2026七年级数学下册第十一章三角形的证明及其应用拔尖检测试卷（含答案鲁教版五四制）

这是一份2026七年级数学下册第十一章三角形的证明及其应用拔尖检测试卷（含答案鲁教版五四制），共17页。
第十一章拔尖检测限时：90分钟 满分：120分一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130∘ ，DA⊥AC，则∠ADB=（ ）（第1题）A. 100∘B. 115∘C. 130∘D. 145∘2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A. 若a>0，b>0，则a+b>0B. 直角都相等C. 两直线平行，同位角相等D. 若a=b，则a=b3．如图，∠C=∠D=90∘ ，添加一个条件，可用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（ ）（第3题）A. AC=ADB. ∠ABC=∠BADC. ∠ABC=∠ABDD. ∠BAC=∠BAD4．根据所给条件不能判定是直角三角形的是（ ）A. 三边长为41,4,5B. 三边长之比为7:24:25C. ∠A=2∠B=3∠CD. 三角形一边上的中线等于这一边的一半5．如图，在△ABC中,∠ACB=90∘ ，∠A=30∘ ，CD⊥AB，垂足为D，则BD:AD的值为（ ）（第5题）A. 12B. 25C. 13D. 146．如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，则正方形b 的边长为（ ）（第6题）A. 55B. 16C. 6D. 47．如图，在△ABC 中，AB=AC，以点C 为圆心，CB的长为半径画弧，交AB 于点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM 交AB 于点E.若AD=3，BD=2，则EC 的长度是（ ）（第7题）A. 5B. 6C. 3D. 28．如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=6，△ABC的面积为18，AB的垂直平分线EF 分别交AB，AC于点E，F，若D 为BC 边的中点，M是线段EF 上一动点，则△BDM 周长的最小值为（ ）（第8题）A. 6B. 8C. 9D. 109．如图，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC 的平分线所在的直线相交于点D，连接AD，若∠DAB=30∘ ，则∠BDC 的度数为（ ）（第9题）A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 随点B，C的移动而变化10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，连接DE.则下列结论：①∠APB=135∘ ；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=32S△ABP.其中正确的有（ ）（第10题）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（每题3分，共18分）11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .“两直线平行，内错角相等”的逆命题是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，∠B=30∘ ，AC=3，AD是△ABC的角平分线，点P在AB上，且PD=PB，则PD=_ _ _ _ .（第12题）13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则△ABC的外角∠ACD的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .（第13题）14．如图，在△ABC中，∠B=40∘ ，∠C=50∘ .通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE=_ _ _ _ _ _ .（第14题）15．如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF//AC，且BF=AE，连接CF.若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为_ _ _ _ .（第15题）16．如图，已知∠MON=30∘ ,点A1,A2,A3，⋯ 在射线ON 上，点B1,B2,B3，⋯ 在射线OM 上，△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4，⋯ 均为等边三角形，若OA1=1,则△A6B6A7 的边长为_ _ _ _ .（第16题）三、解答题（共72分）17．（6分）如图，在△PAC中，点D,B分别在边PA,PC上，AB与CD相交于点O，∠ADC=∠ABC，AD=BC.（1） 求证：PA=PC；（2） 连接PO并延长交AC于点E，求证：PE⊥AC.18．（8分）电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM，ON的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB>90∘ ，且AC=BC.（1） 在边BC的延长线上求作点D，使∠CAD=2∠B，并证明；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2） 在（1）的条件下，若∠BDA=60∘ ，求证：△ABD是直角三角形.20．（8分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DB=DC.（1） 求证：BE=CF；（2） 如果BD//AC，∠DAF=15∘ ，求证：AB=2DF.21．（9分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘ ，CM=BM，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CE.已知∠A=50∘ ，∠ACE=30∘ .（1） 求∠ECM的度数.（2） 求证：CE=CM.（3） 若AB=4，求线段FC的长.22．（9分）如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90∘ ,∠B=∠E=30∘ .操作发现：如图②,固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时:（1） 猜想线段DE与AC的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，并加以证明.（2） 设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，并加以证明.23．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠CAB=90∘ ，∠B=30∘ .点P为AB上一动点（不与点A,B重合），连接CP，以CP为边在AC右侧作等边三角形CPQ，O为BC的中点，连接AO，OQ.（1） 求证：AP=OQ；（2） 如图②，连接OP，当∠AOP=∠APO时，求证：直线PO垂直平分线段CQ.24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,2,△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O 重合）,以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.（1） 求点B的坐标.（2） 连接BQ,在点P运动的过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由.（3） 连接OQ，当OQ//AB时，求点P的坐标.第十一章拔尖检测答案限时：90分钟 满分：120分一、选择题（每题3分，共30分）1．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130∘ ，DA⊥AC，则∠ADB=（ ）（第1题）A. 100∘B. 115∘C. 130∘D. 145∘【答案】B2．下列命题的逆命题是真命题的是（ ）A. 若a>0，b>0，则a+b>0B. 直角都相等C. 两直线平行，同位角相等D. 若a=b，则a=b【答案】C3．如图，∠C=∠D=90∘ ，添加一个条件，可用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（ ）（第3题）A. AC=ADB. ∠ABC=∠BADC. ∠ABC=∠ABDD. ∠BAC=∠BAD【答案】A4．根据所给条件不能判定是直角三角形的是（ ）A. 三边长为41,4,5B. 三边长之比为7:24:25C. ∠A=2∠B=3∠CD. 三角形一边上的中线等于这一边的一半【答案】C5．如图，在△ABC中,∠ACB=90∘ ，∠A=30∘ ，CD⊥AB，垂足为D，则BD:AD的值为（ ）（第5题）A. 12B. 25C. 13D. 14【答案】C6．如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若正方形a，c的面积分别为5和11，则正方形b 的边长为（ ）（第6题）A. 55B. 16C. 6D. 4【答案】D7．如图，在△ABC 中，AB=AC，以点C 为圆心，CB的长为半径画弧，交AB 于点D，再分别以点B，D为圆心，大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM 交AB 于点E.若AD=3，BD=2，则EC 的长度是（ ）（第7题）A. 5B. 6C. 3D. 2【答案】C8．如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=6，△ABC的面积为18，AB的垂直平分线EF 分别交AB，AC于点E，F，若D 为BC 边的中点，M是线段EF 上一动点，则△BDM 周长的最小值为（ ）（第8题）A. 6B. 8C. 9D. 10【答案】C9．如图，点B，C是射线AM，AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC 的平分线所在的直线相交于点D，连接AD，若∠DAB=30∘ ，则∠BDC 的度数为（ ）（第9题）A. 40∘B. 50∘C. 60∘D. 随点B，C的移动而变化【答案】C【点拨】过点D作DF⊥BC交CB的延长线于点F，作DH⊥AC交CA的延长线于点H，作DG⊥AB交AB于点G.∵CD平分∠ACB,BE平分∠MBC,∴DF=DH,DF=DG.∴DG=DH.∴AD平分∠BAH.又∵∠DAB=30∘ ,∴∠BAH=60∘ .∴∠BAC=120∘ .设∠BCD=∠DCA=α ,∴∠ABC=60∘−2α.∴∠MBC=120∘+2α .又∵BE平分∠MBC,∴∠CBE=60∘+α.∵∠BDC+∠BCD=∠EBC,∴∠BDC+α=60∘+α.∴∠BDC=60∘ .10．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘ ，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，连接DE.则下列结论：①∠APB=135∘ ；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=32S△ABP.其中正确的有（ ）（第10题）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【点拨】∵ 在△ABC中，∠ACB=90∘ ，∴∠BAC+∠ABC=90∘ .又∵AD，BE分别平分∠BAC，∠ABC，∴∠BAD+∠ABE=12∠BAC+∠ABC=45∘ ，∴∠APB=135∘ ，故①正确.∵PF⊥AD，∠BPD=180∘−∠APB=45∘ ，∴∠FPB=90∘+45∘=135∘ ，∴∠APB=∠FPB.又∵∠ABP=∠FBP，BP=BP，∴△ABP≌△FBPASA.∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确.在△APH和△FPD中，∠APH=∠FPD=90∘ ，∠PAH=∠BAP=∠DFP，PA=PF，∴△APH≌△FPDASA，∴AH=FD.又∵AB=FB，∴AB=FD+BD=AH+BD，故③正确.连接HD，如图，∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，∴S△APB=S△FPB，S△APH=S△FPD，PH=PD.∵∠HPD=90∘ ，∴∠HDP=∠DHP=45∘=∠BPD，∴HD//EP，∴S△EPH=S△EPD.∵S四边形ABDE=S△ABP+S△AEP+S△EPD+S△PBD=S△ABP+S△AEP+S△EPH+S△PBD=S△ABP+S△APH+S△PBD=S△ABP+S△FPD+S△PBD=S△ABP+S△FBP=2S△ABP，故④不正确.∴ 正确的有①②③，共3个.二、填空题（每题3分，共18分）11．用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角，第一步是假设这个三角形中_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .“两直线平行，内错角相等”的逆命题是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .【答案】有两个角是直角； 内错角相等，两直线平行12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘ ，∠B=30∘ ，AC=3，AD是△ABC的角平分线，点P在AB上，且PD=PB，则PD=_ _ _ _ .（第12题）【答案】213．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C是网格线交点，则△ABC的外角∠ACD的度数为_ _ _ _ _ _ _ _ .（第13题）【答案】135∘ 14．如图，在△ABC中，∠B=40∘ ，∠C=50∘ .通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE=_ _ _ _ _ _ .（第14题）【答案】25∘ 15．如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作BF//AC，且BF=AE，连接CF.若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为_ _ _ _ .（第15题）【答案】60【点拨】∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.∵BF//AC，∴∠ACB=∠CBF，∴∠ABC=∠CBF，∴BC平分∠ABF.如图，过点C作CM⊥AB于点M，CN⊥BF于点N，则CM=CN.∵S△ACE=12AE⋅CM,S△CBF=12BF⋅CN，且BF=AE，∴S△CBF=S△ACE，∴S四边形EBFC=S△CBF+S△CBE=S△ACE+S△CBE=S△CBA.∵AC=13，∴AB=AC=13.设AM=x，则BM=13−x，由勾股定理，得CM2=AC2−AM2=BC2−BM2，∴132−x2=102−13−x2，解得x=11913，∴CM=132−119132=12013，∴S△CBA=12AB⋅CM=60，∴ 四边形EBFC的面积为60.16．如图，已知∠MON=30∘ ,点A1,A2,A3，⋯ 在射线ON 上，点B1,B2,B3，⋯ 在射线OM 上，△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4，⋯ 均为等边三角形，若OA1=1,则△A6B6A7 的边长为_ _ _ _ .（第16题）【答案】32【点拨】∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1,∠A1B1A2=∠B1A1A2=∠A1A2B1=60∘ .∴∠OA1B1=120∘ .∵∠MON=30∘ ,∴∠OB1A1=180∘−120∘−30∘=30∘ .∴OA1=A1B1=A2B1=1.又∵∠A1B1A2=60∘ ,∴∠A2B1B2=180∘−60∘−30∘=90∘ .∵△A2B2A3是等边三角形，∴B2A3=A2B2,∠B2A2A3=60∘ .∴∠B1A2B2=60∘ .∴∠B1B2A2=90∘−∠B1A2B2=30∘ .∴B2A3=A2B2=2B1A2=2.同理得出B3A3=2B2A3=4.以此类推，A6B6=32B1A2=32,即△A6B6A7的边长为32.三、解答题（共72分）17．（6分）如图，在△PAC中，点D,B分别在边PA,PC上，AB与CD相交于点O，∠ADC=∠ABC，AD=BC.（1） 求证：PA=PC；（2） 连接PO并延长交AC于点E，求证：PE⊥AC.【答案】（1） 【证明】∵∠AOD=∠COB，∠ADC=∠ABC，AD=BC，∴△AOD≌△COB.∴∠DAO=∠BCO，OA=OC.∴∠OAC=∠OCA.∴∠OAC+∠DAO=∠OCA+∠BCO，即∠PAC=∠PCA.∴PA=PC.（2） ∵PA=PC，AO=CO，PO=PO,∴△APO≌△CPOSSS.∴∠APO=∠CPO.∴PE平分∠APC.∴PE⊥AC.18．（8分）电信部门要修建一座电视信号发射塔，如图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路OM，ON的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【解】如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线与∠MON,∠QON的平分线分别交于点P1，P2，则交点P1，P2即为所求发射塔P应修建的位置.19．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB>90∘ ，且AC=BC.（1） 在边BC的延长线上求作点D，使∠CAD=2∠B，并证明；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2） 在（1）的条件下，若∠BDA=60∘ ，求证：△ABD是直角三角形.【答案】（1） 【解】如图，点D即为所求.证明：∵AC=BC，∴∠B=∠BAC.∴∠ACD=∠B+∠BAC=2∠B.由作图可得DA=DC，∴∠ACD=∠CAD.∴∠CAD=2∠B.（2） 【证明】∵DA=DC，∠BDA=60∘ ，∴△ACD是等边三角形.∴∠CAD=60∘ .又∵∠CAD=2∠B，∴∠B=12∠CAD=30∘ .∴∠B+∠ADB=90∘ .∴△ABD是直角三角形.20．（8分）如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，DB=DC.（1） 求证：BE=CF；（2） 如果BD//AC，∠DAF=15∘ ，求证：AB=2DF.【答案】（1） 【证明】∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DE=DF,∠BED=∠DFC=90∘ .在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD,DE=DF,∴Rt△BDE≌Rt△CDF.∴BE=CF.（2） ∵AD平分∠BAC,∠DAF=15∘ ,∴∠BAC=2∠DAF=30∘ ,∠BAD=∠DAF.∵BD//AC,∴∠DBE=∠BAC=30∘ ,∠DAF=∠BDA.∴∠BAD=∠BDA.∴AB=BD.在Rt△BDE中，∠DBE=30∘ ,∴BD=2DE.∴AB=2DE.∵DE=DF,∴AB=2DF.21．（9分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘ ，CM=BM，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CE.已知∠A=50∘ ，∠ACE=30∘ .（1） 求∠ECM的度数.（2） 求证：CE=CM.（3） 若AB=4，求线段FC的长.【答案】（1） 【解】∵∠ACB=90∘ ，∠A=50∘ ，∠ACE=30∘ ，∴∠B=40∘ ，∠ECB=60∘ .∵CM=BM，∴∠MCB=∠B=40∘ .∴∠ECM=∠ECB−∠MCB=60∘−40∘=20∘ .（2） 【证明】∵∠A=50∘ ，∠ACE=30∘ ，∴∠CEM=∠A+∠ACE=80∘ .∵∠MCB=∠B=40∘ ,∴∠CMA=∠MCB+∠B=80∘ .∴∠CMA=∠CEM.∴CE=CM.（3） 【解】∵∠A=50∘ ，∠CMA=80∘ ，∴∠ACM=180∘−∠A−∠CMA=50∘ .∴∠A=∠ACM.∴AM=CM=BM=CE=12AB=2.在Rt△EFC中，∠EFC=90∘ ，∠ECF=30∘ ，∴EF=12CE=1.∴FC=CE2−EF2=3.22．（9分）如图①,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90∘ ,∠B=∠E=30∘ .操作发现：如图②,固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时:（1） 猜想线段DE与AC的位置关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，并加以证明.（2） 设△BDC的面积为S1,△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，并加以证明.【答案】（1） 【解】DE//AC；证明：由旋转的性质得∠BAC=∠CDE,AC=CD.∵ 在△ABC中，∠ACB=90∘ ,∠B=30∘ ,∴∠CDE=∠BAC=90∘−∠B=90∘−30∘=60∘ .∴△ACD是等边三角形.∴∠ACD=60∘ .∵∠CDE=∠BAC=60∘ ,∴∠ACD=∠CDE.∴DE//AC.（2） S1=S2；证明：由（1）知△ACD是等边三角形，∴AC=AD.∵∠B=30∘ ,∠ACB=90∘ ,∴AD=AC=12AB.∴BD=AD.∴S△BDC=S△ADC.又∵DE//AC,∴S△ADC=S△AEC.∴S△BDC=S△AEC,即S1=S2.23．（10分）如图①，在Rt△ABC中，∠CAB=90∘ ，∠B=30∘ .点P为AB上一动点（不与点A,B重合），连接CP，以CP为边在AC右侧作等边三角形CPQ，O为BC的中点，连接AO，OQ.（1） 求证：AP=OQ；（2） 如图②，连接OP，当∠AOP=∠APO时，求证：直线PO垂直平分线段CQ.【答案】（1） 【证明】∵∠CAB=90∘ ，∠B=30∘ ,O为BC的中点，∴∠ACB=60∘ ,AC=12BC=CO.∵△CPQ是等边三角形，∴∠PCQ=60∘ ,CP=CQ.∴∠ACB=∠PCQ.∴∠ACP=∠BCQ.∴△ACP≌△OCQSAS.∴AP=OQ.（2） ∵∠AOP=∠APO，∴AO=AP.由（1）得∠ACB=60∘ ,AC=CO，∴△ACO是等边三角形.∴AO=OC.∴OC=AP.由（1）得AP=OQ，∴OC=OQ.∵△CPQ是等边三角形，∴PC=PQ.∴ 直线PO垂直平分线段CQ.24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A0,2,△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上的一个动点（不与原点O 重合）,以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ.（1） 求点B的坐标.（2） 连接BQ,在点P运动的过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由.（3） 连接OQ，当OQ//AB时，求点P的坐标.【答案】（1） 【解】如图,过点B作BC⊥x轴于点C.∵A0,2,∴OA=2.∵△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60∘ ,OB=OA=2.∴∠BOC=30∘ .又∵∠OCB=90∘ ,∴BC=12OB=1.∴OC=OB2−BC2=3.∴ 点B的坐标为3,1.（2） ∠ABQ的大小不发生改变.∵△APQ,△AOB均为等边三角形，∴AP=AQ,AO=AB,∠PAQ=∠OAB=60∘ .∴∠PAQ−∠OAQ=∠OAB−∠OAQ,即∠PAO=∠QAB.在△APO与△AQB中，AP=AQ,∠PAO=∠QAB,AO=AB,∴△APO≌△AQBSAS.∴∠ABQ=∠AOP=90∘ .（3） ∵△ABO是等边三角形,∴∠ABO=60∘ .∵AB//OQ,∴∠BOQ=∠ABO=60∘ ，∠BQO=180∘−∠ABQ.由（2）知∠ABQ=90∘ ，∴∠BQO=90∘ .∴∠OBQ=30∘ .由（1）知OB=2,∴OQ=12OB=1.∴BQ=OB2−OQ2=3.由（2）知△APO≌△AQB,∴OP=BQ=3.∴ 点P的坐标为−3,0.