2024-2025学年天津市第一中学高二下学期期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年天津市第一中学高二下学期期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本大题共10小题，共30分。
1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)=2xf′π6+sinx，则f′π6=( )
A. 32B. 12C. −12D. − 32
2.设曲线y=lnxx+1在点(1,0)处的切线与直线ax+y+1=0平行，则a=( )
A. −2B. 12C. −12D. 2
3.已知(x−2)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，则a0+a2+a4+a6等于( )
A. 1094B. 1093C. −1093D. −1094
4.如图是y=f(x)的导函数f′(x)的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是( )
A. 当x=3时，f(x)取得极小值
B. f(x)在[−2,1]上是增函数
C. 当x=1时，f(x)取得极大值
D. f(x)在[−1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数
5.若C16m=C162m−2，则C43+C53+⋯+Cm3的值为( )
A. 14B. 84C. 34D. 204
6.已知x∈0,π，函数f(x)=excsx的单调递增区间为( )
A. 0,π2B. 0,3π4C. 0,π4D. 3π4,π
7.把5件不同产品随机摆成一排，则产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻的概率为( )
A. 35B. 310C. 320D. 110
8.已知方程f(x)=lnx+x−ax2有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A. (0,1)B. 1e,1C. −∞,1+ee2D. 0,1+ee2
9.在《哪吒之魔童闹海》中，哪吒成仙三关检测中第一关收服土拨鼠，土拨鼠小队眼神清澈，手拿破碗，穿着破烂，吃着南瓜粥，过着自给自足，与世无争的生活.若在某天清晨，土拨鼠小队长A带领另外5只土拨鼠排队出门巡逻，小队长A只能在排头或结尾；甲土拨鼠是新手，不能离队长超过1只土拨鼠距离；乙丙土拨鼠太吵闹不能相邻，请问这支土拨鼠小队总共有( )种排队巡逻方式．
A. 72B. 48C. 64D. 56
10.若定义在D上的函数f(x)，∀x1,x2,x3∈D，fx1，fx2，fx3可以作为一个三角形的三条边长，则称f(x)是D上的“三角形函数”.已知函数f(x)=xlnx+t是定义在区间1e2,e2上的“三角形函数”，则t的取值范围是( )
A. 2e2+2e,+∞B. 2e2+1e,+∞C. 2e+1e,+∞D. e+1e,+∞
二、填空题：本大题共6小题，共24分。
11.在2x2−x+1x+1x6的展开式中，x2项的系数为 ．
12.过原点的直线与f(x)=lnx+2及g(x)=ex+a的图象都相切，则实数a的值为 ．
13.已知ax3−1 x5的展开式中各项系数的和与二项式系数的和相等，则展开式中含x项的系数为 (用数字作答)
14.已知函数f(x)=13x3+2lnx−mx在定义域上单调递增，则实数m的最大值是 ．
15.某大学开设了“九章算术”，“数学原理”，“算术研究”三门选修课程.甲、乙、丙、丁四位同学进行选课，每人只能等可能地选择一门课程，每门课程至少一个人选择
(1)若甲和乙选择的课程不同，则四人选课的不同方案共有 种.
(2)若定义事件A为丙和丁恰好有一人选择的是“九章算术”，则P(A)= ．
16.设实数m>0，若对任意的x∈[2,+∞)，不等式2e2mx−lnxm≥0恒成立，则实数m的最小值为 ．
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（11分）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB/\!/CD，A1A⊥平面ABCD，AD⊥AB，其中AB=AA1=2，AD=DC=1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点．

(1)求证D1N//平面CB1M；
(2)求平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值；
(3)求点B到平面CB1M的距离．
18.（11分）已知函数f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=−1处取得极值0．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求曲线y=f(x)在[−4,0]上的最大值和最小值；
19.（12分）已知函数f(n,x)=2m+mxn(m>0,x>0).
(1)当m=2时，求f(7,x)的展开式中二项式系数最大的项；
(2)若f(10,x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，且a0=1024，
①求a1+2a2+3a3+⋯+10a10的值；
②求ai(0≤i≤10,i∈N)的最大值．
20.（12分）已知函数f(x)= xlnx．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若∀0 −12.
参考答案
1.D
2.C
3.D
4.D
5.C
6.C
7.B
8.A
9.D
10.A
11.55
12.0
13.15
14.3
15.30；59
16.12e
17.解：(1)

如图，取CB1中点P，连接NP,MP，由N是B1C1的中点得，且NP=12CC1，
由M是DD1的中点得，且D1M=12DD1=12CC1，
，即四边形D1MPN是平行四边形，故，
∵MP⊂平面CB1M，D1N⊄平面CB1M，∴D1N//平面CB1M．
(2)如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则B(2,0,0)，B1(2,0,2)，M(0,1,1)，C(1,1,0)，C1(1,1,2)，
∴CB1=(1,−1,2)，CM=(−1,0,1)，BB1=(0,0,2)．
设平面CB1M的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅CB1=x−y+2z=0m⋅CM=−x+z=0,
令x=1，得y=3,z=1，故m=(1,3,1)，
设平面BB1C1C的法向量为n=x′,y′,z′，则n⋅CB1=x′−y′+2z′=0n⋅BB1=2z′=0,
令x′=1，得y′=1,z′=0，故n=(1,1,0)，
∴csm,n=4 11× 2=2 2211，故平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值为2 2211．
(3)由(2)得，BB1=(0,0,2)，
∴点B到平面CB1M的距离为BB1⋅mm=2 11=2 1111．

18.解：(1)因为f(x)=x3+3ax2+bx+a2，则f′(x)=3x2+6ax+b，
因为函数f(x)在x=−1处取得极值0，则f′(−1)=3−6a+b=0f(−1)=−1+3a−b+a2=0,
解得a=1b=3或a=2b=9,
当a=1，b=3时，则f′(x)=3x2+6x+3=3(x+1)2≥0恒成立，
此时，函数f(x)在(−∞,+∞)上为增函数，不合乎题意；
当a=2，b=9时，f′(x)=3x2+12x+9=3(x+1)(x+3)，
由f′(x)=0可得x=−3或x=−1，列表如下：
此时，函数f(x)=x3+6x2+9x+4在x=−1处取得极小值0，合乎题意．
综上所述，f(x)=x3+6x2+9x+4．
(2)由(1)可知，函数f(x)在区间[−4,−3)上单调递增，在区间(−3,−1)上单调递减，在区间(−1,0]上单调递增，
故当x∈[−4,0]时，函数f(x)的极大值为f(−3)=−27+54−27+4=4，极小值为f(−1)=0，
又因为f(−4)=−64+96−36+4=0，f(0)=0，
故当x∈[−4,0]时，函数f(x)的最大值为4，最小值为0．

19.解：(1)当m=2时，f(7,x)=(1+2x)7的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T4=C73(2x)3=280x3或T5=C74(2x)4=560x4；
(2)①f(10,x)=2m+mx10的通项公式为Tr+1=C10r2m10−r(mx)r=210−r⋅m2r−10⋅C10rxr，且f(10,x)=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，所以a0=210C100m−10=1024，解得m=1，
所以f(10,x)=(2+x)10，f′(10,x)=a1+2a2x+⋯+10a10x9=10(2+x)9，令x=1，得a1+2a2+⋯+10a10=10(1+2)9=10×39
②f(10,x)的通项公式为Tr+1=C10r210−rxr=210−rC10rxr，所以ar=210−rC10r，
设ar=210−rC10r为ai(0≤i≤10)中的最大值，则210−rC10≥211−rC10r−1210−rC10≥29−rC10r+1,
解得，83≤r≤113，r∈N，所以r=3，
所以aimax=a3=27C103=15360．

20.解：(1)依题意，f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1+lnx，
f′(x)>0得x>1e；f′(x)