广东省广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷含解析（word版）

这是一份广东省广州市华南师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷含解析（word版）试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则（ ）
A．B．0C．1D．2
3．已知随机事件与满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．某电影院一排有5个连续座位，甲、乙、丙等5人随机就座，已知甲不坐在两端，且乙与丙之间恰好隔2个人，则不同的就座方式共有（ ）
A．8种B．12种C．16种D．24种
6．若函数的最大值为，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．
7．如图，直线交椭圆于两点，分别交轴正半轴、轴正半轴于两点，且，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
8．实数满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．一个盒子里装有质地均匀的小球10个，其中红球4个，黑球6个，从中抽取2个小球，记取到红球的个数为随机变量，则
B．相关系数的绝对值越小，两个变量之间的线性相关程度越强
C．根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过
D．若随机变量服从正态分布，且，则
10．已知双曲线的一支，圆，则（ ）
A．的渐近线方程为
B．的渐近线与圆相交
C．圆上恰有三个点到的一条渐近线的距离为
D．与和圆各恰有一个公共点的直线不止条
11．已知随机变量（且），设函数，记，则（ ）
A．
B．对任意恒成立
C．存在，使得函数在区间内有零点
D．任意，对任意，且，函数满足
三、填空题
12．的展开式的各项系数的和为______．
13．已知等比数列，公比，且，则______．
14．在世界杯期间，有3种不同的纪念品：纪念品A（大力神杯模型）、纪念品B（官方用球）、纪念品C（官方吉祥物）．甲、乙、丙三位球迷独立随机地选择纪念品，对于每个人来说，每种纪念品选与不选都是等可能的．则至少有一种纪念品被甲、乙、丙三人都选中的概率为______．
四、解答题
15．已知数列，满足是等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，证明：．
16．如图，正三棱柱的所有棱长都为2，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角的余弦值．
17．在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为为抛物线上两个不同的动点．当中点横坐标为2时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线过点，在轴上是否存在点，使得恒在以线段为直径的圆内？若存在，求出点横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．
18．一只蚂蚁在一个正方体的表面上爬行，记这个正方体的6个面分别为．其中，是与相对的面．初始时刻，蚂蚁所在的面为，之后每过一秒，不知疲倦的蚂蚁都会等可能地爬到相邻的四个面中的某一个．
(1)分别求第3秒末，蚂蚁位于面和面的概率；
(2)求第秒末蚂蚁位于面的概率；
(3)对于随机变量，若定义随机变量，则有．记从初始时刻到第秒末，蚂蚁位于面的总次数为随机变量，求．
19．已知函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)已知，曲线上的两点处的切线都经过点．证明：
（ⅰ），且；
（ⅱ）若，当取得最小值时，求的值．