2022-2023学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一上学期期末数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省广州市华南师范大学附属中学高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出集合，由交集的定义即可得出答案.

【详解】，，

则.

故选：A.

2．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】解三角函数的方程，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果.

【详解】∵，∴，，

∴且，

∴“”是“”的必要不充分条件.

故选：B.

3．命题“，，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】根据全称量词命题的否定的知识求得正确答案.

【详解】原命题的全称量词命题，其否定是存在量词命题,

注意到要否定结论而不是否定条件，所以B选项符合.

故选：B

4．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解.

【详解】 ，即 ，等价于 ，解得 或 ；

故选：D.

5．已知二次函数在区间内是单调函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】结合图像讨论对称轴位置可得.

【详解】由题知，当或，即或时，满足题意.

故选：A

6．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形截去同心扇形所得图形，已知，则该扇环形砖雕的面积为（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解.

【详解】由以及扇形的面积公式可得: ,

故选：D

7．已知角的终边过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得，然后利用诱导公式求得正确答案.

【详解】由于角的终边过点，

所以，

.

故选：D

8．已知函数是上的奇函数，且时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分析函数的单调性，且.根据奇偶性可得即为，根据单调性即可求解.

【详解】时，，可得在上单调递减，

因为函数是上的奇函数，所以在上也单调递减.

，可转化为,

可得.

令，可得,故.

故由，可得或,解得或，

故不等式的解集为.

故选:D.

二、多选题

9．下列命题中正确的是（    ）

A．时，的最小值是2

B．存在实数，使得不等式成立

C．若，则

D．若，且，则

【答案】BCD

【分析】根据基本不等式的取等条件可判断A；取可判断B；作差可判断C；利用基本不等式可判断D.

【详解】当时，，当且仅当时等号成立，

故时，取不到最小值2，故A错误；

当时，,故B正确；

,故，故C正确；

，，则,解得，当且仅当时等号成立，故D正确.

故选:BCD.

10．下列结论正确的是（    ）

A．函数且的图像必过定点

B．若且，则

C．已知函数，则方程的实数解为

D．对任意，都有

【答案】AC

【分析】令可判断A；当时可判断B；令可得，从而可判断C；当时可判断D.

【详解】对于A，令,可得,故函数的图象必过定点，故A正确；

对于B，若,函数单调递减，由 可得，故B错误；

对于C，令，可得,解得，故C正确；

对于D，当时，，所以,故D错误.

故选:AC.

11．下列等式成立的是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】ABC

【分析】根据诱导公式可判断A；根据两角差的余弦公式可判断B；根据两角差的正切公式可判断C；根据两角和的正弦公式可判断D.

【详解】，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，故D错误.

故选:ABC.

12．已知函数，则方程的实根个数可能为（    ）

A．8 B．7 C．6 D．5

【答案】ABC

【解析】以的特殊情形为突破口，解出或或或，将看作整体，利用换元的思想进一步讨论即可.

【详解】由基本不等式可得

或，

作出函数的图像，如下：

①当时，或，

故方程的实数根个数为；

②当时，或或，

故方程的实数根个数为；

③当时，或或

或，

故方程的实数根个数为；

④当时，或或或，

故方程的实数根个数为；

⑤当时，或，

故方程的实数根个数为；

⑥当时，或，

故方程的实数根个数为；

⑦当时，，

故方程的实数根个数为；

故选：ABC

【点睛】本题考查了求零点的个数，考查了数形结合的思想以及分类讨论的思想，属于难题.

三、填空题

13．函数的定义域为____________.（用区间表示）

【答案】

【分析】根据分母不为0，偶次根式的被开方非负列式可求出结果.

【详解】由函数有意义，得，解得且.

所以函数的定义域为.

故答案为：

14．已知，则__________.

【答案】##0.8

【分析】将条件由辅助角公式化简，将条件由二倍角公式化简，再代入即可得出答案.

【详解】，

由辅助角公式可得，

即，

，

故答案为：.

15．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将____________块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．）

【答案】

【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果.

【详解】假设需要块这样的玻璃，则，，

，

至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的.

故答案为：.

16．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【分析】将不等式等价转化为，根据函数的单调性与最值接不等式即可求解.

【详解】根据不等式恒成立恒成立可知，

由可得，所以，

即，即，

先解，即，也即，

设函数，

令，则，

根据双勾函数的性质可得在单调递增，

当时，有最小值为4，所以，

再解，即，也即，

令，则，所以，

设函数，

根据双勾函数的性质可得在单调递增，

当时，有最大值为，所以，

所以，

故答案为: .

四、解答题

17．（1）求值：；

（2）设，且，求的值.

【答案】（1）18；

（2）500.

【分析】（1）根据指对数的运算性质即可求解；

（2）根据指对互化可得，代入，根据换底公式即可求解.

【详解】（1）.

（2）由，可得,

所以，解得.

18．已知函数.

(1)求的单调递增区间；

(2)若在区间上的值域为，求的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）令即可求得单调递增区间；

（2）由，得，画出在的图象，可得，从而可求解.

【详解】（1）令，解得.

故的单调递增区间为.

（2）因为，所以.

画出在的图象如图所示：

所以，解得.

故的取值范围为.

19．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为：

根据表格中的数据画出散点图如下：

为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：

①，②，③.

(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

(2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.

【答案】(1);

(2).

【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；

（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解.

【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，

而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，

随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，

故选择函数.

（2）由题意可得，解得，

所以.

令，解得.

故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个.

20．已知两个变量且满足关系式，且是的函数.

(1)写出该函数的表达式，值域和单调区间（不必证明）；

(2)在坐标系中画出该函数的图象（直接作图，不必写过程及理由）.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析

【分析】（1）由两边取以为底的对数可求的解析式，再根据对数函数的性质即可求单调区间与值域；

（2）根据解析式与单调性即可画出图象.

【详解】（1）由，可得,即且,

故且.

当时，单调递增，故单调递减；

当时，单调递增，故单调递减.

故的单调递增区间为，，无单调递减区间.

当时，，故；

当时，，故.

故函数的值域为.

（2）函数且的图象如图所示;

21．已知函数.

(1)求函数的最小正周期；

(2)令，求的最小值.

【答案】(1);

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式及辅助角公式可得，从而可求函数的最小正周期；

（2）利用正弦函数的图象与性质可得时，，令，根据二次函数的性质即可求最小值.

【详解】（1），

所以函数的最小正周期为.

（2）由，可得，所以.

令,则，

令，其对称轴为，

①当，即，

在上单调递增，所以；

②当，即时，

在上单调递减，在上单调递增，

所以；

③当，即时，

在上单调递减，所以.

综上所述，

故

22．给定常数，定义在上的函数.

(1)若在上的最大值为2，求的值；

(2)设为正整数.如果函数在区间内恰有2022个零点，求的值.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据诱导公式及二倍角公式可得，设，分类讨论，根据二次函数的性质即可求解；

（2）由题意可得有两个不等的实数根，

.分与讨论，结合正弦函数的图象即可求解.

【详解】（1）

，

设，

则，

的开口向下，对称轴为，

当，即时，，

又，所以，解得，与矛盾.

当，即时，当时，，

又，所以，解得.

综上所述，.

（2），令，，

则.

因为，所以有两个不等的实数根，且，

所以.

又，

当时，

时，有2个根；时，有2个根；

故时，有4个根.

因为在区间内恰有2022个零点，所以.

当时，

时，有1个根；时，有2个根；

故时，有3个根.

因为在区间内恰有2022个零点，且，所以.

综上所述，的值为或.

【点睛】关键点睛：

二次函数与正弦型函数的复合问题，求值域可利用换元法，转化为二次函数求值域，单调性问题需要结合正弦函数及二次函数的单调性.