北京市西城区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷含答案

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一、单选题
1．已知向量a=2,0，b=−1,−1，则a,b=（ ）
A．π4B．π2C．3π4D．5π4
2．若曲线y=sin2x−π6关于直线x=mm>0对称，则m的最小值为（ ）
A．5π6B．π3C．π6D．π12
3．设函数fx=sinx+φ的定义域为−∞,+∞，则“φ=π2”是“fx为偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．在空间中，已知线段AB和直线l，直线AB∥l，AB=10cm，直线AB与l间的距离为5cm.以直线l为旋转轴，将线段AB旋转一周而形成曲面δ，则曲面δ的面积为（ ）
A．500πcm2B．250πcm2C．200πcm2D．100πcm2
5．已知α,β∈0,π，且sinα+π3=csβ+π6，则（ ）
A．α+β=π6B．α−β=π6C．α+β=π3D．α−β=π3
6．已知函数fx=sinωx+3csωxω>0在区间a,b上单调递减.若fa=1，fb=−3，b−a=π，则ω=（ ）
A．12B．13C．2D．3
7．在△ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，P为△ABC所在平面内一点，则PA⋅PB+PC的最小值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
8．如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=PC，D，E分别为BC，AC的中点，过DE的平面分别交PA，PB于F，G.若平面DEFG将三棱锥P−ABC分成体积相等的两部分，则FGDE=（ ）
A．1B．2C．12D．13
二、填空题
9．复数1+3i3−i=______.
10．函数fx=Asin2x+π6的部分图象如图所示，则A=______；x0=______.
11．已知α,β∈0,2π，且csα+β=sinα−β.写出满足条件的一组α，β的值α=______，β=______.
12．在四面体ABCD中，AB=AC=BC=AD=BD=2.若平面ABC⊥平面ABD，则四面体ABCD的表面积为______.
13．已知α，β是锐角，给出下列四个结论：
①∀α,β∈0,π2，sinα+βsinα+sinβ；
③∀α,β∈0,π2，sinα−βcsα+csβ.
其中所有正确结论的序号是_____.
三、解答题
14．已知函数fx=2sin2x−cs2x+π3.
(1)求fx的最小正周期：
(2)求fx在区间0,π2上的最小值.
15．如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC为正三角形，D是AB的中点：
(1)求证：BC1//平面A1CD；
(2)若AB=AA1=2，∠A1AB=60°，∠DA1C1=90°.
（i）求证：AB⊥A1C；
（ii）求三棱柱ABC−A1B1C1的体积.
16．在△ABC中，atanB=2bsinA.
(1)求∠B；
(2)已知b=43，AD⊥BC于D.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求AD的长.
条件①：△ABC的周长为123；
条件②：△ACD的面积为63；
条件③：△ABC的面积为123.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17．如图1，在△ABC中，AB=5，AC=22，BC=3，AD为BC边上的高.如图2，将△ADB绕AD旋转至△ADP，使CP=3.
(1)求证：平面ADP⊥平面ACP；
(2)在（1）的条件下，过点D作DH⊥平面ACP，试确定点H的位置，并求DH的长.
18．给定正整数n≥5，设n维向量集合U=u=a1,a2,⋅⋅⋅,anai∈0,1,i=1,2,⋅⋅⋅,n.对任意α,β∈U，其中α=a1,a2,⋅⋅⋅,an，β=b1,b2,⋅⋅⋅,bn，定义α⋅β=a1b1+a2b2+⋅⋅⋅+anbn.
设A⊆U，若A同时满足下面两个性质，则称A具有性质P.
①对任意α∈A，有α⋅α=4；
②对任意β∈U，其中β⋅β=2，均存在α∈A，使得α⋅β=2.
(1)已知A1=1,1,1,1,0,1,1,1,0,1，A2=1,1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1,1，判断A1，A2是否具有性质P（结论无需证明）；
(2)当n=6时，若集合A具有性质P，且元素个数为3.证明：对任意α1,α2∈A，且α1≠α2，有α1⋅α2≠3；
(3)当n=8时，若集合A具有性质P，求A中元素个数的最小值.
《北京市西城区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷》参考答案
1．C
2．B
3．A
4．D
5．D
6．A
7．B
8．A
9．i
10． 1 7π6
11． π4（答案不唯一） 3π4（答案不唯一）
12．23+15
13．①②③
14．(1)T=π
(2)−12.
15．(1)连接AC1，设AC1∩A1C=O，连接OD，
因为O，D分别为AC1，AB的中点，所以OD//BC1，
又因为BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以BC1//平面A1CD.
(2)（i）因为△ABC为正三角形，D是AB的中点，则CD⊥AB，
又因为AB=AA1，∠A1AB=60°，则△AA1B为正三角形，可得A1D⊥AB，
且CD∩A1D=D，CD,A1D⊂平面A1CD，可得AB⊥平面A1CD，
且A1C⊂平面A1CD，所以AB⊥A1C；
（ii）3
16．(1)B=π3
(2)条件①，AD=6；条件③AD=6
17．(1)在△ABC中，由余弦定理可得csC=AC2+BC2−AB22AC⋅BC=22，
因为C∈0,π，所以∠C=π4，
在△ADC中，因为AD⊥BC，∠C=π4，AC=22，
所以AD=CD=2，则BD=1，
因为AD⊥BC，所以AD⊥DC，AD⊥DP，
因为DC∩DP=D,DC,DP⊂平面CDP，所以AD⊥平面CDP，
因为CP⊂平面CDP，所以AD⊥CP，
因为DP=1，CD=2，CP=3，
所以DP2+CP2=CD2，即CP⊥DP，
因为AD∩DP=D,AD,DP⊂平面ADP，所以CP⊥平面ADP，
因为CP⊂平面ACP，
所以平面ACP⊥平面ADP.
即平面ADP⊥平面ACP.
(2)
点H在棱AP上，DH=255.
18．(1)A1不具有性质P,A2具有性质P；
(2)证明：由A中元素个数为3，设A=α1,α2,α3．
假设存在α1,α2∈A，且α1≠α2，使得α1⋅α2=3．
不妨设α1=1,1,1,x4,x5,x6,α2=1,1,1,y4,y5,y6,α3=z1,z2,⋯,z6．
由性质①，得x4,x5,x6中恰有一个1,y4,y5,y6中恰有一个1．
所以存在i∈{4,5,6}，使得xi=yi=0，不妨设i=6．
对于任意的βj=b1,b2,⋯,b6∈U，其中bj=b6=1,j=1,2,3,4,5，有α1⋅βj≠2，且α2⋅βj≠2．
由集合A具有性质②，故对任意的j∈{1,2,3,4,5}，有α3⋅βj=2．
所以α3=(1,1,1,1,1,1)，与性质①矛盾！
故α1⋅α2≠3．
(3)6
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
C
B
A
D
D
A
B
A