2025-2026学年天津市第一中学高一（下）期末数学试卷

这是一份2025-2026学年天津市第一中学高一（下）期末数学试卷，共8页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若z（1+i）=1+3i,则在复平面内对应的点的坐标为（ ）
A. （2，-1）B. （2，1）C. （1，-1）D. （1，1）
2.已知直线m,n与平面α，β，γ，则α⊥β的一个充分条件是（ ）
A. m⊥α，m⊥βB. α⊥γ，β⊥γ
C. m⊥β，m⊂αD. α∩β=n,m⊂α，m⊥n
3.上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、追求卓越”的象征意义.已知一个该建筑物模型的底面半径为3cm,侧面积为15πcm2，则该圆锥形模型的内切球的半径为（ ）
A. B. C. 3cmD.
4.已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为2，方差为1，则数据2x1-3，2x2-3，…，2xn-3的平均数和方差分别为（ ）
A. 1，4B. 2，1C. 1，1D. 2，4
5.从装有大小相同的3个红球和2个白球的袋子中，随机摸出2个球，则至少有一个白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，若，则向量在上的投影向量为（ ）
A. B. （1，1）C. D.
7.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E是DD1的中点，则下列选项不正确的是（ ）
A. 直线B1C∥平面A1BD
B. B1C⊥BD1
C. 三棱锥C1-B1CE的体积为
D. 三棱锥C1-B1CE的外接球的表面积为
8.某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A. a的值为0.015
B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75
C. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85
D. 估计总体中成绩落在[80，90）内的学生人数为90
9.一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件M为“第一次向下的数字为3或4”，事件N为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法不正确的是（ ）
A. 事件M与事件N不是互斥事件B. 事件M发生的概率为
C. 事件M与事件N相互独立D. 事件M+N发生的概率为
10.在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两相互垂直，，侧面PAB与底面ABC的夹角为45°，当三棱锥P-ABC的体积最小时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）
A. 10πB. 18πC. 20πD. 40π
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若复数为纯虚数，则实数a= .
12.已知向量，不共线，且，则实数λ= .
13.数据1，2，3，5，5，6，10，9，8，7的60%分位数是 .
14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为______．
15.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a,b,c,若a=1，，∠BAC的平分线交BC于点E，则线段AE的最大值为 .
16.如图，在△ABC中，AB=2，AC=1，E，D分别是直线AB，AC上的点，，且，则cs∠BAC= .若P是线段DE上的一个动点，则的最小值为 .
三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数：
（2）以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数：
（3）若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率.
18.(本小题12分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知，.
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若.
（i）求csB的值；
（ii）求cs（2B-A）的值.
19.(本小题12分)
如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB=AD=CF=1，AE=BC=2.
（1）求证：BF∥平面ADE；
（2）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；
（3）求平面BDE与平面ADE夹角的余弦值.
20.(本小题12分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，且CD=2，AB=1，BC=1，PA=2，AB⊥BC，N为PD的中点.
（Ⅰ）求证：AN∥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-A的余弦值；
（Ⅲ）点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为，求点M到平面PCD的距离.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】-4
12.【答案】
13.【答案】6.5
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】2 71，
18.【答案】解：（Ⅰ）已知，，
由正弦定理可得=，可得=，可得b=asinB，
可得4=a,解得a=6；
（Ⅱ）（i）因为，
由余弦定理可得a2+c2-b2=2accsB，
所以csB=；
（ii）由（i）可得sinB==，
可得sin2B=2sinBcsB=2××=，cs2B=2cs2B-1=2×-1=-，
sinA=，csA=-，
所以cs（2B-A）=cs2BcsA+sin2BsinA=-×（-）+×=．
即cs（2B-A）的值为．
19.【答案】（1）证明：∵CF∥AE，AD∥BC，AD⊂平面ADE，
AE⊂平面ADE，AD∩AE=A，
BC⊂平面BCF，CF⊂平面BCF，BC∩CF=C，
∴平面ADE∥平面BCF，BF⊂平面BCF，∴BF∥平面ADE；
（2）解：依题意，AE⊥AD，AE⊥AB，AB⊥AD，以A为原点建立空间直角坐标系如图：

则A（0，0，0），B（0，1，0），C（-2，1，0），D（-1，0，0），E（0，0，2），F（-2，1，1），
，，
设平面BDE的一个法向量为，
则有，，令x=2，则y=-2，z=-1，，
设CE与平面BDE的夹角为θ，
则有，
∴直线CE与平面BDE所成角的正弦值为．
（3）显然平面ADE的一个法向量为=（0，1，0），
设平面ADE与平面BDE的夹角为α，
则；
∴平面ADE与平面BDE的夹角的余弦值为．
20.【答案】．