初中数学苏科版（2024）九年级上册（2024）3.3 圆的对称性教学课件ppt

这是一份初中数学苏科版（2024）九年级上册（2024）3.3 圆的对称性教学课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，问题引入，数学活动，新知归纳，圆是轴对称图形，观察思考，垂径定理，③PC＝PD，新知巩固等内容，欢迎下载使用。
理解圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
掌握垂径定理内容，能准确区分条件与结论，规范书写几何推理语言．
会运用垂径定理解决求弦长、半径、弦心距等问题，能结合实际模型分析求解．
什么样的图形叫做轴对称图形？
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做它的对称轴．
圆是轴对称图形吗？若为轴对称图形，它有多少条对称轴？
圆是轴对称图形．经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴．
假如你手里有一张圆形的纸片，在不借助任何测量工具（如直尺、圆规）的情况下，你能否只通过折纸的方式，快速、准确地找到它的圆心？
1．如图，在透明纸上画⊙O和⊙O的直径AB，将⊙O沿直径AB对折， 你发现了什么？
直径两旁的部分完全重合.
2．如图，任意画⊙O的一条弦CD，使CD⊥AB，垂足为P，点C，D 关于AB对称吗？图中还有哪些关于AB对称的点？
点C、D关于直线 AB 对称.圆上任意一组到直线 AB 距离相等且分别在 AB 两侧的点都关于 AB 对称．
过圆心的任意一条直线都是它的对称轴．
注意：直径不是圆的对称轴，直径所在的直线才是圆的对称轴．圆有无数条对称轴．
通过以上活动，我们得到如下结论：
根据圆的轴对称性，你能在图中找到哪些相等关系？
找出的相等关系，你能给出证明吗？
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
① AB是⊙O的直径， ② AB⊥CD于点P
下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明理由．
不是，因为CD没有过圆心
怎样修改图 (2)、(4) 能够满足垂径定理的条件？
(1) (2) (3) (4)
这其实就是《九章算术》中的“圆材埋壁”问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?
例2 如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1，AB＝10． 求直径CD的长．
分析：① 看到垂直于弦的直径，你能联想到什么？② 要求直径CD，可以先求什么？③ 图中有哪些半径？④ 直角三角形三之间边有什么关系？
解：如图，连接OA．设 OA＝r，则 OE＝OC－CE＝r－1．∵ AB⊥CD，AB＝10，∴ AE＝EB＝5（垂径定理）．在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2．∴ r2＝52＋(r－1)2．解这个方程，得 r＝13．∴ CD＝2r＝2×13＝26．
思路总结：见垂直，想定理，得半弦；连半径，构直角，列方程．
如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，OE＝3． 求弦CD的长．
1．垂径定理中的垂径可以是直径、半径或过圆心的直线或线段，其本质是“过圆心”．
2．在圆中，解决与弦有关的问题时，常常需要从圆心作一条与弦垂直的线段，再连接半径构造直角三角形．求弦的长度时，常利用垂径定理和勾股定理来求．
例3 如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于 C，D．求证：AC＝BD．
方法1：连接OA，OB，OC，OD．证明△OAC≌△OBD(或证明△OAD≌△OBC)．
方法2：连接OA，OB，OC，OD．过点O作OE⊥AB于点E，利用等腰三角形的性质证明．
方法3：过点O作OE⊥AB于点E，利用垂径定理可证．
解：如图，过点O作OE⊥AB，垂足为E．∵ OE⊥AB，∴ AE＝BE，CE＝DE (垂径定理)．∴ AE－CE＝BE－DE，即 AC＝BD．
方法总结：同心圆，共弦长，作垂线，分两双；大圆小圆各平分，等量相减得短长．
1．问题引入中，你能在不借助任何测量工具（如直尺、圆规）的情况下，只通过折纸的方式，快速、准确地找到圆形纸片的圆心吗？
3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P在AB上运动． 求OP的取值范围．
在一个给定的圆中能否用直尺和圆规作出下列内接多边形？如果可以，作出相应的图形． (1) 正三角形； (2) 菱形； (3) 梯形．
解： (1) 正三角形可以作出．作法如下： ① 在圆周上任取一点A； ② 以A为圆心、圆半径长为半径画弧， 交⊙O于E、F； ③ 分别以E、F为圆心、圆半径长为 半径画弧，交⊙O于B、C； ④ 顺次连接A、B、C． △ABC即为圆内接正三角形．
解： (2) 菱形：只有正方形这种特殊菱形能内接 于圆，普通菱形不行． 正方形的作法如下： ① 作直径AC； ② 过O点作直径AC的垂线，交⊙O于B、D； ③ 顺次连接A、B、C、D． 四边形ABCD即为圆内接正方形．
解： (3) 梯形：可以作出圆内接等腰梯形． 圆内接等腰梯形的作法如下： ① 画一条弦CD； ② 分别以C、D为圆心，相同的半径为半径 画弧，分别交⊙O于A、B； ③ 连接AC、AB、BD． 四边形ABCD即为圆内接等腰梯形．
1．如图，过⊙O内一点P画弦AB，满足什么条件时，P是AB的中点？ 说明理由．
解：当AB⊥OP时，P是AB的中点． 理由如下： ∵ 直线OP经过圆心O，AB⊥OP， 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦， ∴ P是弦AB的中点．
2．如图，AB、AC为是⊙O的两条弦，且AB⊥AC，AB＝8，AC＝6． 求⊙O的半径．
解：过圆心O作AB、AC的垂线，垂足分别为 D、E，连接OA．
在Rt△OAD中，由勾股定理得，
3．如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的积水，此时水面的宽AB 为 0.6m，积水的最大深度为 0.1m． (1) 求此下水管道横截面的半径；
3．如图是一根圆柱形下水管道的横截面，管内有少量的积水，此时水面的宽AB 为 0.6m，积水的最大深度为 0.1m． (2) 随着积水量的增加，水面又抬升0.7m， 此时水面的宽度增加了多少？
3.3 圆的对称性（2）
圆的对称性：圆是轴对称图形，过圆心直线都是对称轴
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧
核心模型：半径、半弦、弦心距构成直角三角形，勾股定理计算
辅助线技巧：求弦长必作“垂直于弦的半径/圆心垂线”