北京市通州区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷（含解析）

这是一份北京市通州区2025-2026学年七年级下学期期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效，作图一律用 2B 铅笔或黑色签字笔．
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】以“左边为多项式，右边为几个整式的积”为判定标准逐一判断即可．
【详解】解：A．左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解，不符合题意；
B．左边是多项式，右边是整式的积的形式，属于因式分解，符合题意；
C．变形是从整式的积得到多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合题意；
D．右边是和的形式，不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合题意．
2. 2026年4月20日，通州区300多名中小学生走进城市绿心公园，开展“行走绿心画说节气”的主题实践活动．某校随机抽取了10名参加活动的学生进行知识问答，成绩绘制成如图所示的统计图，那么参加学生成绩的众数是（ ）
A. 90B. C. 95D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根据众数的定义解答即可．
【详解】解：根据题意得：成绩为95分的人数最多，
∴参加学生成绩的众数是95分．
3. 如图，，，点B，O，D在同一条直线上，那么的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出，则可得的度数，再根据邻补角互补求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
4. 将下列多项式因式分解，结果中不含有因式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】A选项：，含因式，故A不符合题意；
B选项：，含因式，故B不符合题意；
C选项：，不含因式，故C符合题意；
D选项：，含因式，故D不符合题意．
5. 在解关于x，y的二元一次方程组时，如果可直接消去未知数y，那么m和n满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】两方程相加消去未知数，需的系数之和为0．
【详解】解：得，
∵可直接消去未知数，
∴．
6. 如图，在下列给出的条件中，能直接判定的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定条件，识别截线与被截直线，逐一判断各选项中的角是否满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补．
【详解】解：A、与不是直线、被第三条直线所截形成的角，无法判定，故该选项不符合题意；
B、，且 与 是直线、被直线所截形成的内错角，能判定，故该选项符合题意；
C、，且 与是直线、被直线所截形成的同位角，只能判定，无法判定，故该选项不符合题意；
D、与 不是直线、被第三条直线所截形成的同旁内角，无法判定，故该选项不符合题意．
7. 已知，，，现给出之间的四个关系式：①；②；③；④．其中正确的关系式是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】D
【解析】
【分析】利用同底数幂乘法与除法的逆用运算将幂的关系转化为指数的关系，再逐一验证各关系式即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，即，，则③正确；
∴，则②正确；
∴，
∴，则④正确；
∵，，
∴，即，则①错误；
综上，正确的关系式是②③④．
8. 当时，对于x的每一个值，的值都小于的值，那么m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简不等式得到，再根据 “时恒成立”，推出，解不等式即可．
【详解】解：根据题意得，
化简得，
∵时，的值都小于的值，
∴， 解得．
二、填空题 每小题2分，共16分．
9. 计算的正确结果是______．
【答案】##
【解析】
【详解】解：．
10. 已知直线，相交于点如果，那么的度数是______ ．
【答案】##47度
【解析】
【分析】直线，相交于点，与是对顶角，利用对顶角相等即可求出结果．
【详解】解：∵直线，相交于点，
∴与是对顶角，
∵对顶角相等，且，
∴．
11. 已知，那么的值是______．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵，
∴．
12. 如果能说明命题“若，则”是一个假命题，那么c的值可以是______ ．
【答案】（答案不唯一，任意负数均可）
【解析】
【分析】要说明该命题是假命题，只需举出满足但不满足的反例，当为负数时，原命题结论不成立。
【详解】解：，
，不满足原命题的结论，
因此任取一个负数作为即可，如．
13. 某班7个兴趣小组的人数分别为：4，3，5，3，6，x，5，已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是______．
【答案】
4
【解析】
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再将数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即可得到中位数．
【详解】解：∵这组数据的平均数是4，且共有7个数据，
∴这组数据的总和为，
则，
将这组数据按从小到大的顺序排列为：，
共个数据，最中间的数为第个数，即．
14. 已知关于x，y的方程组，那么______ （用只含x的代数式表示）．
【答案】##
【解析】
【分析】消去参数，从第一个方程解出后代入第二个方程，整理得到关于的代数式．
【详解】解：，
由①得：，
把代入②得：，
移项整理得：．
15. 已知，那么代数式的值是______ ．
【答案】
【解析】
【分析】利用平方差公式变形代数式，再整体代入已知条件计算即可．
【详解】解： ∵，
∴
．
16. 小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停车时间不超过24小时．甲停车场收费标准是：
乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）．
若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为______ 小时．
【答案】
【解析】
【分析】按甲停车场的收费分段逐一讨论，计算乙停车场的收费是否满足更优惠的条件，找到最大停车时间．
【详解】解：设小林停车时长为小时，，乙停车场按规则收费，要求乙停车费小于甲停车费，分类讨论如下：
当时，甲收费元，乙收费最少为元，，不符合要求；
当时，甲收费元，要求乙收费，可得乙最多按小时收费，对应，本区间符合条件的最大；
当时，甲收费元，要求乙收费，可得乙最多按小时收费，对应，本区间符合条件的最大；
当 时，甲收费元，要求乙收费，可得乙最多按小时收费，对应，本区间符合条件的最大；
当时，甲收费元，要求乙收费，可得乙最多按小时收费，对应，与本区间矛盾，本区间无符合条件的；
当 时，甲收费元，要求乙收费，可得乙最多按小时收费，对应，与本区间矛盾，本区间无符合条件的；
综上，小林停车时间最长为小时．
三、计算题：本大题共5小题，共27分．
17. 计算：．
【答案】9
【解析】
【分析】分别计算零指数幂，乘方，绝对值，负整数指数幂，再合并计算结果．
【详解】解：原式
．
18. 解方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】利用加减消元法消去，求出的值，再代入原方程求出的值．
【详解】解：得：，
得：，
得：
解得，
将代入①得：
解得，
∴原方程组的解为．
19. 先化简再求值：，其中．
【答案】
化简结果为，值为
【解析】
【详解】解：
，
将代入，得，
∴化简结果为，值为．
20. 列方程组解应用题：
2026年5月11日凌晨，伦敦世乒赛落下帷幕，中国女队成功卫冕考比伦杯，实现世乒赛团体七连冠，男队成功卫冕斯韦思林杯，实现世乒赛团体十二连冠，两队共同捍卫了国乒荣耀．如图，斯韦思林杯每层底座高度都相等，底座下面的垫台高与一层底座高之比为，杯身高比6层底座高多，垫台高与杯身高之和是，求这届斯韦思林杯的总高度．

【答案】
【解析】
【分析】设垫台高为，则一层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，根据题意列出方程组并解方程组得到的值，即可求出斯韦思林杯的总高度．
【详解】解：设垫台高为，则每层底座高为，则6层底座高为，杯身高为，
根据题意可得，
解得，
则这届斯韦思林杯的总高度为．
21. 近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，这两种充电桩每个充电桩的占地面积分别为和，已知新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元．若该小区计划用不超过万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过，则共有几种建造方案？请列出所有方案．
【答案】共有2种建造方案，分别为：方案1：新建地上充电桩17个，地下充电桩43个；
方案2：新建地上充电桩18个，地下充电桩42个．
【解析】
【分析】设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，根据充电桩的总费用不超过万元，所有充电桩总占地面积不超过，列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：设新建个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为个，
由题意得：，
解得，
∴整数m的值为17，18，
∴共有2种建造方案，分别为：
方案1：新建地上充电桩17个，地下充电桩43个；
方案2：新建地上充电桩18个，地下充电桩42个．
四、解答题：本题共6小题，共41分．
22. 如图，在四边形中，点在线段上，射线与延长线交于点，若，．求证：．
证明：
（___________）
___________（___________）
（___________）
（___________）
【答案】对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，进行解答，即可．
【详解】证明：∵，
（对顶角相等），
∴，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等），
∵，
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
23. 如图，在中，，，点，分别为边，上的点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由余角的性质推出，得到，判定．
【详解】证明：∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 2026年5月1日，通州六环高线公园暨“京华福满园（福园）”正式开放，该园结合社交媒体游客评价与实地反馈，从环境、设施、文化、服务、交通五大维度综合评估游客满意度，为公园后续运营优化提供依据．某社团为了解本校学生对通州高线公园的满意程度，现从本校有相关游览经历的小学生和初中生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用x表示，共分成四组：A．，B．，C．，D． ），下面给出了部分信息：
小学20名学生的评分为：
70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100．
初中20名学生的评分在D组的数据是：
91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，99，100，
小学、初中抽取的学生评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中，______，______，______．
（2）根据以上数据分析，你认为该校小学、初中哪个学段的学生更喜欢通州高线公园？请说明理由（写出一条理由即可）．
（3）该校小学、初中共有800名学生，请估计该校非常喜欢（）通州高线公园的学生人数．
【答案】（1）100；92.5；4
（2）小学的学生更喜欢通州高线公园，
理由：小学评分的中位数为93分，高于初中的中位数92.5分，说明小学有一半以上的学生评分不低于93分，整体满意度更高；（或：小学众数为100分，高于初中众数99分，小学高分段人数更多等，合理即可）
（3）名
【解析】
【分析】（1）根据众数、中位数的定义以及频数分布直方图分析即可；
（2）可以从众数和中位数的角度分析即可；
（3）用样本估计总体的方法求解．
【小问1详解】
解：小学数据中100出现的次数最多，故众数；
初中D组数据有13个，则，那么中位数是第10、11个数据的平均数，而，故中位数在D组，即为92，93的平均数，
所以；
【小问2详解】
略
【小问3详解】
解：
答：该校非常喜欢（）通州高线公园的学生人数为名．
25. 配方是数学中重要的一种方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合平方的非负性来解决一些问题．
例如，把二次三项式进行配方．
解：．
（1）在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______；
（2）若多项式，，试比较A，B的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式解答即可；
（2）先计算多项式，，再利用完全平方公式进行配方求出与0的大小关系，由此即可得．
【小问1详解】
解：∵，
∴在横线上添加的常数项是9．
【小问2详解】
解：∵
，
，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴．
26. 如图，M为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题：
（1）若，，过点B在内部画射线，使（如图）．请判断与的位置关系并说明理由；
（2）是上的一点，过点E作（如图），求的度数（用含和的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，过点E作射线，若，，直接写出的度数．
【答案】（1），理由如下：
如图：
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）过点作，则可得，然后得到，，再由角度和差计算求解；
（3）先根据（2）的结论可得，则，再由垂线的定义得到，最后分两种情况画图求解即可．
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解：过点作，
∵
∴
∴，，
∵
∴，即；
【小问3详解】
解：∵，
∴由（2）可得
∴，
∵
∴
情况一：当在上方时，
∴；
情况二：当在下方时，
∴，
综上：的度数为或．
27. 给出定义：已知关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且），若将该方程中y的系数b与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“组本方程”，例如方程的“组本方程”为．
（1）写出的“组本方程”是______，由该方程和其“组本方程”组成的方程组的解是______；
（2）若关于x，y的二元一次方程（a，b，c为常数，，且）的系数满足．
①求该方程与其“组本方程”组成的方程组的解；
②若①中方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值．
【答案】（1）；
（2）①；②2027
【解析】
【分析】（1）根据“组本方程”定义写出对应方程，再用加减消元法解方程组；
（2）①利用加减消元法结合的条件推导方程组的解；
②将方程组的解代入方程得到m与n的数量关系，整体代入代数式求值．
【小问1详解】
解：∵原方程为，
根据“组本方程”定义，互换y的系数与常数项，
∴组本方程为；
联立得方程组，解得：．
【小问2详解】
解：①原方程与其组本方程组成的方程组为，
由得：，
∵，
∴，
∴，
将代入①，得，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴方程组的解为；
②将代入，
得，即，
∴，
∵，
∴，
∴原式．
停车时长t（单位：小时）
收费标准（单位：元）
免费
5
10
15
18
24
学段
平均数
中位数
众数
小学
93
a
初中
b
99