广东华南师范大学附属中学2025-2026学年高一第二学期期末教学检查数学试卷解析版

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1. 在复平面内，对应的点位于
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】,所以对应点为，位于第三象限.
2. 某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层随机抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 108 的样本，如果样本按比例分配，则从高一年级抽取的学生人数为
A． 27B． 36C． 40D． 45
【答案】A
【解析】.
3.下列判断正确的是
A．正三棱锥一定是正四面体B．底面是正方形的四棱锥是正四棱锥
C．底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱D．底面是正方形的棱台是正四棱台
【答案】C
【解析】正三棱锥不一定是正四面体，侧棱长与底面边长可能不相等，故A错误；
底面是正方形的四棱锥不一定是正四棱锥，顶点在底面的射影不一定是底面的中心，故B错误；
由正四棱住的概念可知，底面是正方形的直四棱柱是正四棱柱，故C正确；
底面是正方形的棱台不一定是正四棱台，原因是棱台的侧棱延长后的交点在两底面的射影不一定为正方形的中心，故D错误 .
4.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：
基本事件总数为25，
第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，
故所求概率.
5.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法正确的是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【解析】对于A：若，则垂直于内所有直线，也垂直于与平行的直线，所以，而不是平行，错误.
对于B：若不一定垂直于，可能平行于交线，错误.
对于C：若，则的方向平行于，所以可能平行于，也可能在内，不能推出，错误.
对于D：若，则也垂直于（垂直于平行平面中的一个，必垂直于另一个），正确.
6.已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为，且，则
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为事件A，B互斥，所以它们都不发生的概率为，所以
又因为，所以所以
7.的内角的对边分别为.已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，，
得，而在中，，所以，得，则，
因为，，得：或者，
因为，，即，则，故.
8.如图，在棱长为2的正方体中，点，，，分别是棱，，，的中点，则多面体的体积为
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】由题意得,
,
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知 2018－2025 年中国体育产业规模（单位：万亿元）数据如表所示：
则这 8 个数据的
A．极差为 2.4B．中位数为 3.1C．分位数为 3.8D．平均数大于 3.4
【答案】ACD
【解析】极差，正确.
B．中位数：第 4 、 5 个数平均为，不是 3.1 ，错误.
C．分位数：，不是整数，取第 7 个数据（向上取整），为 3.8 ，正确.
D．平均数：总和，平均数，正确.
10.在正四面体中，下列各角大于的有
A．棱与棱的所成角B．棱与棱的所成角
C．棱与平面的所成角D．平面与平面的所成角
【答案】BD
【解析】选项A，正四面体，所以为正三角形，所以棱与棱的所成角为，，选项A错误；
选项B，作棱中点E，连接，，因为为正三角形，所以，
同理，，平面，，
所以平面，平面，所以，
所以棱与棱的所成角为，选项B正确；
选项C，由正四面体性质可知棱与平面的所成角与棱与平面的所成的角一样，且D在平面的投影在上，
所以棱与平面的所成角为，
设正四面体边长为，所以，
，
所以，选项C错误；
选项D，因为，，所以平面与平面的所成的角为，
，
所以，选项D正确.
11.袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则
A．B．
C．事件“”与“”互斥D．事件“”与“”相互独立
【答案】AC
【解析】总样本点数为种，
满足的情况数为种，由对称性可知，
又，，解得，故A正确，
由可知，
当时，；当时，；当时，；
当时，；当时，；当时，，满足条件的情况数有种，
，故B错误.
由可知，若，则，，所以矛盾，故C正确，
记事件为“”， 事件为“”，则，
满足的情况数为种，，
又，，，故D错误.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为________.
【答案】6
【解析】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于展开图扇形的弧长，则，解得 .
13.已知点均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，平面，则_______.
【答案】2
【解析】如图，将三棱锥转化为正三棱柱，
设的外接圆圆心为，半径为，
则，可得，
设三棱锥的外接球球心为，连接，则，
因为，即，解得.
14.小张参加一次十道选择题的测试，做对一道得一分，做错一道扣一分，不做则得零分．他的目标是至少得7分，7分及格．小张现在确定他前六道题的答案是正确的，而剩下的每道题做对的概率均为，则小张应该做_____道题，及格的概率最大.
【答案】7或9
【解析】小张再做一道题及格的概率为；
再做两道题及格的概率为；
再做三道题及格的概率为；
再做四道题及格的概率为，
所以小张应该做7或9道题，及格的概率最大 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知向量与的夹角为，，．
(1)求的值；
(2)设向量与的夹角为，求的值 .
【解析】（1）因为，
所以，
所以.
（2）因为，
所以，
又因为，
所以 .
16.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响.
(1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率；
(2)求甲获胜的概率.
【解析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，，
则，，，，
记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，
可得，
所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为
（2）记“甲获胜”为事件，则，
可得，
所以甲获胜的概率为 .
17.为增强中学生国防观念，提升青少年爱国情怀与国防素养，某市教育局举办了＂青春筑国防＂的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取 200 份作为样本数据，将样本答卷中分数分成六组：，并作出如图所示的频率分布直方图.
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求样本数据的第 47 百分位数；
（3）已知落在［50，60）内样本数据的平均数是 55 ，方差是 6 ；落在内样本数据的平均数是 64 ，方差是，且这两组数据的总方差是 22 ，求落在内样本数据的方差.
【解析】
（1）根据频率分布直方图的性质，可得，解得.
（2）由频率分布直方图得，前 3 组数的频率为，
前 4 组数的频率为，
因此第 47 百分位数在第 4 组即区间上，
设第 47 百分位数为，则满足，解得.
（3）样本数据在区间的个数为，
在区间上的个数为，所以，
解得，
解得 .
18.已知三棱台（图2）的平面展开图（图1）中，和均为边长为2的等边三角形，B、C分别为AE、AF的中点，，，在三棱台ABC-DEF中
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
（3）判断平面和平面是否垂直，如果垂直，请证明；如果不垂直，请说明理由.
【解析】（1）在直角梯形ABED中，
同理可得 .
同理，在直角梯形中可得，
∴，
∴，又
∴两两垂直，又，
∴面.
（2）方法一：取中点，连接，则，
又 ∵面，且
∴面
∴为二面角的平面角
又
∴ 二面角的余弦值为
方法二：取中点，连接
由是边长为 2 的等边三角形 ∴
∴是二面角的平面角.
.
（3）结论：面与面不垂直．
方法一：取中点，则
又 ∵ 面与面垂直的充要条件是直线与面中另一条直线垂直而
∴与不垂直故面与面不垂直
方法二：延长交于点，取中点，连按
.
此时．
而，
即是二面角的平面角.
但，故面与面不垂直.
方法三：
过作面于，连接交于
∵，同理，
又 ∵，
即.
∴与重合，即面，
再取中点，则与面不垂直，
∴ 面与面不垂直，即面与面不垂直.
本题中，，所以点在平面上的射影是的外心（中
心），点是两条中线和的交点.
19.已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数满足：若，，则.
(1)已知复数满足：，求；
(2)已知关于的方程的两个复数根分别是，判断函数，是否为周期函数，并说明理由；
(3)设复数不全为实数，，证明：.
【解析】（1）设，则
又，所以．
所以．
即，又．
所以或．
（2）因为的两个复数根分别是，
所以．
即
，即 24 是的其中一个周期．
（3）由题意，
可得：
则虚部，
所以．
假设不成立，即
则
①若，
但是
所以，
与矛盾．
②若，则
所以成立
三个等号成立当且仅当成立，但不全为实数，
所以不成立，所以与矛盾．
所以假设不成立，即成立 .年份
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
2025
体育产业规模 （单位：万亿元）
2.7
2.9
2.7
3.1
3.3
3.7
3.8
5.1