2025-2026学年天津市第一中学高二（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年天津市第一中学高二（下）期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设集合A={x∈Z|3≤x≤6}，B={4，5，7，8}，则A∪B=（ ）
A. {4，5}B. {3，7，8}
C. {3，6，7，8}D. {3，4，5，6，7，8}
2.“m=1”是“f（x）=（m2+2m-2）xm为幂函数”的（ ）
A. 充分必要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知偶函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，且，则f（a），f（b），f（c）的大小关系为（ ）
A. f（c）＞f（a）＞f（b）B. f（b）＞f（c）＞f（a）
C. f（a）＞f（b）＞f（c）D. f（c）＞f（b）＞f（a）
4.若（2x-3）5=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+a3（x-1）3+a4（x-1）4+a5（x-1）5，则a0+a2+a4=（ ）
A. 244B. 1C. -120D. -121
5.已知函数，下列结论不正确的是（ ）
A. f（x）图象关于y轴对称B. f（x）在定义域内只有1个零点
C. f（x）在（1，+∞）为单调增函数D. f（x）的值域为[0，1]
6.现有若干大小、质地完全相同的黑球和白球，已知某袋子中装有3个白球、2个黑球，现从袋中随机依次摸出2个球，若第一次摸出的是白球，则放回袋中；若第一次摸出的是黑球，则把黑球换作白球，放回袋中.记事件A=“第一次摸球摸出黑球”，事件B=“第二次摸球摸出白球”，则P（B|A）=（ ）
A. B. C. D.
7.色差和色度是衡量毛绒玩具质量优劣的重要指标，现抽检一批产品测得数据列于表中.已知该产品的色度y和色差x之间满足线性相关关系，且​，现有一对测量数据为（30，m），若该数据的残差为0.6，则m=（ ）
A. 23.4B. 23.6C. 23.8D. 24.0
8.函数f（x）=x2sinx+2xcsx在区间上的最大值与最小值分别为（ ）
A. ，-2πB. C. 2π，D. 2π，-2π
9.已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A. （-∞，0]B. [-1，0]C. D.
10.对任意正整数n,定义n的双阶乘n!!：当n为偶数时，n!!=n×（n-2）×（n-4）×…×6×4×2；当n为奇数时，n!!=n×（n-2）×（n-4）×…×5×3×1，则下列四个命题中正确的是（ ）
①208!!=2×104!；
②209!!×208!!=209!；
③208!!的个位数字为0；
④209!!的个位数字为5
A. ①④B. ②③C. ①③④D. ②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在的展开式中，x2的系数为 .
12.某班有45名学生，最近一次数学考试成绩X服从正态分布N（95，σ2），若X∈[75，115]的学生人数为18.则P（X＞115）= .
13.已知x0是不等式mx2-2x±3≤0的一个解.若x0＞1，则实数m的取值范围是 .
14.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x+4）=f（x），当0≤x＜2时，设g（x）=f（x-1）+f（x），则g（2030）= .
15.某大学开设了《古今数学思想》、《世界数学通史》、《几何原本》、《什么是数学》四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选三门，大一到大三三个学年必须将四门选修课程修完，则每位同学的不同选修方式有 种.
16.已知函数，若函数F（x）=[f（x）]2-4af（x）+3a2恰有4个零点，则实数a的取值范围为 .
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数.
（1）求f（x）的最值；
（2）求曲线y=f（x）过点的切线方程.
18.(本小题12分)
一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得-200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）若第一次击鼓出现音乐，求该盘游戏获得100分的概率；
（2）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（3）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为多少？
19.(本小题12分)
已知函数f（x）=ex-1-ax.
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=0时，设函数g（x）=f（x）-x2，求证：函数g（x）存在唯一极小值点m,且-3＜g（m）＜-（数据：e1.5≈4.48）
20.(本小题12分)
已知函数f（x）=sinx+ax3-x（a∈R）.
（1）当a=0时，判断在上的单调性，并说明理由；
（2）当x＞0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围；
（3）设g（x）=sinx,在g（x）的图像上有一点列，直线AiAi+1的斜率为ki（i=1，2，…，n-1，n≥2），求证：.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】A
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】60
12.【答案】0.3
13.【答案】
14.【答案】2
15.【答案】78
16.【答案】（]∪{8}
17.【答案】最小值为-2ln2，无最大值
4x+2y-3=0
18.【答案】解：（1）若第一次击鼓出现音乐，则该盘游戏获得100分的概率为：
P=．
（2）X可能的取值为10，20，100，-200，
P（X=10）==，
P（X=20）==，
P（X=100）==，
P（X=-200）==．
∴X的分布列为：
（3）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i=1，2，3），
则P（A1）=P（A2）=P（A3）=P（X=-200）=，
∴玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率为：
P=1-P（A1A2A3）=1-（）3=1-=．
19.【答案】当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（-∞，1+lna）单调递减，在（1+lna，+∞）单调递增
当a=0时，f（x）=ex-1，则g（x）=ex-1-x2，g′（x）=ex-1-2x，
令h（x）=g′（x），则h′（x）=ex-1-2，当x＜1+ln2时h′（x）＜0，h（x）单调递减；当x＞1+ln2时h′（x）＞0，h（x）单调递增．
因为h（1）=-1＜0，h（0）=e-1＞0，故h（x）在（-∞，1+ln2）存在唯一零点x1∈（0，1），
因为当x＜1+ln2时h（x）单调递减，所以x∈（-∞，x1）时h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增；x∈（x1，1+ln2）时h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减，故g（x）在x=x1处取极大值；因为，h（3）=e2-6＞0，故h（x）在（1+ln2，+∞）存在唯一零点，
因为当x＞1+ln2时h（x）单调递增，所以x∈（1+ln2，x2）时h（x）＜0，即g′（x）＜0，g（x）单调递减；x∈（x2，+∞）时h（x）＞0，即g′（x）＞0，g（x）单调递增，故g（x）在x=x2处取极小值．
综上，函数g（x）存在唯一极小值点x2，即m=x2．
因为，所以，g（m）=em-1-m2，
因为m为g（x）的极小值点，所以g′（m）=em-1-2m=0，即em-1=2m，代入得g（m）=2m-m2，
因为g（m）在时单调递减，且，g（3）=-3，
故
20.【答案】解：（1）当a=0时，，
可得，
因为（xcsx-sinx）′=csx-xsinx-csx=-xsinx＜0，
所以函数y=xcsx-sinx在上单调递减，
当x=0时，0cs0-sin0=0，
所以xcsx-sinx＜0，
所以，
则在上单调递减；
（2）若当x＞0时，f（x）＞0恒成立，
当x=0时，sin0+a×03-0=0成立，
可得f′（x）=csx+3ax2-1，
设u（x）=csx+3ax2-1，函数定义域为（0，+∞），
此时u（0）=0，
可得u′（x）=-sinx+6ax,
设v（x）=-sinx+6ax,
此时v（0）=0，
可得v′（x）=csx+6a,
要使当x＞0时，f（x）＞0恒成立恒成立，
需满足v′（x）≥0恒成立，
即6a≥-csx恒成立，
即6a≥1，
解得，
此时v′（x）=csx+6a≥0，
所以v（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以u′（x）=-sinx+6ax＞0，
此时u（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f′（x）=csx+3ax2-1＞0，
即f（x）=sinx+ax3-x在（0，+∞）上单调递增，
综上所述，a的取值范围是；
（3）证明：由（2）知，当x＞0，时，恒成立，
即x＞0时，恒成立，
下证：，
i∈N*时，
=，
由上述分析可知，，
即，
可得，
所以
=
=，

=，即得证． 色差x
21
23
25
27
色度y
15
18
19
20
X
10
20
100
-200
P