平均数，
即，D错误；
故选：B.
6. 已知正数满足，则的最大值为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用基本不等式求出原式的最大值即可.
【详解】原式，当且仅当，即时，等号成立，取得最大值.
故选：A
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别确定，，的取值范围，进而比较它们的大小.
【详解】因为，指数函数中底数，
所以，在定义域上单调递增，
又因为，所以，所以，
因为，底数，
所以在上单调递减，又因为
所以，
因为，定义域为，底数，
所以在上单调递减，
又因为，所以，
综上所述：.
故选：B.
8. 对于函数和，设，若存在使得，则称与互为“零点相邻函数”.若函数与互为“零点相邻函数”，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先得到，由“零点相邻函数”的定义可知，故在区间上存在零点，即在上存在实数根，参变分离，求出函数的值域，从而求出参数的取值范围.
【详解】是R上单调递增，且，据此可知，
结合“零点相邻函数”的定义可知，则，
故在区间上存在零点，
即上存在实数根，
整理可得，
由对勾函数性质可知在上单调递减，在上单调递增，
所以，又，
故，
故实数的取值范围为.
故选：D
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 是的必要不充分条件
B. 命题“”的否定是“”
C. 函数的单调递减区间为
D. 函数且的图象恒过点
【答案】AB
【解析】
【分析】利用充分、必要条件的性质和定义判断选项A；根据存在量词命题的否定为全称量词命题，判断选项B；利用反比例函数的单调性判断选项C；利用指数函数的性质判断选项D．
【详解】A选项，若成立，则一定成立，所以能推出；
若成立，不一定有成立，例如，所以不能推出；
所以，是的必要不充分条件，A选项正确；
B选项，原命题结论为“”，否定后为“”，所以否定是“”，B选项正确；
C选项，函数在和上单调递减，
但不能合并为一个区间，如，不满足在和上分别单调递减，C选项错误；
D选项，令，即，此时，所以函数图象恒过点，不是，D选项错误；
故选：AB.
10. 已知点O是正方形ABCD的中心，从五个点中随机选取两个不同的点，构成一个向量，记样本空间为，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本空间包含的样本点总数为10B. 向量与向量相等的概率为
C. 向量的模等于正方形边长的概率为D. 向量与向量共线的概率为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据向量的定义写出样本空间判断A，根据所给事件包含的样本点个数，利用古典概型求概率判断BCD.
【详解】由题意，,所以样本空间包含的样本点总数为20，故A错误；
向量与向量相等，包含2个样本点 ，，所以，故B正确；
向量的模等于正方形边长，包含的样本点为，共8个样本点，所以，故C正确；
向量与向量共线，包含的样本点为,共6个样本点，所以，故D正确.
故选：BCD
11. 已知定义在上的函数满足，函数为偶函数，且当时，，下列结论正确的是（ ）
A. 在是减函数
B.
C. 当时，
D. 不等式的解集为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，求得的图象关于对称，且的周期为，再由，求得，得到时，，结合对数函数图象与性质，结合对称性和周期性，逐项分析判断，即可求解.
【详解】由函数满足，可得函数为奇函数，图象关于原点对称，
又由函数为偶函数，设，可得，
则，所以的图象关于对称，即，
因为，所以，即，
则，所以，所以是周期为的周期函数，
当时，，可得，解得，
即当时，，
对于A，由时，，可得在上单调递增函数，
因为函数关于对称，所以在上单调递减函数，所以A正确；
对于B，因为是周期为的周期函数，且关于对称，
可得，
，
所以，所以B错误；
对于C，当时，可得，
因为为奇函数，且当时，，
所以，所以C正确；
对于D，因为是周期为的周期函数，只需考虑一个周期的解集，取，
当，可得，则，所以的解集为，
因为的图象关于对称，所以在上，的解集也为；
当，，令，即，解得，
所以的解集为，
因为的图象关于对称，所以在上，的解集也为，
所以在一个周期上，不等式的解集为，
因为的周期为，所以的解集为，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 求值：__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据指数和对数运算求得正确答案.
【详解】原式.
故答案为：.
13. 在一个智能机器人实验中，机器人在三个充电站之间移动（三个充电站呈正三角形分布），每次移动时，机器人会随机选择移动到相邻的两个充电站之一．由于程序设置，机器人按顺时针方向移动的概率是按逆时针方向移动概率的3倍．假设机器人初始位置在充电站，则机器人移动三次后恰好回到充电站A的概率是__________.
【答案】## 0.4375
【解析】
【分析】从出发，经过三次移动最后回到路径有，，分别求得概率，相加得到答案.
【详解】
如图，由题意可得从到，从到，从到的概率为，
从到，从到，从到的概率为，
从出发，经过三次移动最后回到的路径有，，
① 的概率为；
② 的概率为；
所以，从出发，经过三次移动最后回到的概率为；
故答案为：.
14. 已知函数，其中［］表示不超过的最大整数.下列四个结论：
①的定义域为；
②方程没有实数根；
③函数的值域为；
④存在实数，使得当且时，都有.
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】取特殊值得①错误；由得，所以没有实数根，②正确；令，，结合的单调性求得的值域，③正确；取，令，由，得，，此时，都有，④正确.
【详解】①当时，，无意义，故①错误；
②令得，而，，故方程没有实数根，②正确；
③，
令，则，，，
所以，
因为，，
当时，随着的增大而增大，
所以，所以，
因此，即的值域为，③正确；
④取，，，
由得，
令，则，
由，得，
而，当，，
此时，，，，
都有，④正确；
故答案为：②③④.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 设全集为，集合，集合.
（1）若，求集合A、B；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据绝对值不等式解法求解集合A，根据分式不等式的解法求解集合B.
（2）根据列出不等式组求解的取值范围.
【小问1详解】
当时，；
，即，即，
解得，所以.
【小问2详解】
根据题意可得：
，且，
，
，解得，
所以实数的取值范围是.
16. DeepSeek、豆包等国产人工智能的广泛应用，给人们生活带来了便捷．某网站组织了人工智能知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份，将其成绩作为样本（满分100分，成绩均为不低于40分），分成六组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本的分位数；
（3）已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩是66，方差是4，求成绩在内的平均数和方差.
【答案】（1）0.030；
（2）84； （3）平均数是62，方差是37.
【解析】
【分析】（1）由小矩形面积之和为，解得的值；
（2）由百分位数的计算公式计算得到分位数；
（3）由平均数、方差计算公式得到平均数和方差.
【小问1详解】
因为小矩形的面积之和为1，
所以，
解得；
【小问2详解】
成绩落在内的频率为，
落在内的频率为，
设分位数为，则，
由，得，
故分位数为84；
【小问3详解】
由图可知，成绩在的人数为，
成绩在的人数为，
故，
所以成绩在内的平均数是62，方差是37.
17. 在学校的传统文化课上，甲、乙两名同学进行投壶比赛．规则如下：两人轮流向壶中投箭，甲先投．谁先投中谁就获得胜利，且比赛立即结束．若每人都投了3次仍未投中，则视为平局，比赛也结束．已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，且各次投箭是否投中相互独立.
（1）求比赛在完成次投箭时结束的概率；
（2）求乙获得比赛胜利的概率；
（3）求比赛结束时，乙恰好投了次箭的概率.
【答案】（1）
（2）；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用独立事件乘法，；
（2）分别求三种情况的概率，再相加；
（3）分别求两种情况的概率，再相加.
【小问1详解】
记“甲第次投中”为事件，其中，“乙第次投中”为事件，其中，记“比赛在完成3次投箭时结束”为事件，
∴由相互独立事件的概率计算公式知
所以比赛在完成3次投箭时结束的概率为；
【小问2详解】
记“乙获得比赛胜利”为事件，
∴由互斥事件和相互独立事件的概率计算公式知
所以乙获得比赛胜利的概率为；
【小问3详解】
记“乙恰好投了2次箭”为事件，
∴由互斥事件和相互独立事件的概率计算公式知
所以比赛结束时，乙恰好投了2次箭的概率为.
18. 已知函数是定义域为的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断并用定义证明的单调性；
（3）若，解关于的不等式.
【答案】（1）；
（2）在上是减函数，证明见解析
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由是定义域为的奇函数，结合和，列出方程，即可求解；
（2）化简函数得解析式为，利用函数单调性的定义和判定方法，即可求解；
（3）根据函数是奇函数，且在上是减函数，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解.
【小问1详解】
解：因为函数是定义域为的奇函数，
可得，解得，所以，
又因为，可得，解得，
所以，经检验，满足，符合题意，
所以.
【小问2详解】
解：函数在上是减函数.
证明：由（1）知，函数，
任取且，则，
则
因为为上的增函数且值域为，所以且，
可得，即
所以函数在上是减函数.
【小问3详解】
解：因为是定义域为的奇函数，
则可化为，即，
由（2）知，函数在上是减函数，所以，
即，可得
当时，解得，即不等式的解集为；
当时，不等式无解，即不等式的解集为空集；
当时，解得，即不等式的解集为，
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式的解集为.
19. 对于函数，若存在实数使得，则称为的生成函数.
（1）设函数，生成函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；
（2）设函数，能否由生成一个函数，满足①是偶函数；②在上的最小值为，若能生成，求函数的解析式，若不能，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）由能生成函数.
【解析】
【分析】(1)根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；
（2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解即可.
【小问1详解】
由题意可得，
不等式在上有解，
等价于，即在上有解，
设，则即可，
令，则，
由可转化为，
由二次函数的性质可知，在上是减函数，
所以当时，，所以，
所以实数的取值范围是；
【小问2详解】
假设能生成满足题意的，设，
因为是偶函数，所以，
即，
整理得，也即，即对任意恒成立，所以，
则，
设，
令，则，
由对勾函数的性质可知在上是增函数，
所以，
所以，即，
又因为在上的最小值为，
可得且，
解得，此时，
所以由能生成函数.