北京市西城区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份北京市西城区2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了 已知向量，，则， 已知，且，则， 复数______等内容，欢迎下载使用。
2026.7
本试卷共分为卷一、卷二两部分，卷面总分共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.
一、选择题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】因为，，
所以，，，
设与的夹角为，则且，
解得，即，故选项C正确.
2. 若曲线关于直线对称，则m的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】曲线关于直线对称，则，
即，
因为，
当时，，
当时，（舍去），
所以的最小值为，选项B正确.
3. 设函数的定义域为，则“”是“为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】当时，，
因为，
所以是偶函数，充分性成立；
若是偶函数，则，即，
解得，即（舍去）或，
化简可得，
当时，，此时，
，是偶函数，但，所以必要性不成立，
因此“”是“为偶函数”的充分不必要条件.
4. 在空间中，已知线段和直线，直线，，直线与间的距离为5cm.以直线为旋转轴，将线段旋转一周而形成曲面，则曲面的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】线段绕平行线旋转一周形成的立体图形为圆柱，根据圆柱的侧面积展开为矩形进行求解.
【详解】因为，所以线段以直线为旋转轴，旋转一周而形成的曲面为圆柱的侧面，
因为，与间的距离为，
所以曲面的面积为，故选项D正确.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】因为，
又因为，则，，
可得，所以.
6. 已知函数在区间上单调递减.若，，，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用辅助角公式化简函数表达式，根据单调性与函数值，结合正弦函数的图象，确定与的值，两式相减，即可求出的值.
【详解】由题知，
因为，，
即，，
又因为在区间上是减函数，
则，，
两式相减得，
且，所以.
7. 在中，，，P为所在平面内一点，则的最小值为（ ）
A. -2B. -1C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标表示出向量的数量积，再结合配方的方法求得最值.
【详解】，以为原点，方向为轴，方向为轴建立平面直角坐标系，如下图所示
因为，
所以，，，
设，则，，，
所以，
则，
配方可得，
因为，，当，时二者最小值都是0，
所以的最小值为，故选项B正确.
8. 如图，在三棱锥中，平面，，，，分别为，的中点，过的平面分别交，于，.若平面将三棱锥分成体积相等的两部分，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由线面平行判定定理及性质定理推出，设，连接，则，分别求出体积，根据题意列方程即可求出答案.
【详解】因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，
所以，
设，则，，
连接，则，
不妨设
因为平面，平面，所以，，
又因为，，所以平面，
则点到平面的距离，
，，
，
所以，
，
点到平面的距离，
所以，
所以，
，，
由题意知，
即，解得或（舍去），
即，又，所以.
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
9. 复数______.
【答案】i
【解析】
【详解】.
10. 函数的部分图象如图所示，则______；______.
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】根据图象可知函数的最大值，即可得；根据图象结合函数的最小正周期求的值.
【详解】由图象可知：函数的最大值为1，所以；
又因为函数的最小正周期，
所以.
11. 已知，且.写出满足条件的一组，的值______，______.
【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一）
【解析】
【详解】，根据诱导公式可得
，
解得或，
化简可得（任意）或（任意），
因为，
所以取时，，任选，如，
代入验证可得.
12. 在四面体中，.若平面平面，则四面体的表面积为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得，面积均为，作辅助线，可证平面，可得，进而可求四面体的表面积.
【详解】因为，
可知，均为等边三角形，其面积均为，
取的中点，连接，
因为，则，
且平面平面，平面平面，平面，
则平面，由平面，则，
由题意可知：，则，可知与全等，
在中，边上的高，
则的面积为，
所以四面体的表面积为.
13. 已知，是锐角，给出下列四个结论：
①，；
②，；
③，；
④，.
其中所有正确结论的序号是_____.
【答案】①②③
【解析】
【分析】根据条件，利用三角函数的性质及正弦和余弦的和角公式，再由诱导公式及正弦函数和余弦函数的性质，即可判断正误.
【详解】①，
则，
因为，
所以，，，，即，，
因此，即，故①正确；
②令，则，，
因为，且正弦函数在上单调递增，
所以，
因此，即，故②正确；
③，
则，
因为，
所以，，，，
因此，即，故③正确；
④，
因为，
所以，则，
因为，
所以，
因为，
所以，
因此不可能有，故④错误.
三、解答题共5小题，共73分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
14. 已知函数.
（1）求的最小正周期：
（2）求在区间上的最小值.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【小问1详解】
，
所以的最小正周期.
【小问2详解】
因为，所以，
当，即时，
取得最小值为.
15. 如图，在三棱柱中，为正三角形，是的中点：
（1）求证：平面；
（2）若，，.
（i）求证：；
（ii）求三棱柱的体积.
【答案】（1）连接，设，连接，
因为O，D分别为，的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
（2）（i）因为为正三角形，D是的中点，则，
又因为，，则为正三角形，可得，
且，平面，可得平面，
且平面，所以；
（ii）3
【解析】
【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明；
（2）（i）根据题意可得，，可证平面，即可得结果；（ii）可证平面，结合柱体的体积公式运算求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
（i）略
（ii）因为，则，
且，所以，
又因为，，平面，所以平面，
故三棱柱的体积.
16. 在中，.
（1）求；
（2）已知，于.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一，求的长.
条件①：的周长为；
条件②：的面积为；
条件③：的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）条件①，；条件③
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边角转化和三角形内角的性质，求出角的大小；
（2）根据余弦定理得到的关系式，结合所选的条件判断是否有唯一解，进而求出的长度.
【小问1详解】
因为，
所以，
由正弦定理可得，
在中，因为，所以，
因为，所以.
【小问2详解】
选条件①：
因为，，
所以，
由余弦定理可得，所以，
即，解得，
联立可得，解得，此时为正三角形，存在且唯一，
所以；
选条件②：
，，，
，化简可得，
由余弦定理可得，所以，
则，解得或，
当时，解得，
当时，解得，，
故不唯一，所以条件②不可选；
选条件③：
由余弦定理可得，
所以，
因为，
所以，
因为，当且仅当时，，
所以解得，此时为正三角形，存在且唯一，
所以.
17. 如图1，在中，，，，为边上的高.如图2，将绕旋转至，使.
（1）求证：平面平面；
（2）在（1）的条件下，过点作平面，试确定点H的位置，并求的长.
【答案】（1）在中，由余弦定理可得，
因为，所以，
在中，因为，，，
所以，则，
因为，所以，，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，，
所以，即，
因为平面，所以平面，
因为平面，
所以平面平面.
即平面平面.
（2）
点在棱上，.
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求出角的大小，再根据直角三角形得到线线垂直，根据线线垂直证明线面垂直，从而证明面面垂直；
（2）通过面面垂直证明线面垂直，根据相似三角形得到的比例，从而求出距离.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
由（1）得平面平面，且平面平面，
在平面内，过点作平面，则，且点在棱上，
如下图所示
，
在中，.
18. 给定正整数，设n维向量集合.对任意，其中，，定义.
设，若A同时满足下面两个性质，则称A具有性质P.
①对任意，有；
②对任意，其中，均存在，使得.
（1）已知，，判断，是否具有性质P（结论无需证明）；
（2）当时，若集合A具有性质P，且元素个数为3.证明：对任意，且，有；
（3）当时，若集合A具有性质P，求A中元素个数的最小值.
【答案】（1）不具有性质具有性质；
（2）证明：由中元素个数为3，设．
假设存在，且，使得．
不妨设．
由性质①，得中恰有一个中恰有一个1．
所以存在，使得，不妨设．
对于任意的，其中，有，且．
由集合具有性质②，故对任意的，有．
所以，与性质①矛盾！
故．
（3）6
【解析】
【小问1详解】
不具有性质具有性质．
由，，得
，
对，
因为，
则符合性质①，
当时，若，此时，
若时，此时，故不符合性质②；
对，因为中的每个元素均含有4个1和1个0，故满足性质①，
当时，此时或使得，
当时，此时使得，
当时，此时或使得，
当时，此时使得，
当时，此时或使得，
当时，此时或或使得，
当时，此时或使得，
当时，此时或使得，
当时，此时使得，
当时，此时或使得，
故满足性质②，
综上不具有性质具有性质．
【小问2详解】
略
【小问3详解】
设集合中元素个数为．
设．由性质①，得中1的个数恰为4．
所以中所有元素的各个分量中，1的总个数恰为．
由性质②，设．
取，则对于任意的，均存在，使得．
因为各个分量中1的个数为4，
所以对任意，均恰好存在互不相等，且不为1的,,使得．
故集合中至少有3个元素满足．
同理，集合中至少有3个向量满足．
故集合中的所有元素的各个分量中，1的个数至少为．
所以，即．
又，
时，具有性质．
故集合中元素个数的最小值为6．