湖北襄阳市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案

这是一份湖北襄阳市2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数z满足z+i⋅z=|2i|，则|z|=（ ）
A．1B．5C．3D．2
2．如图，一个水平放置的直角梯形OABC由斜二测画法得到的直观图是等腰梯形OAB′C′，其中OA′=4，B′C′=2，则原梯形中ABOC的值为（ ）
A．3B．2C．62D．32
3．在△ABC中，D是线段AC的中点，E是BD上的动点，满足AE=mAB+nAC，则m2+n2的最小值为（ ）
A．15B．18C．110D．14
4．襄阳古城墙现存多个墩台（俗称“马面”），是古代城墙向外凸出的防御设施．为进行修缮，工作人员对其中一个墩台进行了详细测量．该墩台的外形近似于一个正四棱台，它的上、下底面边长分别是6米和10米，侧棱长是17米，则该棱台的体积是（ ）立方米
A．196317B．1617C．196D．17
5．如图，某测量员在地面先于D点观测无人机，之后沿直线走到C点；测得两点相距100米，无人机在空中先后经过A点和B点，在C，D两点测得角度数据，∠ADB=∠CDB=30°，∠ACD=60°，∠ACB=45°所有点在同一平面内，则点A与B间的距离是（ ）米
A．50(3+1)B．503C．502D．50
6．某射击运动员进行5次射击训练，每次射击的环数为整数，且可能为1到10环，已知以下四组统计特征，其中可以判断一定没有打出8环的是（ ）
A．平均数为4，中位数为5B．平均数为4，极差为5
C．平均数为5，方差为1.6D．中位数为5，标准差为1.2
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b=2acs(A+B)，则tanB的最大值为（ ）
A．1B．32C．33D．3
8．如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点M，N分别是棱AD，DD1的中点，点P在面ABB1A1内（包含边界）运动，且直线A1P//平面BMN，则三棱锥A−PBC的外接球的表面积的最小值为（ ）
A．4πB．8πC．12πD．83π
二、多选题
9．在复数范围内，对于实系数一元二次方程x2+ax+2=0 (a∈R)的两个根为虚数z1与z2，则下列结论正确的是（ ）
A．z1=z2B．z1z2=|z1||z2|
C．|z1z2|=|z1|2D．若z1=1−i，则a=2
10．已知点A(1,1)，B(5,4)，C(k,2)，则下列结论正确的是（ ）
A．若AB⃗//AC⃗，则k=2
B．|AB+AC|的最小值为4
C．当k=4时，AB在AC上的投影向量的坐标为92,32
D．若AB与AC夹角为锐角，则k>14
11．已知正四面体A−BCD的棱长为2，点E为棱AD上一动点，且AE=λED；点F为面ABC内（包含边界）的动点，下列说法正确的是（ ）
A．若λ=2，EF//平面BCD，则AF最小值为33
B．若λ=1，EF⊥AD，则EF的最小值为2
C．若点P为△BCD的重心，则PF+EF+EP的最小值为83
D．已知平面α上任意一点S满足SA+SCSA−SC=SB+SDSB−SD，则平面α截四面体A−BCD所得的截面面积为1
三、填空题
12．某学校有四个社团，分别为汉服社、话剧社、书法社、摄影社，现按人数之比依次为2:k:3:1，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取一个容量为600的样本，已知话剧社抽取了150人，则摄影社抽取的人数为__________
13．如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，各棱长均相等，点D为AB的中点，则异面直线A1D与BC1所成角的余弦值为________________
14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a=7，2ccsB=(3a−2b)csC，B=2C，点O是△ABC的内心，动点M满足OM=xOA+yOC，其中x,y∈[0,1]，则M的轨迹所覆盖的图形的面积为__________
四、解答题
15．如图，在三棱锥A−BCD中，点M是AD的中点，点P是BM的中点，点Q是AC的中点，且AB=BD=AD=1，AC=BC=2，CD=3．
(1)求四面体A−MPQ的体积；
(2)求直线AQ与平面MPQ所成角的正弦值．
16．学校共有500名学生，他们的成绩在50~100分之间，将其成绩分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90) [90,100]五组，其频数分布表和频率分布直方图如图所示．
(1)求m和a的值；并估计该校学生这次测验的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．
(2)根据频率分布直方图，若学校规定成绩为前25%的学生为“优秀”，试估计优秀分数线．
(3)这次考试中有8名学生的成绩为：x1,x2,x3,⋯,x8．已知这8个成绩的平均数x=89.5，方差s2=21，若再增加两名学生的98和86这2个成绩，求这10个成绩的平均数与标准差．（参考数据：982=9604，862=7396，8×89.52=64082）
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知m=a,a−23bsinC，n=csB−C,csA，且m⊥n，b=4．
(1)求A的值；
(2)若△ABC是锐角三角形，求△ABC面积的取值范围．
18．如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=2，BC=1，AB=3．
(1)若∠BCA=π3，AD// 平面 PBC，证明：AD⊥PB．
(2)若AD=CD=2，AC=2，求二面角A−CP−D的正弦值．
(3)若AD=CD=1，求四棱锥P−ABCD的体积取得最大时AC2的值．
19．三角形是最简单的平面图形，其内部特殊点的性质却非常丰富．若在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且△ABC的面积为23，设P为三角形内部一点．
(1)当△ABC为等边三角形时，AP=13AB+yAC (0