广西百色市2025-2026学年高二下学期期末期末教学质量调研测试数学试题（含解析）

这是一份广西百色市2025-2026学年高二下学期期末期末教学质量调研测试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
（试卷满分：150分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 计算：（ ）
A. 20B. 45C. 90D. 100
【答案】B
【解析】
【详解】，B正确.
2. 已知函数，则（ ）
A. 16B. 18C. 22D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】先利用基本初等函数的求导法则求出的导函数，再将代入导函数计算即可得到结果
【详解】求导：
将代入导函数得：
3. 以下是由变量与所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误；
对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误；
对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误；
对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确.
4. 已知离散型随机变量的分布列如下表，则实数m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由离散型随机变量的分布列性质求解．
【详解】，得．
5. 已知，则x的值为（ ）
A. 0B. 15C. 0或15D. 1或15
【答案】C
【解析】
【详解】由于，故或15
6. 函数的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由图可知，在严格单调递增，故，.
又因为越陡，越大，所以.
7. 已知展开式中间一项只有第5项，则展开式中的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由，得，再由展开式的通项公式求解．
【详解】由展开式中间一项只有第5项，得，得，
展开式的通项公式为，
令，得展开式中的系数为．
8. 湘绣是中国优秀的民族传统工艺之一，一幅湘绣作品要经过设计图案和刺绣两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行刺绣，只有同时通过这两个环节才能成为成品（两个环节是否通过相互独立）．某绣坊准备制作三幅不同的湘绣作品，已知这三幅作品通过设计图案环节的概率依次为，，，通过刺绣环节的概率依次为，，．若已知这三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节，则通过的作品为第二幅的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件概率公式直接求解即可.
【详解】记“这三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节”为事件，
记“通过的作品为第二幅”为事件，
则，
又，
所以.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知随机变量X服从正态分布，则以下正确的选项是（ ）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【详解】选项A：正态分布中第一个参数为随机变量的期望，本题中，故，正确.
选项B：正态分布中第二个参数为随机变量的方差，本题中，故，错误.
选项C：正态分布的概率密度曲线关于直线对称，因此，代入得，正确.
选项D：由曲线关于对称，可得，因此，正确.
10. 某高中开展“书香校园”共读活动，推荐阅读书目有历史类书2本、科学类书3本、文学类书4本（含《红楼梦》和《乡土中国》）．现要求每位学生从中选择4本阅读，则以下说法正确的是（ ）
A. 若必读《红楼梦》和《乡土中国》，则共有21种不同选法
B. 若恰好选读历史类书与科学类书各1本，则共有36种不同选法
C. 若至少选读1本科学类书，则共有106种不同选法
D. 若三类书都要选，则共有72种不同选法
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，利用组合数公式，结合选项，逐项列式计算，即可求解.
【详解】对于A，若必读《红楼梦》和《乡土中国》，再从剩余的7本书中选两本，
共有种不同的选法，所以A正确；
对于B，若恰好选读历史类书与科学类书各1本，再从文学书中选两本，
共有种不同的选法，所以B正确；
对于C，若至少选读1本科学类书，可得分为3类：
①若恰好1本科学类书，有种选法；
②若恰好2本科学类书，有种选法；
③若恰好3本科学类书，有种选法，
由分类计数原理得，共有种不同的选法，所以C错误；
对于D，若三类书都要选，可得分为三类：
①若恰好2本历史类书，1本科学类书，1本文学类书，有种选法；
②若恰好1本历史类书，2本科学类书，1本文学类书，有种选法；
③若恰好1本历史类书，1本科学类书，2本文学类书，有种选法；
由分类计数原理得，共有种不同的选法，所以D正确.
11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 在上单调递增B. 是的极大值点
C. 在区间内的值域为D. 有且只有1个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】利用导数研究原函数的性质，依次判断各选项的正误即可.
【详解】令，解得.
对于A，当，单调增，当，单调减，A错误；
对于B，在单调增，在单调减，故是的极大值点，B正确；
对于C，在的最大值为.故在的最大值不是，C错误；
对于D，当时，恒成立，即在无零点，
易知，在单调减，则在有且仅有一个零点，
所以有且只有1个零点，D正确.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 用1～5这5个数字可以组成______________个没有重复数字的三位数（请用数字作答）．
【答案】
【解析】
【详解】用1～5这5个数字可以组成没有重复数字的三位数有个.
13. 某校校运会上的定点投篮比赛在甲、乙两个区域开展．某同学在甲区域投篮命中的概率是，在乙区域投篮命中的概率是，它们之间相互不影响．若比赛规定只能等可能地选择两个区域中的一个区域投篮一次，则该同学投篮命中的概率为______________．
【答案】##0.6
【解析】
【详解】设事件A表示“选择甲区域投篮”，事件B表示“选择乙区域投篮”，事件C表示“该同学投篮命中”，
由题意，得到，
据全概率公式： .
14. 现有4人从第1层上了同一部电梯，若这4人都在第3层至第8层的某一层出电梯，且在每一层最多只有两人同时出电梯，从同一层出电梯的两人不区分出电梯的顺序，则这4人出电梯的不同方法种数是______________．
【答案】1170
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及排列组合综合问题列式求解.
【详解】每层只有1人出电梯，有种方法；恰有一层有2人出电梯，有种方法；
4人分两层，每层2人出电梯，有，
所以这4人出电梯的不同方法种数是.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某市教育局为了解某校学生体育运动达标情况，从该校高一、高二、高三年级中随机调查男生、女生各100名的平均每天体育运动时间，并根据学生课余体育运动要求，统计学生平均每天体育运动时间的“达标”与“不达标”人数，列出下面的列联表：
（1）请把该列联表的空格填上数据，并用样本的频率估计总体的概率，计算该校学生平均每天体育运动时间“达标”的概率．
（2）依据小概率值的独立性检验，分析该校学生体育运动时间与性别因素是否有关联．
附：，（其中）．
【答案】（1）
（2）有的把握认为该校学生体育锻炼时间与性别因素有关.
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到列联表，结合古典概型的概率计算公式，即可求解；
（2）由（1）中的列联表，求得，结合附表，即可得到结论.
【小问1详解】
由题意得，列联表如下所示：
其中该校学生平均每天体育运动时间“达标”的人数为人，
所以该校学生平均每天体育运动时间“达标”的概率.
【小问2详解】
由（1）中的列联表中的数据，
计算的观测值为，
因为，
结合附表，有的把握认为该校学生体育运动时间与性别因素有关.
16. 设函数，已知曲线在点处的切线斜率为12．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在区间上的最大值为20，求n的值．
【答案】（1）
（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为和
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，求导可得，求解即可；
（2）令和，解不等式可求得函数的单调区间；
（3）根据（2）中函数的单调性求出最值，结合已知最值列式可求出结果.
【小问1详解】
因为曲线在点处的切线斜率为12，所以，
又，所以，
所以，
所以，
解得；
【小问2详解】
由（1）知，所以，
由，得，由，得或，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为和．
【小问3详解】
由（1）知，
因为函数在上是单调递减函数，在上是单调递增函数，
又，
所以函数在区间上的最大值为，
解得．
17. 百色市某村为实现乡村振兴，开发本地资源办企业，最近研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，特对不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据做了统计：
已知，．
（1）求和的值；
（2）求y关于x的一元线性回归方程；（参考公式：，）
（3）如价格定为15元，预测网上月销量大约是多少万件？
【答案】（1），
（2）
（3）5.5万件
【解析】
【分析】（1）利用平均数的定义求解即可；
（2）利用最小二乘法可求回归直线方程；
（3）令，代入求解即可.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
因为，，，，
所以，
又，
所以y关于x的一元线性回归方程；
【小问3详解】
当时，，
所以价格定为15元，预测网上月销量大约是5.5万件.
18. 端午节前夕，某食品公司做好了大量粽子礼盒，每个礼盒中均装有黑糯肉粽和白糯绿豆粽两种粽子．在出售前的检查中，该公司相关人员随机抽取6件粽子，其中黑糯肉粽和白糯绿豆粽各3件．
（1）从这6个抽取的粽子中，采用不放回抽样的方式任取2个，记取到的白糯绿豆粽有X件，求X的分布列、期望和方差．
（2）若用上述抽取的6个粽子中黑糯肉粽所占的频率估计从这批粽子中任取一个是黑糯肉粽的概率．现从这批粽子中采用有放回抽样的方式随机抽取3个，用表示抽到黑糯肉粽的件数，求的期望与方差，并求抽到黑糯肉粽不超过2个的概率．
【答案】（1）的分布列为
，.
（2），，抽到黑糯肉粽不超过个的概率为.
【解析】
【分析】（1）不放回抽取个粽子，随机变量服从超几何分布，先求分布列，再根据离散型随机变量期望与方差的定义计算.
（2）用样本中黑糯肉粽的频率估计其概率，有放回抽样可看作次相互独立的重复试验，随机变量服从二项分布.
【小问1详解】
从个白糯绿豆粽和个黑糯肉粽中不放回抽取个，共有种等可能的取法，随机变量的可能取值为.
当时，抽到的均为黑糯肉粽，所以
当时，抽到个白糯绿豆粽和个黑糯肉粽，所以
当时，抽到的均为白糯绿豆粽，所以
因此的分布列为
期望为
根据方差的定义，得
【小问2详解】
由题意，用抽取的个粽子中黑糯肉粽所占的频率估计任取一个粽子是黑糯肉粽的概率，
有放回随机抽取个粽子，每次抽到黑糯肉粽的概率均为，且各次抽取相互独立，所以
因此
方差为
抽到黑糯肉粽不超过个的概率为
19. 已知函数．
（1）若函数有一个极值点为，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）在（2）的条件下，设函数，若对，总有，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（3）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，由求出并验证即可.
（2）求出函数及导数，再按分类求出函数的单调区间即可.
（3）等价变形不等式，由时不等式成立确定范围，再构造函数并利用导数确定单调性即可.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
由是函数的极值点，得，解得，
此时，当时，；当时，，
则是函数的极大值点，符合题意，
所以.
【小问2详解】
函数的定义域为，
求导得，而，
当时，由，得；由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，由，得或；由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，，，函数在上单调递减；
当时，，由，得或；由，得，
因此函数在上单调递减，在上单调递增；
所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
【小问3详解】
不等式，
令，依题意，，恒成立，
则，解得，求导得，
当且仅当时取等号，于是函数在上单调递增，，
所以a的取值范围是.
X
1
2
3
4
P
m
性别
体育运动
合计
达标
不达标
男生
25
100
女生
60
100
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
体育运动
合计
达标
不达标
男生
75
25
100
女生
60
40
100
合计
135
65
200
x
10
12
14
16
18
y
8
7
6
5
4