广西百色市2025-2026学年高二上学期期末教学质量调研测试数学试卷含解析（word版）

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（试卷满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知数列为等差数列，首项，公差，则的值为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
2. 椭圆的短轴长为（ ）
A. 6B. 10C. 12D. 20
3 已知，则（ ）
A. 3B. 2C. D.
4. 双曲线的顶点坐标是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 已知数列为等比数列，首项，公比，前n项和，则n=（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
6. 已知直线和圆，则直线和圆的位置关系为（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
7. 在平面中，，，则平面的一个法向量（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 在长方体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列式子正确的有（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知椭圆C：的两个焦点为，，P为C上不与，共线的点，则下列说法正确的是（ ）
A. 椭圆的焦距为1B. 椭圆的离心率为
C. 的周长为8D. 的最大值为9
11. 已知数列满足，其前n项和为，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列是单调递减数列B. 中的最大项只有
C D.
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知抛物线经过点，则抛物线的标准方程为_______.
13. 已知数列前n项和，则数列的通项公式为______.
14. 已知点，若的夹角为锐角，则的取值范围为___________．
四、解答题：（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知直线：，：，其中m为实数.
（1）当，求实数m的值.
（2）当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
16. 已知等差数列的公差，若，且，，成等比数列.
（1）求数列通项公式及前n项和；
（2）令，求数列的前n项和.
17. 如图，直三棱柱中，，，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
18. 如图，这是某圆弧形山体隧道的示意图，其中底面的长为16米，最大高度的长为4米，以C为坐标原点，所在的直线为x轴建立平面直角坐标系.
（1）求该圆弧所在圆的方程.
（2）若某种汽车宽约为2.5米，高约为1.5米，车辆行驶时两车的间距要求不小于0.5米以保证安全，同时车顶不能与隧道有剐蹭，则该隧道最多可以并排通过多少辆该种汽车？（将汽车看作长方体）
参考数据：
19. 已知点是椭圆C：上的一点，且椭圆的长轴长是短轴长的倍.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点P在椭圆C上，点A关于坐标原点的对称点为点B，直线和的斜率都存在且不为0，试问直线和的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；
（3）斜率为的直线l交椭圆C于，两点，求△面积的最大值，并求此时直线l的方程.