甘肃省白银市靖远县2024-2025学年高三上学期9月联考 数学试题（含解析）

这是一份甘肃省白银市靖远县2024-2025学年高三上学期9月联考 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容，已知函数的值域是，则的定义域为，已知函数下列命题正确的是等内容，欢迎下载使用。
高三数学考试
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知向量，满足，且，则（ ）
A．1B．2C．D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．D．0
5．已知等差数列的前10项和为100，且，则（ ）
A．5B．10C．15D．20
6．已知函数的值域是，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为，已知．为了将容器中的水倒出，以为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面距离桌面的高度为（ ）

A．B．C．D．
三､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．某农业研究部门有200块面积相等的玉米地，其中100块玉米地里种植新型玉米A，另100块玉米地里种植新型玉米B，得到种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量（单位：），并进行适当分组（每组为左闭右开区间），整理结果如图1所示，得到种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量（单位：），并进行适当分组（每组为左闭右开区间），整理结果如图2所示．下列结论正确的是（ ）
A．这200块玉米地中亩产量不低于420的玉米地所占比例为
B．种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的中位数大于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的中位数
C．种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的极差和种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的极差均介于30至50之间
D．种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的平均数小于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
10．已知函数下列命题正确的是（ ）
A．的值域为
B．
C．若函数在上单调递减，则的取值范围为
D．若在上单调递减，则的取值范围为
11．双纽线，也称伯努利双纽线．如图，双纽线经过原点，且上的点满足到点的距离与到点的距离之积为1，则（ ）
A．直线与只有1个公共点
B．圆与有4个公共点
C．与轴的交点坐标为
D．上的点到轴的距离的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知双曲线的左焦点为为双曲线的虚轴的一个端点，直线与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为 ．
13．若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则 ．
14．在一个盒子中有2个白球，3个红球，甲､乙两人轮流从盒子中随机地取球，甲先取，乙后取､然后甲再取，…，每次取1个，取后不放回．直到2个白球都被取出来后就停止取球，则2个白球都被乙取出的概率为 ；将球全部取出才停止取球的概率为 ．
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15．记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：．
(2)若，求．
16．如图，在棱长相等的正三棱柱中，分别为的中点．
(1)证明：平面．
(2)求平面与平面的夹角的正弦值．
17．已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为，离心率为，抛物线的焦点为．
(1)记椭圆与抛物线在第一象限的交点为，若，求抛物线的方程；
(2)过点的直线与抛物线相切于第一象限，切点为，证明：直线经过点，且为线段的中点．
18．已知函数．
(1)若是增函数，求的取值范围．
(2)若存在极大值，证明：的极大值大于0．
(3)若有2个零点，求的值．
19．已知为有穷整数数列，共有项．给定正整数，若对任意的，在中，存在，使得，表示中最大的一项，表示中最小的一项，则称为有界数列．
(1)判断是否为有界数列，判断是否为有界数列，说明理由；
(2)若共有4项，，且为单调递增数列，写出所有的，使得为有界数列；
(3)若为有界数列，证明：．
1．B
【分析】计算出集合后，结合交集运算即可得.
【详解】由可得，故．
故选：B.
2．D
【解析】由题可得，再由复数乘法计算即可.
【详解】复数z对应的点的坐标是，，
.
故选：D.
3．D
【分析】根据向量垂直得到方程，求出，进而得到.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
解得，
.
故选：D
4．A
【分析】借助，并利用将弦化切后可得的值，再利用二倍角公式计算即可得.
【详解】因为，所以，
即，则，
解得（舍去），故．
故选：A.
5．C
【分析】利用等差中项可知，根据等差数列求和公式运算求解.
【详解】因为为等差数列，则，即，
又因为，
可得，所以．
故选：C.
6．A
【分析】结合指数函数的单调性计算即可得.
【详解】因为的值域是，所以，解得．
故选：A.
7．B
【分析】首先根据已知条件得到与的图象均关于直线对称，从而得到，，即可得到答案.
【详解】因为均为偶函数，
所以与的图象均关于直线对称，
所以，
即，.
所以的最小值为2．
故选：B
8．B
【分析】由正方体的结构特征，结合棱柱的体积公式及未盛水的部分体积不变列方程，求解可得答案.
【详解】如图，平面与水面的夹角为，
则平面与水平桌面的夹角为．
由题意可得三棱柱的体积为4，
所以，解得，
所以．
水面距离桌面的高度为．
故选：B.

9．ACD
【分析】结合频率分布直方图的性质及中位数、极差与平均数定义逐项计算并判断即可得.
【详解】对A：，，
即种植新型玉米A的各块玉米地中亩产量不低于420的玉米地所占比例为，
种植新型玉米B的各块玉米地中亩产量不低于420的玉米地所占比例为，
则这200块玉米地中亩产量不低于420的玉米地所占比例为，故A正确；
对B：由，，
，，
故种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的中位数介于420至430之间，
种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的中位数介于430至440之间，
种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的中位数，
小于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的中位数，故B错误．
对C：由，，，，
种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的极差，
种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的极差均介于30至50之间，故C正确．
对D：，
，
故种植新型玉米A的各块玉米地的亩产量的平均数，
小于种植新型玉米B的各块玉米地的亩产量的平均数，故D正确．
故选：ACD.
10．BCD
【分析】由已知结合二次函数及分段函数的值域可判断AB；由二次函数的性质可判断C；由分段函数的单调性可判断D，则可得出结果.
【详解】当时，，
当时，，
所以，B正确，A错误．
若函数在上单调递减，则的取值范围为，C正确．
若在R上单调递减，则，解得的取值范围为，D正确．
故选：BCD.
11．ACD
【分析】根据给定条件，求出曲线的方程，再逐项分析判断即可.
【详解】设曲线上的动点，则，
化简得，令，解得或，
因此双纽线与轴的交点坐标为，，C正确；
由，解得，因此直线与只有1个公共点，A正确；
由，解得或，因此圆与有2个公共点，B错误；
由，得，则，
令，则，
因此，当且仅当时取等号，即上的点到轴的距离的最大值为，D正确.
故选：ACD
12．
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再结合中位线的性质求出离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为为坐标原点，由，得是的中点，
在中，为中位线，则，即轴，不妨设点在第一象限，
由，解得，，，
所以.
故答案为：
13．
【分析】求导，根据在原点处的切线方程为，进而根据公切线满足的数量关系得的切点为，将其代入即可求解.
【详解】由得，所以曲线在原点处的切线
为．
由得，设切线与曲线相切的切点为．
由两曲线有公切线得，解得，则切点为．
因为切点在切线上，所以．
故答案为：
14． ## ##
【分析】结合题意可得第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，计算其概率即可得空一；分取出白球的情况及其对应概率，再求概率之和即可得空二.
【详解】若2个白球都被乙取出，则第一次甲取出红球，第二次乙取出白球，第三次甲取出红球，第四次乙取出白球，结束取球，其概率为．
若将球全部取出才停止取球，则最后一次即第5次取出的一定是白球．
四种情况：
①第1次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
②第2次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
③第3次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
④第4次和第5次取出的是白球，另外3次取出的是红球，
其概率为；
故所求概率为．
故答案为：；.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意结合正弦的和差公式得，由三角函数值相等可得或，结合题意即可证明；
（2）由（1）得，即，结合余弦定理可得，继而即可求解.
【详解】（1）证明：因为，
所以，
即，
所以或，
所以或．
因为，所以舍去．
综上，．
（2）由正弦定理可得，即，
，化简得．
因为
，
所以，且，
解得（舍去）．
故．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据三角形中位线的性质可得，即可求证四边形为平行四边形，得，结合线面平行的判定即可求证，
（2）建立空间直角坐标系，求解平面的法向量，，即可利用法向量的夹角求解.
【详解】（1）证明：在分别为的中点，
所以．
因为为的中点，所以．
在三棱柱中，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面平面，所以平面．
（2）记的中点为，以为坐标原点，的方向分别为
轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
不妨设正三棱柱所有的棱长均为4，
则点．
设平面的法向量为，
则取，则．
设平面的法向量为，
则取，则．
设平面与平面的夹角为，
，
故,
故平面与平面的夹角的正弦值为．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）联立抛物线与椭圆方程可得,进而根据抛物线的焦半径公式可得，即可根据椭圆定义求解，
（2）联立直线与抛物线方程，根据判别式为0，解得斜率为1，进而根据的斜率得直线经过点，根据向量的坐标相等可证线段相等，即可求证中点关系.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，所以抛物线．
因为离心率为，所以，即．
联立得，
解得舍去，
所以．
因为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为．
（2）证明：由题意可知直线有斜率，
设直线，
联立得①．
令，解得（舍去）．
直线的斜率为，与直线的斜率相等，
所以直线与直线重合，直线经过点．
将代入①，解得．
将代入直线的方程可得，所以，
所以，所以为线段的中点．
综上，直线经过点，且为线段的中点．
18．(1)；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）求出函数的导函数，再利用导数求出恒成立的值范围.
（2）结合（1）分类讨论，确定极大值点所在区间，再利用单调性推理得证.
（3）由（1）（2）确定函数的单调递增区间，单调递减区间及所在区间，利用导数结合零点存在性定理证得上函数的一个零点，再探究是函数的另一零点即得结果.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
令，函数在上递增，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
则，由是增函数，得恒成立，
即，解得，所以的取值范围为.
（2）当时，是增函数，没有极大值，当时，，
若存在极大值，则在上存在零点，
由，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
，
所以，若函数存在极大值，则的极大值大于0.
（3）当时，是增函数，不可能有2个零点；
当时，，
令函数，则，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，
即，于是，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而，因此在上有1个零点，
，
令函数，则，
令函数，则．
函数是减函数，则，在上单调递增，
则，即当时，，则在上单调递减，
，因此，
要使得有2个零点，则，即，
因为，则（舍去），，
综上的值为.
【点睛】关键点睛：导数问题往往涉及到分类讨论，分类讨论标准的确定是关键，一般依据导数是否有零点、零点存在时零点是否在给定的范围内及零点在给定范围内时两个零点的大小关系来分层讨论.
19．(1)为有界数列，不是有界数列；理由见解析
(2)的值为或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据有界数列定义判断即可；
（2）由题意得的值只有6种情况，分别为，即从中任取2项的差值的绝对值分别对应．从而可得，再由，可得可能的值为，根据有界数列定义逐一分析即可求解；
（3）由题意得，的值最少有10种情况，由，解得舍去．当时，，所以．根据有界数列定义分析可得，当时，不可能为有界数列，当时，存在为10—有界数列，即可得证.
【详解】（1），，
，
所以为有界数列．
不存在，使得，
所以不是有界数列．
（2）因为为6—有界数列，
所以的值最少有6种情况．
因为共有4项，从中任取2项，共种取法，
所以的值只有6种情况，分别为，
即从中任取2项的差值的绝对值分别对应．
若，则，与从中任取2项的差值的绝对值分别对应矛盾；
若，则，从中任取2项的差值的绝对值取不到6，
所以．
①当时，若，不符合题意；
若，不符合题意；
若，符合题意；
若，不符合题意．
②当时，若，不符合题意；
若，不符合题意；
若，符合题意．
③当或5时，经检验，都不符合题意．
经验证，数列和数列均为6—有界数列．
综上，的值为或．
（3）证明：因为为10-有界数列，所以，的值最少有10种情况，
所以，解得舍去．
当时，，要使得为有界数列，
则从中任取2项的差值的绝对值分别对应．
因为为整数数列，且有界数列研究的是连续项中最大值与最小值的差值，
所以不妨设，且为单调递增数列．
因为，所以．
要使得中有2项的差值为9，不妨取．
要使得中有2项的差值为8，可取，即．
（若取或4，会使得，若取，会使得，均不满足题意）
剩下无论取何值，都无法满足从中任取2项的差值的绝对值分别对应1，，
所以当时，不可能为有界数列，
当时，存在为10—有界数列，如．
易得，当时，存在，使得为有界数列．
综上，若为有界数列，则．
【点睛】方法点睛：本题考查数列与计数原理，考查逻辑推理的核心素养．
解答与数列有关的新定义问题的策略：
（1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.
（2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决.
（3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢.