初中数学浙教版（2024）八年级上册（2024）2.3 等腰三角形的性质定理优秀课件ppt

这是一份初中数学浙教版（2024）八年级上册（2024）2.3 等腰三角形的性质定理优秀课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了旧知复习，新知探究，典例分析，变式训练等内容，欢迎下载使用。
我们上节课学习了等腰三角形性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。
已知△ABC是等腰三角形AB=AC，则∠B=∠C
等边三角形的各个内角都等于60°。
等腰三角形除了有等边对等角的性质还有其他性质吗？
每个同学在作业本上利用尺规作图分别画出∠BAC的平分线，BC边上的高以及BC边上的中线。
AD是△ABC的角平分线∠BAD=∠DAC
AD是△ABC的BC边上的高AD⊥BC
AD是△ABC的BC边上的中线BD=DC
观察我们所画出的角平分线、中线和高，它们有什么特点呢？
如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，下列结论中不一定正确的是(　　)A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BD
木工师傅将一把含45°角的直角三角板和一个重锤如图放置，就能检查横梁是否水平，能解释这一现象的数学知识是(　　)A．角平分线的性质定理B．等腰三角形的三线合一C．线段垂直平分线的性质定理D．两直线垂直的性质
已知：如图所示，AD平分∠BAC，∠ADB＝∠ADC。求证：AD⊥BC。
证明：如图所示，延长AD，交BC于点E。∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD(角平分线的定义)∵AD=AD(公共边)，∠ADB=∠ADC（已知）可得△ABD≌△ACD（ASA）。所以AB＝AC（全等三角形的对应边相等）。∴△ABC是等腰三角形（等腰三角形的定义）∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一）即AD⊥BC
等腰三角形性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。
例1如图，在△ABC中，AB=BC，BE是△ABC的中线，AD⊥BC于点D，若∠DAB=36°，则∠EBC的度数为__________．
根据三角形外角的性质得∠ABC=∠DAB+∠D=126°，由等腰三角形的性质可得BE是∠ABC的平分线，即可求出∠EBC的度数
等腰三角形“三线合一”的性质
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，AD是△ABC的中线，点E在AC上，AE=AD，则∠DEC等于______．
由等腰三角形中三线合一，可得AD是△ABC的角平分线，再根据AE=AD得出∠ADE=∠AED，结合三角形内角和定理可得出答案
等腰三角形三线合一的性质
例2 已知两边及其夹角，求作这个三角形．已知：如图，线段a和∠α．求作：△ABC，使AB=AC=a，∠A=∠α．
作法：①作射线AD；②以O为圆心，任意长度为半径画弧，弧与两边分别交于两点M、N；③A点为圆心，ON的长度为半径画弧，与AD交于点E；④测量MN的距离，以E为圆心MN为半径画弧，交于点F，连接AF；⑤在∠A两边截取AB=AC=a,连接BC即可
（教材母题）已知线段 a，h，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使底边BC＝a，底边BC边上的高线长为h。
作法：如图所示。①作线段BC＝a；②作线段BC的垂直平分线l，交BC于点D；③在直线l上截取DA＝h，连结AB，AC。△ABC就是所求作的等腰三角形。
例3 . 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，连接CE，交AD于点H．求证：AD垂直平分CE
解：∵∠ACB=90°，∴DC⊥AC，又∵∠CAB的平分线交BC于点D，DE⊥AB.∴CD=DE，∠AED=90°，∠CAD=∠EAD，∴∠ADC=180°-∠ACB-∠CAD=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD∠ADE=180°-∠AED-∠EAD=180°-90°-∠EAD=90°-∠EAD∴∠ADC=∠ADE，即AD平分∠CDE又∵CD=DE∴AD垂直平分CE（等腰三角形的三线合一）
先根据角平分线的性质定义可得CD=DE，再根据三角形的内角和定理求出∠ADC=∠ADE，然后根据等腰三角形的三线合一即可求证
[2025宁波期末]如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，中线AD与角平分线CE交于点F，则∠CFD的度数为(　　) A．25°B．35°C．45°D．55°
[2025温州月考]如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是AC边上的高，延长BC到E，使CE＝CD，连结DE，则BE的长为________．
【证明】连结AE.因为EF是AB的垂直平分线，所以AE＝BE. 因为BE＝AC，所以AE＝AC.又因为D为线段CE的中点，所以AD⊥CE，即AD⊥BC.
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，连结AD，BE＝AC.求证：AD⊥BC.
【解】如图所示，△ABC即为所求作的图形．
已知∠α和线段a(如图)，用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使顶角∠BAC＝∠α，底边上的高线AM＝a.
如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点(D与B，C均不重合)，AD＝AE，∠DAE＝60°，连结CE.若AB＝2，当四边形ADCE的周长取最小值时，CE的长为________．
如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，若点C与点O恰好重合，则∠OFA的度数为________．
如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC，交AC于点D，点M，N分别为BD，BC上的动点，若BC＝10，△ABC的面积为40，则CM＋MN的最小值为________．
如图所示，在△ABC中，AB＝BC，点D是BC上一点，DE⊥AB于点E，DF⊥BC，交AC于点F，连结BF.(1)若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；
【解】因为∠AFD＝155°，所以∠DFC＝25°.因为DF⊥BC，DE⊥AB，所以∠FDC＝∠FDB＝∠BED＝90°.所以∠C＝90°－25°＝65°.因为AB＝BC，所以∠C＝∠A＝65°.所以∠ABC＝180°－2×65°＝50°.因为∠ABC＋∠BDE＝∠EDF＋∠BDE＝90°，所以∠EDF＝∠ABC＝50°.
(2)若F是AC的中点，判断∠ABC与∠CFD的数量关系，并说明理由．