苏教版数学四年级上册第一单元_知识梳理与易错精讲

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第三单元 除数是两位数的除法 · 知识梳理与易错精讲单 元 知 识 梳 理一、学习目标1. 能熟练口算整十数除法，理解去零法的算理2. 掌握试商方法，能根据余数与除数的关系正确调商3. 能正确笔算除数是两位数的除法，会判断商的位数4. 能从实际问题中找出有联系的条件，用连除或分步计算解决两步实际问题二、重点• 整十数除法的口算方法• 四舍五入法试商与调商• 笔算法则与商的位数判断• 连除问题的两种解题路径三、难点• 调商的原理——余数与除数的大小关系• 商是两位数时竖式的分步计算• 从多条件中找出关联条件分析数量关系学习支架整十数除法 vs 试商法试商—检验—调商流程第一步：把除数四舍或五入看作整十数2. 第二步：用整十数试商3. 第三步：用试得的商乘原来的除数4. 第四步：检查余数是否比除数小5.第五步：余数≥除数→商调大；不够减→商调小四、知识要点1. 整十数除法的口算方法计算整十数除法时，可以把被除数和除数末尾的0同时去掉，转化为表内除法来计算。例如60÷20：60是6个十，20是2个十，6÷2=3，所以60÷20=3。这和6除以2等于3的道理完全一样——只是计数单位从「一」变成了「十」。去零法的本质是商不变性质：被除数和除数同时除以相同的数（这里是10），商不变。所以80÷40可以直接看成8÷4=2；90÷30看成9÷3=3。注意：去零法只适用于被除数和除数末尾都有0的情况。如果除数不是整十数（如24），就不能直接去零。2. 用乘法验证除法除法和乘法是互逆运算。算完除法后，可以用「除数×商＝被除数」来检验结果是否正确。例如算出60÷20=3后，验算：20×3=60，与被除数一致，答案正确。有余数时，验算方法是「除数×商＋余数＝被除数」。例如160÷30=5……10，验算：30×5+10=150+10=160，正确。养成验算的习惯，可以在考试和练习中及时发现计算错误。3. 有余数的整十数除法当被除数不是除数的整倍数时，除法会出现余数。例如160÷30：16个十除以3个十，16÷3=5余1，即5个30是150，还剩10。所以160÷30=5……10。关键规则：余数必须比除数小。这里余数10小于除数30，满足条件。如果余数大于或等于除数，说明商小了，需要调大。这是后面学习调商的重要基础。4. 整十数除法的竖式列竖式时，除数写在除号外面，被除数写在除号里面。从被除数的高位除起，先看前两位够不够除。例如160÷30：先看前两位16，16不够除以30（不够商1），所以看前三位160。160里面最多有5个30，商5写在个位上。5×30=150，160-150=10，余数是10。商为什么写在个位上？因为我们用的是160（不是16个百），160÷30得到的商表示的是个位上有5个完整的30。竖式书写要注意：商与被除数的个位对齐，每次乘积写在对应位置，余数写在最下面。5. 四舍法试商当除数不是整十数时，可以先把它看作接近的整十数来试商。如果除数个位是1、2、3、4，用「四舍」法把它看成较小的整十数。例如96÷24：把24看作20来试商。20×4=80，20×5=100>96，所以试商4。再用原来的除数验算：24×4=96，刚好整除。商4正确。重要提醒：四舍法把除数看小了，试出的商往往偏大。如果试商后发现商与原来除数的乘积大于被除数（不够减），说明商大了，需要调小。6. 五入法试商如果除数个位是5、6、7、8、9，用「五入」法把它看成较大的整十数来试商。例如196÷28：把28看作30来试商。30×6=180，30×7=210>196，所以试商6。验算：28×6=168，196-168=28，余数28等于除数28！说明商6小了，要调大成7。验算：28×7=196，刚好整除。五入法把除数看大了，试出的商往往偏小。如果试商后发现余数大于或等于除数，说明商小了，需要调大。7. 调商的判断依据试商之后必须检验。检验方法是：用试得的商乘原来的除数（不是看成的整十数），看积与被除数的关系。调商的两种情况：（1）商×除数＞被除数：说明商大了，要调小1（或更多）。（2）余数≥除数：说明商小了，要调大1（或更多）。（3）余数＜除数：商正确。调商不是随意的猜测，而是根据余数与除数的大小关系做出判断。这是除法计算中最核心的检验意识。每次试商后都要养成「一乘二减三比较」的习惯。8. 笔算除数是两位数的除法法则完整的笔算法则可以概括为三步：第一步——看：从被除数的高位看起，先看前两位。如果前两位够除（≥除数），商就写在十位上；如果前两位不够除（＜除数），就看前三位，商写在个位上。第二步——除：用试商的方法确定每一位上的商。每次试商后要用商乘原来的除数，再做减法得到余数。第三步——查：每次得到的余数必须比除数小。除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面。整个过程要耐心、有序，每一步都写清楚，不能跳步。9. 判断商的位数在做除法之前，可以先估计商是几位数。方法是比较被除数的前两位与除数的大小：（1）被除数的前两位≥除数：商是两位数。例如156÷12，前两位15≥12，所以商是两位数。（2）被除数的前两位＜除数：商是一位数。例如96÷24，前两位96≥24，够除——等一下，这里的判断要小心：96是两位数，除数24也是两位数，96÷24的商是一位数（96÷24=4）。商的位数判断规则适用于三位数÷两位数：三位数÷两位数：• 前两位≥除数 → 商是两位数• 前两位＜除数 → 商是一位数判断后可以用这个结论检验竖式计算的结果是否合理。10. 连除应用题的数量关系有些实际问题需要连续两次除法才能解决，这类问题叫连除问题。例如：2个书架一共放了224本书，每个书架有4层，平均每层放多少本？方法一（先求每个书架多少本）：224÷2=112（本），再求每层多少本：112÷4=28（本）。综合算式：224÷2÷4=28（本）。方法二（先求一共有多少层）：2×4=8（层），再求每层多少本：224÷8=28（本）。综合算式：224÷(2×4)=28（本）。两种方法结果相同，说明它们从不同角度分析了同一个数量关系。关键是找出有联系的条件，确定先算什么。11. 分析条件的两种路径解决连除问题的关键是分析条件之间的联系。面对多个条件时，可以从问题出发倒推，也可以从条件出发顺推：从问题出发：要求「平均每层多少本」，需要知道总书数和总层数（或每个书架的书数和每个书架的层数）。再回到题目条件找对应的已知量。从条件出发：看到「224本」和「2个书架」，可以先算出每个书架112本；再看到「4层」和「112本」，可以算出每层28本。检验方法：用一种方法算出的结果，代入另一种方法验证。两种方法答案一致，说明计算正确。连除问题还可以用乘法逆向检验：每层28本×4层×2个书架=224本，正好是总书数。易错汇总易错点 1【错因】误以为去掉0后要在商的末尾添0，混淆了去零法和乘法中添0的规则【自检方法】用乘法验算：20×3=60，20×30=600≠60，立刻发现错误易错点 2【错因】没有正确判断「前两位够不够除」，错误地将商的位置左移【自检方法】商的位数检验：160÷30的商应该是一位数（因为前两位16＜30），如果商写在十位上就变成了两位数，矛盾易错点 3【错因】四舍法把除数看小，试出的商容易偏大；学生忘记用原来的除数验算【自检方法】养成「一乘二减三比较」习惯：试商后先乘原来的除数，再看积是否超过被除数易错点 4【错因】没有检查余数是否比除数小，不知道「余数≥除数」意味着商偏小【自检方法】每次做完减法后，把余数与除数比较：余数＜除数才对，否则调商易错点 5【错因】判断商的位数时，错误地用被除数的第一位与除数比较，而不是用前两位【自检方法】记住规则：三位数÷两位数，比较被除数的前两位和除数。前两位≥除数→商是两位数；前两位＜除数→商是一位数易错点 6【错因】只完成了计算步骤，缺少「余数与除数比较」这一检验环节【自检方法】做完除法后最后一步永远是：余数＜除数吗？如果不是，必须调商易错点 7【错因】没有分析条件之间的对应关系，看到数字就随意组合运算【自检方法】列式后用另一种方法验算，两种路径结果一致说明条件配对正确五、易错精讲【例1】口算：(1) 80÷40=？(2) 150÷50=？(3) 240÷30=？分别说出口算思路。【解题思路】三道题都可以用去零法，把被除数和除数末尾的0同时去掉，转化为表内除法。【解答】(1) 80÷40：8÷4=2，所以80÷40=2。(2) 150÷50：15÷5=3，所以150÷50=3。(3) 240÷30：24÷3=8，所以240÷30=8。验算：40×2=80 ✓，50×3=150 ✓，30×8=240 ✓【易错点】去零后不要忘记验算。特别是像150÷50=3（不是30），学生容易在商后面多加0。【例2】计算 96÷24，写出完整的试商和验算过程。【解题思路】除数24个位是4，用四舍法看作20来试商。然后用原来的除数24验算。【解答】把24看作20来试商。20×4=80，20×5=100＞96，所以试商4。验算：24×4=96，96-96=0，余数为0。所以96÷24=4。如果试商为5：24×5=120＞96，不够减，说明商5大了，要调小为4。【易错点】四舍法把除数看小了，试出的商可能偏大。必须用原来的除数（24而不是20）去乘商来验算。【例3】计算 196÷28，写出试商和调商过程。【解题思路】除数28个位是8，用五入法看作30来试商。试商后用28验算，注意检查余数。【解答】把28看作30来试商。30×6=180，30×7=210＞196，所以试商6。验算：28×6=168，196-168=28。余数28等于除数28！说明商6偏小，调大1为7。再验算：28×7=196，196-196=0。所以196÷28=7。【易错点】五入法把除数看大了，试出的商容易偏小。学生常见错误是看到余数28就直接写了答案，忘记检查余数是否比除数小。【例4】不计算，先判断下面各题的商是几位数，再计算验证。(1) 312÷26 (2) 84÷14 (3) 576÷32【解题思路】三位数÷两位数：比较被除数前两位与除数的大小关系。前两位≥除数→商是两位数；前两位＜除数→商是一位数。【解答】(1) 312÷26：前两位31≥26，商是两位数。计算：312÷26=12。验算：26×12=312 ✓(2) 84÷14：被除数是两位数，直接看：84÷14=6，商是一位数。(3) 576÷32：前两位57≥32，商是两位数。计算：576÷32=18。验算：32×18=576 ✓【易错点】对于两位数÷两位数的情况（如84÷14），不能套用「前两位≥除数→商是两位数」的规则——被除数本身就只有两位，商只能是一位数。【例5】学校图书馆买来224本新书，放在2个书架上，每个书架有4层。平均每个书架放多少本？平均每层放多少本？【解题思路】这道题有两个问题。第一个用一步除法，第二个用连除。注意第二问有两种方法。【解答】第一问：平均每个书架放多少本？224÷2=112（本）第二问方法一：先求每个书架多少本，再求每层多少本。224÷2÷4=112÷4=28（本）第二问方法二：先求一共有多少层，再求每层多少本。224÷(2×4)=224÷8=28（本）检验：28×4×2=224本，与总书数一致。答：平均每个书架放112本，平均每层放28本。【易错点】两种方法的综合算式不同，要注意运算顺序。方法二是先算括号里的乘法再算除法：224÷(2×4)≠224÷2×4。如果把括号漏掉变成224÷2×4=112×4=448就错了。【例6】小明计算 432÷36=10……72。他的答案对吗？如果不对，指出错误并改正。【解题思路】先看余数72是否比除数36小。72＞36，显然不对。再分析错误原因。【解答】小明的答案不对。错误一：余数72比除数36大，违反了「余数必须比除数小」的规则。这说明商10偏小。分析：432÷36，前两位43≥36，商是两位数。正确计算：43÷36=1……7，把个位2落下来变成72。72÷36=2。所以432÷36=12，没有余数。验算：36×12=432 ✓小明可能是在十位商1后，直接把个位的2当成余数的一部分，没有继续除以36。【易错点】商的每一位都要除到位。十位除完余下的数要和个位合起来继续除，不能半途而废。余数比除数大就是明显的警报信号。【例7】服装厂加工一批衣服，每天加工35件，加工了12天后还剩180件。这批衣服一共有多少件？【解题思路】先算12天加工了多少件，再加上剩余的。虽然本题不需要除法，但可以用除法逆向检验。【解答】12天加工的件数：35×12=420（件）总件数：420+180=600（件）检验：用除法逆向验证。600件，每天35件：600÷35=17……5。加工17天还剩5件。题目说加工12天剩180件：600-35×12=600-420=180 ✓答：这批衣服一共有600件。【易错点】这道题表面上是乘加混合，不是除法题。但可以用除法来逆向检验总数是否正确。学生要学会灵活选用运算方法。易 错 专 练基础辨析1. 口算下列各题：80÷40、120÷60、150÷30、270÷90、200÷50、360÷402. 计算360÷40时，可以看成36÷4=9，所以360÷40=9。（　　）3. 三位数除以两位数，商一定是两位数。（　　）4. 在有余数的除法中，余数一定比除数小。（　　）5. 在算式 □÷30=5……□ 中，余数最大是（________），此时被除数是（________）。6. 用竖式计算：96÷327. 用竖式计算：160÷30，并验算。方法巩固8. 用竖式计算并验算：195÷269. 用竖式计算：414÷2310. 不计算，判断商的位数：348÷29的商是（________）位数，175÷35的商是（________）位数。11. 小华计算 252÷36 的过程如下：把36看作40试商，40×6=240，商6。36×6=216，252-216=36。他写答案是商6余36。请指出错误并改正。12. 果园收了480千克苹果，每筐装30千克。一共要装多少筐？如果每筐装25千克，至少要装多少筐？13. 一根绳子长168厘米，先对折，再对折。这时每段长多少厘米？14. 三年级有168名同学去春游，每辆车坐24人。至少要租几辆车？综合易错15. 小强家到学校有360米，他每天上学和放学都步行回家。一周（5天）上学，小强步行往返学校共走多少米？如果小强每分钟走60米，他每天上学路上花多少分钟？16. 一道除法算式中，除数是15，商是12，余数最大是多少？此时被除数是多少？17. 学校买来336本故事书，分给6个班，每班分到的书再平均分给8个小组。每个小组分到多少本故事书？18. 一辆汽车3小时行了180千米。照这样的速度，从甲地到乙地行了5小时。甲、乙两地相距多少千米？19. 用数字卡片 2、4、6、8 各一张，组成一个三位数除以一位数的算式，使商尽可能大。你能找到几种方案？最大的商是多少？20. 一箱苹果连箱重25千克。卖掉一半苹果后，连箱重14千克。这箱苹果原来有多少千克？箱子重多少千克？参 考 答 案第1题：2、2、5、3、4、9【解析】都用去零法。8÷4=2；12÷6=2；15÷3=5；27÷9=3；20÷5=4；36÷4=9。验算：40×2=80 ✓，60×2=120 ✓，30×5=150 ✓，90×3=270 ✓，50×4=200 ✓，40×9=360 ✓【易错点】去零后不要添0，直接用表内除法得出结果。第2题：√【解析】被除数和除数末尾都有一个0，同时去掉0后变成36÷4=9，商不变。验算：40×9=360 ✓【易错点】去零法的前提是被除数和除数末尾都有0，不能只去掉一个数的0。第3题：×【解析】不一定。如果被除数的前两位小于除数，商是一位数。例如120÷30=4（一位数），因为前两位12＜30。只有前两位≥除数时，商才是两位数。【易错点】不能只看被除数有几位就判断商的位数，关键是比较前两位和除数的大小。第4题：√【解析】这是有余数除法的基本规则。如果余数≥除数，说明商小了，需要继续调大。【易错点】这是判断除法计算是否正确的重要依据，每次做完都要检查。第5题：余数最大是29，被除数是179【解析】余数必须比除数30小，所以余数最大是29。被除数=除数×商+余数=30×5+29=150+29=179。验算：179÷30=5……29 ✓【易错点】余数最大=除数-1，不是等于除数。第6题：96÷32=3【解析】把32看作30试商。30×3=90，试商3。验算：32×3=96，96-96=0。所以96÷32=3。【易错点】四舍法试商后要验算，32×3=96不是30×3=90。第7题：160÷30=5……10【解析】先看前两位16，16＜30不够除，看前三位160。160里面最多有5个30，商5写在个位上。5×30=150，160-150=10，余数10＜30，正确。验算：30×5+10=160 ✓【易错点】商5要写在个位上（不是十位），因为前两位16不够除以30。第8题：195÷26=7……13【解析】把26看作30试商（个位6，用五入法）。30×6=180，试商6。验算：26×6=156，195-156=39。余数39＞26，商6偏小，调为7。26×7=182，195-182=13。余数13＜26，正确。所以195÷26=7……13。验算：26×7+13=182+13=195 ✓【易错点】五入法试商容易偏小，余数39＞26时没有调商是学生最常犯的错误。第9题：414÷23=18【解析】前两位41≥23，商是两位数。先用41÷23，把23看作20试商。20×2=40，试商1（23×1=23≤41，23×2=46＞41），商1写在十位上。41-23=18，落下个位4变成184。184÷23，把23看作20试商。20×9=180，试商9。验算：23×9=207＞184，大了，调为8：23×8=184。184-184=0。商写在个位上。所以414÷23=18。验算：23×18=414 ✓【易错点】商是两位数时，每一位都需要分别试商和验算，不能一次性估出两位。第10题：348÷29的商是两位数，175÷35的商是一位数【解析】348÷29：前两位34≥29，够除，商是两位数。175÷35：前两位17＜35，不够除，商是一位数。【易错点】比较的是被除数的前两位和除数，而不是被除数的第一位。第11题：余数36等于除数36，说明商6偏小，应调为7。36×7=252，刚好整除。正确答案：252÷36=7【解析】小华试商6后，用36×6=216，252-216=36。余数36=除数36，说明商偏小。调大为7：36×7=252，252-252=0，整除。错误原因是小华没有检查余数是否比除数小。【易错点】试商后必须做完整检验：一乘、二减、三比较（余数和除数比）。余数≥除数→调商。第12题：每筐30千克：480÷30=16筐。每筐25千克：480÷25=19……5，至少装20筐【解析】第一问用去零法：48÷3=16。第二问需要笔算：480÷25=19余5。剩下的5千克也要装一筐，所以至少要19+1=20筐。验算：25×19+5=475+5=480 ✓【易错点】第二问是「进一法」取近似值。余下的5千克不能丢掉，商要加1。这是实际问题和纯计算的不同之处。第13题：168÷2÷2=42（厘米）【解析】对折一次变成2段，再对折变成4段（2×2=4）。可以用连除：168÷2÷2=84÷2=42厘米。也可以先算段数：2×2=4段，再算每段：168÷4=42厘米。两种方法结果相同。验算：42×4=168 ✓【易错点】学生可能以为对折两次就是分成2段而不是4段。要理解「每次对折段数翻倍」。第14题：168÷24=7（辆），正好坐满【解析】把24看作20试商。20×8=160，试商8。验算：24×8=192＞168，商大了。调为7：24×7=168，刚好整除。所以至少租7辆车。验算：24×7=168 ✓【易错点】试商8后发现24×8=192＞168要调小。四舍法容易把商估大。第15题：一周共走3600米。每天上学花6分钟【解析】每天往返：360×2=720米。一周5天：720×5=3600米。每天上学（单程）：360÷60=6分钟。验算：6×60=360米 ✓【易错点】第一问不要只算单程。「往返」是去+回，每天是2个单程。第16题：余数最大是14，被除数是194【解析】余数必须比除数15小，所以余数最大是14。被除数=除数×商+余数=15×12+14=180+14=194。验算：194÷15=12……14 ✓【易错点】余数最大=除数-1（15-1=14），不是15。被除数用逆运算求出后要完整验算。第17题：每个小组分到7本【解析】方法一：先算每班分多少本：336÷6=56本。再算每组多少本：56÷8=7本。综合算式：336÷6÷8=7本。方法二：先算一共有多少组：6×8=48组，336÷48=7本。验算：7×8×6=336 ✓【易错点】方法二中的6×8=48组需要理解题目隐含的关系——每个班有8个组。学生要能从文字中分析出这层关系。第18题：300千米【解析】先求速度：180÷3=60千米/时。再求甲乙距离：60×5=300千米。综合算式：180÷3×5=300千米。验算：300÷5=60千米/时，60×3=180千米 ✓【易错点】这是除法和乘法的混合问题，不要两步都用除法。先除后乘，求出速度是关键。第19题：最大的商是432，方案为864÷2=432【解析】要使商最大，被除数应尽量大，除数应尽量小。最大被除数用8、6、4组成864，最小除数是2。864÷2=432。其他方案如842÷6≈140……2，684÷2=342等，都不如864÷2大。验算：432×2=864 ✓【易错点】这是开放性题目，要系统地思考策略（被除数最大+除数最小），而不是随意拼凑。第20题：苹果22千克，箱子3千克【解析】卖掉的苹果重量=25-14=11千克。这是苹果的一半，所以原来苹果有11×2=22千克。箱子重25-22=3千克。验算：22÷2=11千克（卖掉一半），11+14=25 ✓，14-11=3 ✓【易错点】这道题需要用逆向思维，先通过两次称重的差求出「一半苹果」的重量，再求总量。不是直接除法题，但验算需要用到除法。整十数除法试商法除数本身就是整十数，直接去零计算除数不是整十数，先看作接近的整十数来估商常见错误正确认识计算60÷20时把结果算成3060÷20=3，不是30。去掉末尾的0后用6÷2=3常见错误正确认识竖式计算160÷30时把商5写在十位上16÷30不够商1，要看前三位160，商5写在个位上常见错误正确认识计算96÷24时，把24看作20试商得5，没有验算就直接写答案24看作20试商得5，但24×5=120＞96，说明商大了，应调为4：24×4=96，正确常见错误正确认识计算196÷28时，把28看作30试商得6，余数28，直接写答案余数28等于除数28，说明商6小了，要调大为7。28×7=196，刚好整除常见错误正确认识判断312÷26的商是一位数被除数前两位31≥26，够除，商是两位数常见错误正确认识计算有余数除法后，余数比除数大却没有发现余数必须始终比除数小；如果余数≥除数，说明商小了要调大常见错误正确认识连除问题中把不相关的条件混在一起列式先找出有联系的条件配对，确定先算什么再算什么