河南郑州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学（四）试题含答案

这是一份河南郑州市2025-2026学年高二下学期期末考试数学（四）试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设limΔx→0f5−Δx−f5Δx=1，则曲线y=fx在点5,f5处的切线的斜率为（ ）
A．−1B．−4C．1D．4
2．有4名高中生在“只有河南戏剧幻城”，“嵩山风景名胜区”，“河南博物院”三个景点中，每人选择一处进行游览，则有不同的选择方法种数为（ ）
A．81B．64C．27D．24
3．若函数fx=lnx−ax2−2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（ ）
A．−∞,12B．−∞,12C．−12,+∞D．−12,+∞
4．已知A、B、C三个班在某次数学测试中分别有3%、6%、5%的人成绩获得优秀，且这三个班的人数之比是9∶6∶5，现从这三个班中任意选取1人，则此人在该次数学测试中成绩获得优秀的概率为（ ）
A．11250B．9200C．39100D．49100
5．若函数fx=lnx+x+ax在0,+∞上的最小值为3，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．x−1x2+x−24的展开式中x2的系数为（ ）
A．−24B．−20C．20D．24
7．某校组织知识竞赛，已知甲同学答对第一题的概率为911.从第二题开始若甲同学前一题答错，则此题答对的概率为14；若前一题答对，则此题答对的概率为13.记甲同学第n题答对的概率为Pn，若Pn≥M恒成立，则M的最大值为（ ）
A．911B．211C．722D．311
8．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“a:b:c=A:B:C”是“△ABC是等边三角形”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．充要条件
二、多选题
9．给出下列说法，其中正确的是（ ）
A．某病8位患者的潜伏期（天)分别为3，3，8，4，2，7，10，18，则它们的第50百分位数为5.5
B．已知数据x1，x2，…的平均数为2，方差为3，那么数据2x1+1，2x2+1，…的平均数和方差分别为5，13
C．在经验回归方程y=0.25x+1.5中，相对于样本点2,1.2的残差为−0.8
D．两点分布中，p=12时，方差最大
10．已知函数fx=ax2−2x+lnx有两个不同的极值点x1，x2，若不等式λ>alnx1+lnx2恒成立，则实数λ的可能取值有（ ）
A．16B．15C．14D．13
11．下列说法正确的有（ ）
A．已知随机变量ξ~N0,σ2，若Pξ>2=0.2，则P−2≤ξ≤2=0.6
B．设样本数据x1、x2、x3…、x10的平均数为x，则函数fx=110k=110x−xk2取得最小值时x=x
C．设A、B为随机事件，且PA、PB∈0,1，若PBA=PB，则A、B相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=4.881>3.841=x0.052，则依据小概率值α=0.05的独立性检验，可以认为“X与Y没有关联”
三、填空题
12．已知随机变量X的分布列为PX=n=ann+1（n=1，2，3，4），其中a为常数，则实数a=________，E2X=__________.
13．有A、B、C、D、E、F、G7人排成一排站队，要求A、C、D三人满足A在C的左边，D在C的右边，同时满足B在E的左边，F在G的左边，那么不同的站队方法种数为__________.
14．若函数fx=−ln2x−ax2−1lnx+ax2有且仅有三个不同的零点，则实数a的取值范围为_________.
四、解答题
15．已知x2+2xn的展开式中第三项与第六项的二项式系数相等.
(1)求n的值，并求展开式中所有项的系数和；
(2)求展开式中所有的整式项（整式项指字母指数为自然数的项）；
(3)将展开式中所有项重新排列，求整式项不相邻的概率.
16．为了了解某地区60岁以上老人患糖尿病的情况，现随机从该地区60岁以上老人中抽取40个人作为样本测出他们的空腹血糖（单位：mml/L）值，假设空腹血糖检测值≥7mml/L可确诊患糖尿病，抽取的40位老人经检测后发现有12人空腹血糖检测值≥7mml/L.
(1)在上述抽取的40位老人中再任意抽取2人，设X为这两人中患糖尿病的人数，求X的分布列和期望.
(2)以频率估计概率，从该地区（60岁以上老人数目很多）任意抽取5名60岁以上老人，求恰有2人患糖尿病的概率.
17．函数fx=ln1+x−x1+x.
(1)求fx的单调区间；
(2)证明：∀n∈N∗，ln2n+1>23+25+⋯+22n+1.
18．某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案A是报废原有生产线，重建一条新的生产线；方案B是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化.该企业管理者对历年产品销售市场行情及回报率进行了调研，编制出如下表格：
(1)以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？
(2)记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品”）的年产量为x（万件），通过核算，实行方案A时新产品的年度总成本y1（万元）与年产量x（万件）之间的函数关系为y1=23x3−8x2+10x+160，实行方案B时新产品的年度总成本y2（万元）与年产量x（万件）之间的函数关系为y2=23x3−3x2+20x+100.已知p=0.2，x≤20.若按（1）的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价t（元）分别为60，60−34x，60−x，且生产的新产品当年都能卖出去.试问：当x取何值时，新产品年利润的期望取得最大值？
19．已知函数fx=ax+1ex−a+1x−1.
(1)当a=1时，求fx的极值；
(2)当x≥0时，fx≤0，求a的取值范围.
市场销售状态
畅销
平销
滞销
市场销售状态概率（0f0=0，即ln1+x>x1+x，∀x>0
观察不等式左侧，令Sn=ln2n+1，
则易知左侧是an=Sn−Sn−1=ln2n+1−ln2n−1=ln2n+12n−1=ln1+22n−1累加后的结果，
在ln1+x>x1+x，∀x>0中，令x=22n−1>0（n∈N∗），
则ln1+22n−1=ln2n+12n−1>22n−11+22n−1=22n+1，
ln31+ln53+⋯+ln2n+12n−1>23+25+⋯+22n+1，
即∀n∈N∗，ln2n+1>23+25+⋯+22n+1.
18．(1)当0