甘肃白银市靖远县联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（含解析）

这是一份甘肃白银市靖远县联考2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了 将一枚质地均匀的正方体骰子， 若复数，则等内容，欢迎下载使用。
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【详解】在复平面内对应的点为，位于第二象限．
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】．
3. 若一个正n棱台共有18条棱，则（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】正棱台共有条棱，所以，解得．
4. 从1，2，3，…，20中任意选1个数，则这个数能被3整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】1，2，3，…，20中能被3整除的有3，6，9，12，15，18，共6个，所以所求概率为．
5. 已知向量，，实数x，y满足，则（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】由平面向量的坐标运算求解．
【详解】由题可得，
则解得
6. 已知的三条边长为1，5，，则最大的内角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】中边长为的边所对的角最大，设其为，
由余弦定理得，
因为，所以．
7. 如图，已知圆锥的轴截面为等边三角形，点C在底面圆O的圆周上，且为等边三角形，则与平面所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点H，则即为与平面所成的角，即可求解．
【详解】取的中点H，连接，则．
因为平面，平面，所以．
又平面，
所以平面，则即为与平面所成的角．
设，则，，，
则．
8. 将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为、、、、、）先后抛掷两次，记第一次和第二次向上的点数分别为、，设向量，，则的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由得，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由，得．
由题意可知将该枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，共有种情况，
其中满足的的情况为、、、、、
、、、、、、，共有种等可能情况，
所以所求概率为．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数，则（ ）
A. B.
C. 的虚部为D.
【答案】AD
【解析】
【详解】，A正确；，B错误；
，所以的虚部为3，C错误．
，D正确．
10. 设事件A，B是互斥事件，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【详解】对于选项A，因为，，所以，故A正确；
对于选项B，因为，，所以，故B正确；
对于选项C，事件A，B互斥，所以，故C错误；
对于选项D，事件A，B互斥，所以，故D正确.
11. （多选题）如图1，在直角梯形中，，，，，，在上，E，H均在上，.将矩形沿翻折至四边形的位置，将沿直线翻折至的位置，如图2所示，连接，，，且，在上，则（ ）
A. 平面平面B. 的最小值为
C. 几何体共有8个面D. 几何体外接球的半径为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于选项A，根据翻折前后，位于同一平面内的位置关系不变，可知，，利用面面垂直的判定判断；对于选项B，将平面与平面展开至同一平面，问题转化为求的长；对于选项C，观察图形可判断；对于选项D，将原图形补成长方体，长方体的体对角线长即为外接球的直径.
【详解】几何体共有7个面，C错误；
因为四边形为矩形，所以，，翻折后，，因为，所以平面，
因为平面，所以平面平面，A正确；
因为，，，
所以，所以，则，同理可证，
可将几何体补全为长为、宽为3、高为4的长方体，
其外接球即为长方体的外接球，外接球的半径为，D正确；
连接，，将平面与平面展开至同一平面，
如图3所示，当F，K，P在同一直线上时，取得最小值.
因为，，，
所以平面，则，
在图3中过作，与的延长线交于点，
则，，
所以，B正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知圆台的底面半径分别为1和2母线长为3，则该圆台的侧面积是______.
【答案】
【解析】
【分析】套用圆台侧面积公式求解.
【详解】因为圆台的底面半径分别为1和2母线长为3，
所以圆台的侧面积.
故答案为：.
13. 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为_________．
【答案】
【解析】
【详解】设与的夹角为，则．
因为，所以，
因为，所以，则，
故与的夹角为.
14. 为了测量某大楼的高度，某社会实践小组选取与点A在同一水平面的B，C两点作为测量点，测得米，，，在C处测得楼顶D的仰角为，则该大楼的高度约为_________米．（结果精确到整数）
【答案】85
【解析】
【详解】，
在中，由正弦定理得，
所以，得,
解得米，
因为在C处测得楼顶D的仰角为45°，所以，
则米，故该大楼的高度AD约为85米．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在平行四边形中，，．
（1）用向量，表示，；
（2）若，且B，P，E三点共线，求x的值．
【答案】（1），
（2）6
【解析】
【分析】（1）应用向量加减、数乘的几何意义，用，表示出，；
（2）由题意，设，，结合（1）及平面向量的基本定理列方程求参数值.
【小问1详解】
由，且；
【小问2详解】
因为B，P，E三点共线，可设，，
由（1）可得，
因为，所以，解得，故x的值为6.
16. 如图，在正三棱柱中，，D，E，F分别是，，的中点．
（1）证明：平面．
（2）证明：平面．
（3）求异面直线与所成角的大小．
【答案】（1）证明：连接BD．
因为E，F分别是CD，BC的中点，所以EF是的中位线，所以．
因为平面，平面，所以平面．
（2）证明：根据正三棱柱的性质可得平面．
因为平面，所以．
因为为等边三角形，所以．
因为，平面，面，
所以平面．
（3）．
【解析】
【分析】（1）连接BD，由中位线得到，再根据线面平行的判定定理即可证得平面；
（2）利用正三棱柱的性质结合线面垂直的性质得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理得到线面垂直；
（3）先确定异面直线EF与所成的角即为（或其补角），再根据（2）得，利用勾股定理计算得到，进而求得即可求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
由（1）得，所以异面直线EF与所成的角即为（或其补角）．
因为平面，所以由（2）可得．
因为，所以，，，
则，所以是以D为顶点的等腰直角三角形，
所以，即异面直线EF与所成的角为．
17. 某停车场实行每日按停车时长累计收费，规则如下表所示，其中不足1小时按1小时计费．
已知甲、乙两人每日停车时长均不超过4小时，且两人停车时长相互独立，每人每日停车费用为0元、6元、12元的概率分别为，，．
（1）求某日甲、乙两人至少有一人停车时长超过2小时的概率；
（2）求某日甲、乙两人停车费用之和为24元的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意求得甲、乙当日停车时长未超过2小时的概率均为，进而利用独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可；
（2）利用独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求解即可.
【小问1详解】
根据题意可得甲、乙当日停车时长未超过2小时的概率均为，
则甲、乙两人当日停车时长均未超过2小时的概率为，
所以甲、乙两人当日至少有一人停车时长超过2小时的概率为．
【小问2详解】
由题意可知，每人每日停车费用为18元的概率为．
设甲、乙两人当日停车费用之和为24元的事件为D，
甲当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为，，，，
乙当日停车费用为0元、6元、12元、18元的事件分别为，，，，
则．
因为两人停车时长是相互独立的，所以
．
18. 在锐角中，内角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，且边上的中线，求的面积；
（3）求的最小值，并指出此时的形状．
【答案】（1）；
（2）；
（3）最小值为，此时为等边三角形．
【解析】
【分析】（1）先根据正弦定理，将边化角，再结合三角恒等变换，即可求解；
（2）利用三角形的中线性质，结合三角形余弦定理，列出关于的方程组，再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）先化简原式，再结合三角函数的运算，求得最值，进而可判断三角形的形状.
【小问1详解】
因为，根据正弦定理可得，，
代入原式，可得，
又因为为锐角三角形，所以，，所以，
所以，即，所以，
又，所以，
所以，解得．
【小问2详解】
因为为的中点，所以，则，
因为，，所以，
整理得①，
又根据余弦定理，，且，
所以，即②，
由①②得③，
又因为，且，，
所以④，联立③④，解得，
所以的面积为．
【小问3详解】
由题意，，
又为的内角，所以，所以，
所以，
因为，所以
，
所以，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则，所以，
所以，所以，
所以，即的最小值为，
此时，即，解得，
又，所以，所以为等边三角形．
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，，，E为的中点，F为上靠近点P的三等分点．
（1）设平面平面，证明：．
（2）作出平面与棱的交点，并说明作法与理由．
（3）当时，作出二面角的平面角，并求二面角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明：因为底面ABCD是平行四边形，所以．
因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB．
因为平面PCD，平面平面，所以．
（2）解：设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．
因为F为PD上靠近点P的三等分点，
所以F为PM的中点，所以．
因为平面AMO，平面AMO，所以平面AMO．
同理可证平面AMO．
因为，所以平面平面AMO．
因为平面平面，平面平面，所以．
因为F为PM的中点，所以H为PC的中点．
（3）
【解析】
【分析】（1）运用线面平行的判定定理和性质定理即可得证；
（2）取PC的中点，则即为平面与棱的交点.设平面BEF与PC交于点H，连接FH，BH．连接AC交BD于点O，取FD的中点M，连接OM，MC，AM．通过证明平面AMO、平面AMO证得平面平面AMO，再根据面面平行的性质得到，结合F为PM的中点，即可得证；
（3）过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，证得为二面角的平面角.根据题设条件，运用等面积法、相似等平面几何知识得到，令，，得到，利用该函数的单调性求值域即得.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
略
【小问3详解】
过点D作，垂足为N，过点N作，垂足为I，连接DI，
因为，，，所以平面PBC，所以．
因为，，所以平面NID，则，
所以为二面角的平面角．
在中，，
由底面是平行四边形，，得,．
由等面积法可得,
由，，
所以，．
则．
令，．
在中，则．
令，，则在上单调递增，
所以，，
所以二面角的正弦值的取值范围为．
每日停车时长/小时
合计收费标准/元
0
6
12
18