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广西百色市2022-2023学年高二上学期期末教学质量调研测试数学试题（含答案详解）
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这是一份广西百色市2022-2023学年高二上学期期末教学质量调研测试数学试题（含答案详解），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分；考试时长：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上.
2.回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程求直线的斜率，再求倾斜角.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以倾斜角 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2. 若直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】计算得到 SKIPIF 1 < 0 结合线面位置关系即得解.
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 96B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】利用韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式以及等差数列的性质即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4. “ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 平行”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
而当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 平行”的充要条件.
故选：A.
5. 已知A为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线焦点， SKIPIF 1 < 0 ，点A到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为6，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 2B. 8C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式列式计算，即得答案.
【详解】由题意A为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点，点A到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为6，
则点A的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
6. 在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，用向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法和减法和数乘的运算，用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7. 若双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. 2B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】写出一条渐近线方程，求出圆心到渐近线的距离，由圆的弦长公式求得弦长后得 SKIPIF 1 < 0 的关系式，从而变形求得离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线不妨为： SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为：2，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得圆心到直线的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
8. 人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程
【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，
由题意可知下一段圆弧过点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为每一段圆弧的圆心角都为90°，
所以下一段圆弧所在圆的圆心与点 SKIPIF 1 < 0 的连线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，
因为下一段圆弧的半径为13，
所以所求圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小可能为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小可能为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BC.
10. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式结合等差中项列方程求解.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，由等比数列通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于等比数列每一项都不是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AD
11. 已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】假设点P在第一象限，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为c，根据定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，进而解出 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 间的关系，进而求得答案.
【详解】根据椭圆和双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，设椭圆与双曲线的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组解得： SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AC.
12. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．下列说法正确的是（ ）
A. 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为“阳马”
B. 四面体 SKIPIF 1 < 0 为“鳖臑”
C. 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大为 SKIPIF 1 < 0
D. 过 SKIPIF 1 < 0 点分别作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
A选项，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为“阳马”，对；
B选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
又由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形．
∴四面体 SKIPIF 1 < 0 为“鳖臑”，对；
C选项，在底面有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
SKIPIF 1 < 0 ，错；
D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以则 SKIPIF 1 < 0 ，对；
故选：ABD．
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数a的值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】解：由题可得圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为端点的线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点的临界情况分析.
【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图当直线 SKIPIF 1 < 0 恰好经过 SKIPIF 1 < 0 时为临界情况，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当直线从 SKIPIF 1 < 0 位置顺时针转动到 SKIPIF 1 < 0 位置时，
由倾斜角和斜率的关系可知， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为9，则b=______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积列方程，由此求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取到的项：
第一次取1； 第一次 1
第二次取2个连续的偶数2，4； 第二次 2 4
第三次取3个连续的奇数5，7，9； 第三次 5 7 9
第四次取4个连续的偶数10，12，14，16，…… 第四次 10 12 14 16
…… ……
按此规律一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，…，则在这个子数列中，第2020个数是___________.
【答案】3976
【解析】
【分析】根据给定信息确定奇数行和偶数行的规律，再确定2020的位置即可计算作答.
【详解】依题意，每次取出的各个数从小到大各排成一行，奇数次取数个数是奇数，偶数次取数个数是偶数，
每一行数的个数与次数相同，每一行最后一个数依次为1，4，9，16，25，…，则第n行最后一个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
前n行数的总个数为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，一共有 SKIPIF 1 < 0 个数，
于是，第2020个数是第64行的第4个数，而第63行最后一个数为 SKIPIF 1 < 0 ，则第2020个数是3976，
所以2020个数是3976.
故答案为：3976
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列，首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，根据等比中项的概念即可求出公差，再根据等差数列的通项公式即可求出答案；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据分组求和法即可求出答案．
【详解】解：（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，由已知得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的分组求和法，考查计算能力，属于基础题．
18. 在直三棱柱中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面平行判定定理，即可证明结论成立；
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离就等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离就等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所求距离为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求点到面的距离，熟记线面平行的判定定理，灵活运用空间向量的方法求点到面的距离即可，属于常考题型.
19. 圆 SKIPIF 1 < 0 经过两点 SKIPIF 1 < 0 ，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦的长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入所过的点后可求 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求圆的方程.
（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.
【小问1详解】
设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由圆 SKIPIF 1 < 0 的方程和圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得公共弦的方程为：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到公共弦的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故公共弦的弦长为： SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用错位相减法求和.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
①-②得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
21. 三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点M，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）取BC的中点O，连结AO、 SKIPIF 1 < 0 ，在三角形中分别证明 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理证明 SKIPIF 1 < 0 ，结合线面垂直的判定定理可证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，假设点M存在，设 SKIPIF 1 < 0 ，求出M点坐标，然后求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，利用空间向量的方法根据二面角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）取BC的中点O，连结AO, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 中，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）问知： SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间之间坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若存在点M，则点M在 SKIPIF 1 < 0 上，不妨设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
故存在点M， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查立体几何探索是否存在的问题，属于中档题.
方法点睛：（1）判断是否存在的问题，一般先假设存在；
（2）设出点坐标，作为已知条件，代入计算；
（3）根据结果，判断是否存在.
22. 已知抛物线C1： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C2： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆C2的方程；
（2）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据抛物线角点可得椭圆半焦距，结合离心率可解；
（2）由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，设直线方程，联立椭圆方程消元，利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，化简，由基本不等式可得.
【小问1详解】
由题意可得，抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，又椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ①，
设直线PQ为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0
化简整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ②，
由韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ③，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入①，
可得 SKIPIF 1 < 0 ④，
再将③代入④，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
且由②可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 到直线PQ距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积S最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
（满分：150分；考试时长：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上.
2.回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线 SKIPIF 1 < 0 的倾斜角是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线方程求直线的斜率，再求倾斜角.
【详解】直线 SKIPIF 1 < 0 的斜率 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以倾斜角 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
2. 若直线 SKIPIF 1 < 0 的一个方向向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】计算得到 SKIPIF 1 < 0 结合线面位置关系即得解.
【详解】由题得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
3. 已知等差数列 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根， SKIPIF 1 < 0 是数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 96B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 48
【答案】D
【解析】
【分析】利用韦达定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用等差数列的前 SKIPIF 1 < 0 项和公式以及等差数列的性质即可求解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的两根，
所以 SKIPIF 1 < 0 .所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
4. “ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 平行”的（ ）
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由两直线平行求得 SKIPIF 1 < 0 的值，结合充分条件和必要条件的定义判断即可.
【详解】若直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
而当 SKIPIF 1 < 0 时，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 重合，舍去，
所以，直线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 平行 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以“ SKIPIF 1 < 0 ”是“直线 SKIPIF 1 < 0 和直线 SKIPIF 1 < 0 平行”的充要条件.
故选：A.
5. 已知A为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 为抛物线焦点， SKIPIF 1 < 0 ，点A到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为6，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. 2B. 8C. 6D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的焦半径公式列式计算，即得答案.
【详解】由题意A为抛物线 SKIPIF 1 < 0 上一点，点A到 SKIPIF 1 < 0 轴的距离为6，
则点A的横坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，
故由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
6. 在正四面体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，用向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】利用向量加法和减法和数乘的运算，用 SKIPIF 1 < 0 表示出 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 靠近 SKIPIF 1 < 0 的三等分点，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
7. 若双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的离心率为（ ）
A. 2B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】写出一条渐近线方程，求出圆心到渐近线的距离，由圆的弦长公式求得弦长后得 SKIPIF 1 < 0 的关系式，从而变形求得离心率 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线不妨为： SKIPIF 1 < 0 ，
圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心 SKIPIF 1 < 0 ，半径为：2，
双曲线 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的一条渐近线被圆 SKIPIF 1 < 0 所截得的弦长为 SKIPIF 1 < 0 ，
可得圆心到直线的距离为： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D．
8. 人教A版选择性必修二教材的封面图案是斐波那契螺旋线，它被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，自然界存在很多斐波那契螺旋线的图案，例如向日葵､鹦鹉螺等．斐波那契螺旋线的画法是:以斐波那契数1，1，2，3，5，8，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线在正方形边长为1，1，2，3，5，8的部分，如图建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为（ ）．
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，由于每一个圆弧为四分之一圆，从而可求出下一段圆弧所以圆的圆心，进而可得其方程
【详解】解：由题意可知图中每90°的圆弧半径符合斐波那契数1，1，2，3，5，8，…，从而可求出下一段圆弧的半径为13，
由题意可知下一段圆弧过点 SKIPIF 1 < 0 ，
因为每一段圆弧的圆心角都为90°，
所以下一段圆弧所在圆的圆心与点 SKIPIF 1 < 0 的连线平行于 SKIPIF 1 < 0 轴，
因为下一段圆弧的半径为13，
所以所求圆的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以所求圆的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.
9. 三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小可能为（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【解析】
【分析】由二面角的大小与法向量夹角相等或互补即可求得结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小可能为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：BC.
10. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公比为 SKIPIF 1 < 0 的等比数列，且 SKIPIF 1 < 0 成等差数列，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 1
【答案】AD
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式结合等差中项列方程求解.
【详解】由题意， SKIPIF 1 < 0 ，由等比数列通项公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，
由于等比数列每一项都不是 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AD
11. 已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，若椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，双曲线的离心率为 SKIPIF 1 < 0 ，则关于 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】假设点P在第一象限，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，半焦距为c，根据定义可知 SKIPIF 1 < 0 ，进而解出 SKIPIF 1 < 0 ，再由勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 间的关系，进而求得答案.
【详解】根据椭圆和双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，设椭圆与双曲线的半焦距为 SKIPIF 1 < 0 ，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为 SKIPIF 1 < 0 ，根据题意， SKIPIF 1 < 0 ，联立方程组解得： SKIPIF 1 < 0 ,而 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ，由基本不等式 SKIPIF 1 < 0 ，易知 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：AC.
12. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．下列说法正确的是（ ）
A. 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为“阳马”
B. 四面体 SKIPIF 1 < 0 为“鳖臑”
C. 四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积最大为 SKIPIF 1 < 0
D. 过 SKIPIF 1 < 0 点分别作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，进而判断D的正误.
【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，
∴在堑堵 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，侧棱 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
A选项，∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四棱锥 SKIPIF 1 < 0 为“阳马”，对；
B选项，由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
又由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，
由“堑堵”的定义可得 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形．
∴四面体 SKIPIF 1 < 0 为“鳖臑”，对；
C选项，在底面有 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时取等号，
SKIPIF 1 < 0 ，错；
D选项，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以则 SKIPIF 1 < 0 ，对；
故选：ABD．
三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，则实数a的值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离等于半径即可求解 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】解：由题可得圆 SKIPIF 1 < 0 的圆心为 SKIPIF 1 < 0 ，半径为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为直线 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 相切，
所以圆心 SKIPIF 1 < 0 到直线的距离 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
14. 已知直线 SKIPIF 1 < 0 过点 SKIPIF 1 < 0 且与以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为端点的线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点，则直线 SKIPIF 1 < 0 斜率的取值范围为________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】在坐标系中标出这三个点，然后根据直线和线段 SKIPIF 1 < 0 有公共点的临界情况分析.
【详解】在同一坐标系下标出这三个点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，如图当直线 SKIPIF 1 < 0 恰好经过 SKIPIF 1 < 0 时为临界情况，
又 SKIPIF 1 < 0 ，当直线从 SKIPIF 1 < 0 位置顺时针转动到 SKIPIF 1 < 0 位置时，
由倾斜角和斜率的关系可知， SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是椭圆 SKIPIF 1 < 0 的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 的面积为9，则b=______．
【答案】3
【解析】
【分析】利用三角形 SKIPIF 1 < 0 的面积列方程，由此求得 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，
由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
16. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取到的项：
第一次取1； 第一次 1
第二次取2个连续的偶数2，4； 第二次 2 4
第三次取3个连续的奇数5，7，9； 第三次 5 7 9
第四次取4个连续的偶数10，12，14，16，…… 第四次 10 12 14 16
…… ……
按此规律一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，…，则在这个子数列中，第2020个数是___________.
【答案】3976
【解析】
【分析】根据给定信息确定奇数行和偶数行的规律，再确定2020的位置即可计算作答.
【详解】依题意，每次取出的各个数从小到大各排成一行，奇数次取数个数是奇数，偶数次取数个数是偶数，
每一行数的个数与次数相同，每一行最后一个数依次为1，4，9，16，25，…，则第n行最后一个数为 SKIPIF 1 < 0 ，
前n行数的总个数为 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时，一共有 SKIPIF 1 < 0 个数，
于是，第2020个数是第64行的第4个数，而第63行最后一个数为 SKIPIF 1 < 0 ，则第2020个数是3976，
所以2020个数是3976.
故答案为：3976
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知数列 SKIPIF 1 < 0 是公差不为0的等差数列，首项 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 成等比数列．
（1）求数列 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）设数列 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前n项和 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】
【分析】
（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，根据等比中项的概念即可求出公差，再根据等差数列的通项公式即可求出答案；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，再根据分组求和法即可求出答案．
【详解】解：（1）设数列 SKIPIF 1 < 0 的公差为d，由已知得， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，考查数列的分组求和法，考查计算能力，属于基础题．
18. 在直三棱柱中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点.
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面平行判定定理，即可证明结论成立；
（2）由（1）可得： SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离就等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求点到面的距离即可.
【详解】（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离就等于点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.
以点 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
所求距离为 SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查证明线面平行，以及求点到面的距离，熟记线面平行的判定定理，灵活运用空间向量的方法求点到面的距离即可，属于常考题型.
19. 圆 SKIPIF 1 < 0 经过两点 SKIPIF 1 < 0 ，且圆心在直线 SKIPIF 1 < 0 上.
（1）求圆 SKIPIF 1 < 0 的方程；
（2）求圆 SKIPIF 1 < 0 与圆 SKIPIF 1 < 0 的公共弦的长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）设圆 SKIPIF 1 < 0 方程为 SKIPIF 1 < 0 ，代入所过的点后可求 SKIPIF 1 < 0 ，从而可求圆的方程.
（2）利用两圆的方程可求公共弦的方程，利用垂径定理可求公共弦的弦长.
【小问1详解】
设圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由圆 SKIPIF 1 < 0 的方程和圆 SKIPIF 1 < 0 的方程可得公共弦的方程为：
SKIPIF 1 < 0 ，
整理得到： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 到公共弦的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，
故公共弦的弦长为： SKIPIF 1 < 0 .
20. 已知各项均为正数的数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的通项公式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求数列 SKIPIF 1 < 0 的前 SKIPIF 1 < 0 项和 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用 SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列，求出通项公式；
（2）求出 SKIPIF 1 < 0 ，利用错位相减法求和.
【小问1详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 的各项均为正数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
由（1）知， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，①
SKIPIF 1 < 0 ，②
①-②得：
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .
21. 三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点M，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）取BC的中点O，连结AO、 SKIPIF 1 < 0 ，在三角形中分别证明 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，再利用勾股定理证明 SKIPIF 1 < 0 ，结合线面垂直的判定定理可证明 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，再由面面垂直的判定定理即可证明结果.
（2）建立空间直角坐标系，假设点M存在，设 SKIPIF 1 < 0 ，求出M点坐标，然后求出平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，利用空间向量的方法根据二面角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】（1）取BC的中点O，连结AO, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
侧面 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ，
所以三角形为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 中，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）问知： SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以O为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间之间坐标系 SKIPIF 1 < 0 .
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若存在点M，则点M在 SKIPIF 1 < 0 上，不妨设 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
解得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）
故存在点M， SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查立体几何探索是否存在的问题，属于中档题.
方法点睛：（1）判断是否存在的问题，一般先假设存在；
（2）设出点坐标，作为已知条件，代入计算；
（3）根据结果，判断是否存在.
22. 已知抛物线C1： SKIPIF 1 < 0 与椭圆C2： SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）有公共的焦点，C2的左､右焦点分别为F1，F2，该椭圆的离心率为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求椭圆C2的方程；
（2）如图，若直线l与x轴，椭圆C2顺次交于P，Q，R（P点在椭圆左顶点的左侧），且∠PF1Q与∠PF1R互为补角，求△F1QR面积S的最大值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据抛物线角点可得椭圆半焦距，结合离心率可解；
（2）由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，设直线方程，联立椭圆方程消元，利用韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，化简，由基本不等式可得.
【小问1详解】
由题意可得，抛物线的焦点为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆的半焦距 SKIPIF 1 < 0 ，又椭圆的离心率 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以椭圆 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
化简整理得 SKIPIF 1 < 0 ①，
设直线PQ为 SKIPIF 1 < 0 ，联立直线与椭圆方程 SKIPIF 1 < 0
化简整理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ②，
由韦达定理，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ③，
将 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 代入①，
可得 SKIPIF 1 < 0 ④，
再将③代入④，可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴PQ的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
且由②可得， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由点 SKIPIF 1 < 0 到直线PQ距离 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 面积S最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
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