2023-2024学年天津一中高二（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年天津一中高二（下）期中数学试卷，共34页。试卷主要包含了下列求导运算正确的是，曲线y＝xex﹣1在点，已知f，函数f，已知，已知函数f，若函数f等内容，欢迎下载使用。
A．(csπ4)′=−sinπ4
B．(exlnx)′=ex(1x−lnx)
C．(lnx)′=1x
D．（3x）′＝3x
2．曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝x+2D．y＝x﹣2
3．已知f（x）＝x2+3xf′（1），则f′（2）＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．已知f（x）＝x3+ax2+3x﹣9在x＝﹣3处取得极值，则a值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．函数f（x）＝x+2csx在区间[−π2，0]上的最小值是（ ）
A．−π2B．2C．π6+3D．π3+1
6．已知（1+x）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ）
A．29B．210C．211D．212
7．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）B．（0，12）C．（0，1）D．（0，+∞）
8．已知函数f（x）=1x−lnx−1，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
9．若函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[18，+∞)D．(18，+∞)
10．已知函数f(x)=ln(1+x)，x＞0kx，x≤0，曲线y＝f（x）与直线y=x2−12+ln2有且仅在一个交点，则实数k的取值范围为（ ）
A．[12，+∞)B．(12，+∞)C．（1，+∞）D．[1，+∞）
二、填空题：（每小题0分，共24分）
11．(3x−y)5展开式中x2y3的系数为 ．（用数字作答）
12．若(x2+1)⋅(x−1)8=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a10(x−2)10，则a1+a2+⋯+a10＝ ．
13．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产．在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为 ．（用数字作答）
14．若函数f（x）＝x3﹣ax2﹣6x+3的单调减区间是（﹣1，2），则实数a＝ ．
15．若函数f（x）＝x﹣lnx﹣2在区间（k，k+1）（k∈N*）上有零点，则实数k＝ ．
16．已知x∈R，设函数f(x)=x2−2ax+2a，x≤1x−alnx，x＞1，若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为 ．
三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数X的分布列和期望；
（2）求小明至少答对一道题的概率．
18．已知函数f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．
19．已知f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2．
（1）若a＝1，求函数y＝g（x）的图象在x＝0处的切线方程；
（2）对一切实数x∈（0，+∞），不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
20．已知函数f(x)=−12x2+ax−lnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有两个极值点x1，x2且x1＜x2．证明：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
2023-2024学年天津一中高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题0分，共30分）
1．下列求导运算正确的是（ ）
A．(csπ4)′=−sinπ4
B．(exlnx)′=ex(1x−lnx)
C．(lnx)′=1x
D．（3x）′＝3x
【考点】简单复合函数的导数．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的导数公式和导数的乘法法则求导判断．
【解答】解：(csπ4)′=(22)′=0；
(exlnx)′=exlnx+exx=ex(lnx+1x)；
(lnx)′=1x；
（3x）′＝3xln3，
只有C正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．
2．曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为（ ）
A．y＝2x+1B．y＝2x﹣1C．y＝x+2D．y＝x﹣2
【考点】利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【答案】B
【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．
【解答】解：y＝xex﹣1的导数为y′＝（1+x）ex﹣1，
可得曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线斜率为2，
曲线y＝xex﹣1在点（1，1）处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），
即为y＝2x﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用直线方程是解题的关键，属于基础题．
3．已知f（x）＝x2+3xf′（1），则f′（2）＝（ ）
A．1B．2C．4D．8
【考点】基本初等函数的导数．
【答案】A
【分析】先求出f′（x）＝2x+3f'（1），令x＝1，求出f′（1 ）后，导函数即可确定，再求f'（2）．
【解答】解：f′（x）＝2x+3f'（1），令x＝1，得f′（1）＝2+3f'（1），f′（1）＝﹣1，
∴f′（x）＝2x﹣3．
∴f'（2）＝1．
故选：A．
【点评】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出f′（1 ） 是关键步骤．
4．已知f（x）＝x3+ax2+3x﹣9在x＝﹣3处取得极值，则a值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【考点】函数在某点取得极值的条件．
【答案】A
【分析】由f（x）＝x3+ax2+3x﹣9，知f′（x）＝3x2+2ax+3，由f（x）＝x3+ax2+3x﹣9在x＝﹣3处取得极值，能求出a．
【解答】解：∵f（x）＝x3+ax2+3x﹣9，
∴f′（x）＝3x2+2ax+3，
∵f（x）＝x3+ax2+3x﹣9在x＝﹣3处取得极值，
∴f′（﹣3）＝27﹣6a+3＝0，
解得a＝5．
故选：A．
【点评】本题考查函数的极值的性质的应用，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用．
5．函数f（x）＝x+2csx在区间[−π2，0]上的最小值是（ ）
A．−π2B．2C．π6+3D．π3+1
【考点】利用导数研究函数的最值．
【答案】A
【分析】求出函数f（x）的导数，确定其单调性，根据单调递增得到最小值在x=−π2取到，进而计算可得答案．
【解答】解：f（x）＝x+2csx，x∈[−π2，0]
则f′（x）＝1﹣2sinx＞0
所以f（x）在[−π2，0]为增函数．故f（x）的最小值为f（−π2）=−π2
故选：A．
【点评】本题考查了利用导数确定单调性求闭区间上的最值问题，属于基础题型．
6．已知（1+x）n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式各项的二项式系数之和为（ ）
A．29B．210C．211D．212
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【答案】B
【分析】根据二项式系数的单调性可得n＝10，即可由二项式系数和公式求解．
【解答】解：（1+x）n的展开式中第6项的二项式系数为Cn5，由于只有Cn5最大，所以n＝10，故二项式系数之和为210．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：二项展开式，赋值法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
7．已知函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0）B．（0，12）C．（0，1）D．（0，+∞）
【考点】利用导数研究函数的极值．
【答案】B
【分析】先求导函数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）＝lnx﹣2ax+1有两个零点，等价于函数y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象．由图可求得实数a的取值范围．
【解答】解：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），
则f′（x）＝lnx﹣ax+x（1x−a）＝lnx﹣2ax+1，
令f′（x）＝lnx﹣2ax+1＝0得lnx＝2ax﹣1，
函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点，
等价于f′（x）＝lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=12时，直线y＝2ax﹣1与y＝lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜12时，
y＝lnx与y＝2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，12）．
另解：函数f（x）＝x（lnx﹣ax），
则f′（x）＝lnx﹣ax+x（1x−a）＝lnx﹣2ax+1，
令f′（x）＝lnx﹣2ax+1＝0得lnx＝2ax﹣1，
可得2a=1+lnxx有两个不同的解，
设g（x）=1+lnxx，则g′（x）=−lnxx2，
当x＞1时，g（x）递减，0＜x＜1时，g（x）递增，
可得g（1）取得极大值1，
作出y＝g（x）的图象，可得0＜2a＜1，
即0＜a＜12，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．
8．已知函数f（x）=1x−lnx−1，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象的变换．
【答案】A
【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．
【解答】解：令g（x）＝x﹣lnx﹣1，则g′(x)=1−1x=x−1x，
由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，
由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，
所以当x＝1时，函数g（x）有最小值，g（x）min＝g（1）＝0，
于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，
因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，
故选：A．
【点评】本题考查函数的单调性与函数的导数的关系，函数的定义域以及函数的图形的判断，考查分析问题解决问题的能力．
9．若函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在[1，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[18，+∞)D．(18，+∞)
【考点】由函数的单调性求解函数或参数（导数法）．
【答案】A
【分析】由题意得f′(x)=2x+ax−1，题意转化为a≥﹣2x2+x在[1，+∞）上恒成立，利用二次函数的性质，即可得出答案．
【解答】解：由题意得f′(x)=2x+ax−1，
∵函数f（x）＝x2+alnx﹣x+1（a∈R）在[1，+∞）上单调递增，
∴f′(x)=2x+ax−1≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣2x2+x在[1，+∞）上恒成立，
又二次函数y＝﹣2x2+x开口向下，对称轴x=14，
则y＝﹣2x2+x在[1，+∞）上单调递减，
当x＝1时，y＝﹣2x2+x取到最大值ymax＝﹣1，
故a的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10．已知函数f(x)=ln(1+x)，x＞0kx，x≤0，曲线y＝f（x）与直线y=x2−12+ln2有且仅在一个交点，则实数k的取值范围为（ ）
A．[12，+∞)B．(12，+∞)C．（1，+∞）D．[1，+∞）
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【答案】A
【分析】利用导数可得直线y=x2−12+ln2为曲线y＝f（x）在x＝1处的切线，问题转化为y＝kx（x≤0）与直线y=x2−12+ln2无交点，由此可得实数k的取值范围．
【解答】解：当x＞0时，f（x）＝ln（1+x），f′（x）=11+x，
则f′（1）=12，又f（1）＝ln2，
∴f（x）＝ln（1+x）在x＝1处的切线方程为y﹣ln2=12（x﹣1），即y=x2−12+ln2，
则曲线y＝f（x）与直线y=x2−12+ln2在x＞0时有一个切点，
要使曲线y＝f（x）与直线y=x2−12+ln2有且仅有一个交点，
则y＝kx（x≤0）与直线y=x2−12+ln2无交点，可得k≥12．
∴实数k的取值范围为[12，+∞）．
故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点与方程根的关系，是中档题．
二、填空题：（每小题0分，共24分）
11．(3x−y)5展开式中x2y3的系数为 ﹣30 ．（用数字作答）
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【答案】﹣30．
【分析】写出展开式的通项，从而计算可得．
【解答】解：二项式(3x−y)5展开式的通项为Tr+1=C5r(3x)5−r(−y)r（0≤r≤5且r∈N），
所以展开式中含x2y3的项为T4=C53(3x)2(−y)3=−30x2y3，
即展开式中x2y3的系数为﹣30．
故答案为：﹣30．
【点评】本题主要考查二项式定理，考查二项展开式的通项与项的系数的求法，属于中档题．
12．若(x2+1)⋅(x−1)8=a0+a1(x−2)+a2(x−2)2+⋯+a10(x−2)10，则a1+a2+⋯+a10＝ 2555 ．
【考点】二项式系数的性质．
【答案】2555．
【分析】分别赋值x＝2，x＝3，即可得解．
【解答】解：令x＝2，可得a0＝（22+1）（2﹣1）8＝5，
令x＝3，可得a0+a1+a2+⋯+a10＝（32+1）（3﹣1）8＝2560，
所以a1+a2+⋯+a10＝2560﹣5＝2555．
故答案为：2555．
【点评】本题主要考查二项式系数的求法，赋值法的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
13．四大名著是中国文学史上的经典作品，是世界宝贵的文化遗产．在学校举行的“文学名著阅读月”活动中，甲、乙、丙、丁、戊五名同学相约去学校图书室借阅四大名著《红楼梦》《三国演义》《水浒传》《西游记》（每种名著至少有5本），若每人只借阅一本名著，则不同的借阅方案种数为 1024 ．（用数字作答）
【考点】分步乘法计数原理．
【答案】1024．
【分析】利用直接计算求解即可．
【解答】解：由题意可知，对于每个人，都有4种借阅的可能，
根据乘法原理共有45＝1024种不同的借阅方案．
故答案为：1024．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
14．若函数f（x）＝x3﹣ax2﹣6x+3的单调减区间是（﹣1，2），则实数a＝ 32 ．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【答案】32．
【分析】由于函数f（x）＝x3﹣ax2﹣6x+3的单调减区间为（﹣1，2），可得f′（x）＝3x2﹣2ax﹣6＜0的解集是（﹣1，2），利用根与系数的关系即可得出．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣2ax﹣6，
∵函数f（x）＝x3﹣ax2﹣6x+3的单调减区间为（﹣1，2），
∴f′（x）＝3x2﹣2ax﹣6＜0的解集是（﹣1，2），
∴﹣1，2是3x2﹣2ax﹣6＝0的两个实数根．
∴﹣1+2=2a3=0，
解得：a=32．
故答案为：32．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、一元二次不等式的解法、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
15．若函数f（x）＝x﹣lnx﹣2在区间（k，k+1）（k∈N*）上有零点，则实数k＝ 3 ．
【考点】利用导数研究函数的最值．
【答案】3．
【分析】求出f（x）的导数，判断f（x）的单调性，利用零点存在性定理判断即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝x﹣lnx﹣2，
∴f′（x）=x−1x，x∈（0，+∞），
当0＜x＜1时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x＞1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
所以f（x）的极小值为f（1）＝﹣1＜0，f（ e﹣2）＝e﹣2﹣lne﹣2﹣2＝e﹣2＞0，
∴f（x）在区间（0，1）上存在一个零点x1，此时k＝0；
又f（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，f（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＝2（1﹣ln2）＞0，
∴f（x）在区间（3，4）上存在一个零点x2，此时k＝3．
综上，又因为k∈N*，故k的值为3．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的零点，属于基础题．
16．已知x∈R，设函数f(x)=x2−2ax+2a，x≤1x−alnx，x＞1，若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为 [0，e] ．
【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．
【答案】[0，e]．
【分析】对函数 f（x） 分成两段进行求解，当 x≤1 时，二次函数的对称轴 x＝a，分成 a≤1 和 a＞1 两种情况讨论；当 x＞1 时，采用参变分离构造函数求最值．
【解答】解：①当 x≤1 时，f（x）＝x2﹣2ax+2a，过定点 （1，1），对称轴为 x＝a，
当 a≤1 时，f(x)min=f(a)=a2−2a2+2a≥0，解得：0≤a≤2，所以 0≤a≤1；
当 a＞1 时，f（x） 在 （﹣∞，1）单调递减，且 f（1）＝1＞0，所以 a＞1；
所以 f（x）≥0 在 x≤1 恒成立，可得 a≥0．
②当 x＞1 时，f（x）＝x﹣alnx≥0 恒成立，即 a≤xlnx 恒成立，令 ℎ(x)=xlnx，则 ℎ′(x)=lnx−1ln2x，
当 h′（x）＞0 时，x＞e，所以 h（x） 在 （e，+∞） 上单调递增，
当 h（x）＜0 时，1＜x＜e，所以 h（x） 在 （1，e）上单调递减，
所以 a≤h（x）min＝e．
综上所述，a的取值范围为[0，e]．
故答案为：[0，e]．
【点评】本题研究二次函数在 x≤1 的最小值时，利用函数恒过定点 （1，1），使讨论的过程更简洁，即只要研究对称轴 a≤1 和 a＞1 两种情况，属于中档题．
三、解答题：（本题共4小题，共46分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，激发干事创业热情．某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答．已知小明只能答对其中的6道，试求：
（1）抽到他能答对题目数X的分布列和期望；
（2）求小明至少答对一道题的概率．
【考点】离散型随机变量的均值（数学期望）；离散型随机变量及其分布列．
【答案】（1）X的分布列如下：
E（X）=95；
（2）2930．
【分析】（1）根据离散型分布列的解题步骤，结合数学期望的定义，可得答案；
（2）根据题意，求出小明答对0道题的概率，可得答案．
【解答】解：（1）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2，3，
则P(X=0)=C43C103=130，P(X=1)=C61C42c103=310，P(X=2)=C62C41C103=12，P(X=3)=C63C103=16，
所以X的分布列如下：
所以E(X)=0×130+1×310+2×12+3×16=310+1+12=1810=95；
（2）设小明至少答对一道题为事件A，
则P(A)=1−P(X=0)=1−130=2930．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18．已知函数f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，x∈R．
（1）求f（x）的单调区间与极值；
（2）求f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和（32，+∞），单调递减区间为（﹣1，32），
极大值为38，极小值为274；
（2）最大值为54，最小值为274．
【分析】（1）由题意，对函数f（x）进行求导，利用导数研究f（x）的单调性，并求出极值即可；
（2）根据（1）结果，比较区间内端点值、极值大小，即可得最值．
【解答】解：（1）已知f（x）＝4x3﹣3x2﹣18x+27，函数定义域为R，
可得f′(x)=12x2−6x−18=12(x+1)(x−32)，
当x＜﹣1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当−1＜x＜32，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞32时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以当x＝﹣1时，函数f（x）取得极大值，极大值f（﹣1）＝38，
当x=32时，函数f（x）取得极小值，极小值f（32）=274；
（2）因为0≤32≤3，且f（0）＝27，f（3）＝54，
易知f(32)＜f(0)＜f(3)，
又函数f（x）在区间[0，3]上连续，
所以函数f（x）在区间[0，3]内的最大值为54，最小值为274．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理和运算能力．
19．已知f（x）＝xlnx，g（x）＝x3+ax2﹣x+2．
（1）若a＝1，求函数y＝g（x）的图象在x＝0处的切线方程；
（2）对一切实数x∈（0，+∞），不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求解函数的最值；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【答案】（1）x+y﹣2＝0；
（2）[﹣2，+∞）．
【分析】（1）当a＝1时，求出g（0）、g′（0）的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；
（2）由参变量分离法可得2a≥2lnx−3x−1x，令ℎ(x)=2lnx−3x−1x，其中x＞0，利用导数求出函数h（x）的最大值，即可得出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，g（x）＝x3+x2﹣x+2，则g′（x）＝3x2+2x﹣1，
所以g（0）＝2，g′（0）＝﹣1，
此时，函数y＝g（x）的图象在x＝0处的切线方程为y﹣2＝﹣x，即x+y﹣2＝0．
（2）解：对一切实数x∈（0，+∞），不等式2f（x）≤g′（x）+2恒成立，即2xlnx≤3x2+2ax+1，
可得2ax≥2xlnx﹣3x2﹣1，即2a≥2lnx−3x−1x，
令ℎ(x)=2lnx−3x−1x，其中x＞0，
则ℎ′(x)=2x−3+1x2=−3x2−2x−1x2=−(3x+1)(x−1)x2，
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
当x＞1时，h′（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，
所以，h（x）max＝h（1）＝﹣4，则2a≥h（x）max＝﹣4，解得a≥﹣2，
即a的取值范围是[﹣2，+∞）．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的最值，考查运算求解能力，属于中档题．
20．已知函数f(x)=−12x2+ax−lnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当函数f（x）有两个极值点x1，x2且x1＜x2．证明：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．
【答案】（1）当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）；
当a＞2时，f（x）的增区间是(a−a2−42，a+a2−42)，减区间是(0，a−a2−42)，(a+a2−42，+∞)．
（2）证明见解析．
【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围判断函数的单调性即可．
（2）根据函数的极值的个数求出a的范围，求出4f（x1）﹣2f（x2）的解析式，根据函数的单调性证明即可．
【解答】（1）解：由f(x)=−12x2+ax−lnx，得f′(x)=−x+a−1x=−x2−ax+1x．
令g（x）＝x2﹣ax+1，则f′(x)=−g(x)x，
①当Δ＝a2﹣4＜0，即﹣2＜a＜2时，g（x）＞0恒成立，则f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
②当Δ＝0，即a＝±2时，g（x）＝x2±2x+1＝（x±1）2≥0，则f′（x）≤0，
∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
③当Δ＝a2﹣4＞0，即a＜﹣2或a＞2．
（i）当a＜﹣2时，g（x）＝x2﹣ax+1是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=a2(a2＜−1)，
则g（x）＞0恒成立，从而f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．
（ii）当a＞2时，g（x）是开口向上且过点（0，1）的抛物线，对称轴方程为x=a2(a2＞1)，
则函数g（x）有两个零点：x1=a−a2−42，x2=a+a2−42（显然x1＜x2），
当x∈（0，x1）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x1，x2）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
综上，当a≤2时，f（x）的减区间是（0，+∞）；
当a＞2时，f（x）的增区间是(a−a2−42，a+a2−42)，减区间是(0，a−a2−42)，(a+a2−42，+∞)．
（2）证明：由（1）知，当a＞2时，f（x）有两个极值点x1，x2，（x1＜x2），
则x1，x2是方程g（x）＝x2﹣ax+1＝0的两个根，
从而ax1=x12+1，ax2=x22+1．由韦达定理，得x1x2＝1，x1+x2＝a．
又a﹣2＞0，∴0＜x1＜1＜x2．
4f（x1）﹣2f（x2）=4(−12x12+ax1−lnx1)−2(−12x22+ax2−lnx2)
=−2x12+4ax1−4lnx1+x22−2ax2+2lnx2
=−2x12+4(x12+1)−4lnx1+x22−2(x22+1)+2lnx2
=2x12−x22+2lnx2x12+2=2x22−x22+3lnx22+2．
令t=x22(t＞1)，ℎ(t)=2t−t+3lnt+2，(t＞1)，
则ℎ′(t)=−2t2−1+3t=−(t−1)(t−2)t2．
当1＜t＜2时，h′（t）＞0；当t＞2时，h′（t）＜0，
则h（t）在（1，2）上是增函数，在（2，+∞）上是减函数，
从而h（t）max＝h（2）＝3ln2+1，于是4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于难题．
考点卡片
1．函数的图象与图象的变换
【知识点的认识】
函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
图象的变换
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位）⇒y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x）y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍）⇒y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称⇒y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称⇒y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称⇒y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边⇒y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
【解题方法点拨】
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
【命题方向】
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
2．函数恒成立问题
【知识点的认识】
函数恒成立问题是指在定义域或某一限定范围内，函数满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．
【解题方法点拨】
﹣分析函数的定义域和形式，找出使函数恒成立的条件．
﹣利用恒成立条件，确定函数的行为．
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量
【命题方向】
题目包括判断函数恒成立条件及应用题，考查学生对函数恒成立问题的理解和应用能力．
关于x的不等式（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是_____．
解：∵（1+m）x2+mx+m＜x2+1，对x∈R恒成立，
∴mx2+mx+m＜1，
∴∀x∈R，m＜1x2+x+1恒成立，
∵x2+x+1＝（x+12）2+34≥34，
∴0＜1x2+x+1≤43，
∴m≤0．
3．分段函数的应用
【知识点的认识】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【解题方法点拨】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件8000100−p元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为8000100−p（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y=8000100−p（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y=80100−p（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得80100−p（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元．…（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）=8000100−p（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵g(p)=8000100−p(11.8−p)=800(10+882100−p)在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【命题方向】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
4．基本初等函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[lgax）]′=1x*（lgae）=1xlna（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′=1x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[f(x)g(x)]′=[f′(x)g(x)−f(x)g′(x)][g(x)2]．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
【命题方向】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acsx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acs（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+csx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=1x−2xln2
C．（2sin2x）′＝2cs2x D．（sinxx）′=xcsx−sinxx2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+csx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，(lnx−2x)′=1x−2xln2成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cs2x≠2cs2x，故C不正确；
对于选项D，(sinxx)′=xcsx−sinxx2成立，故D正确．
故选C．
5．简单复合函数的导数
【知识点的认识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝csx
④（csx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[lgax）]′=1x*（lgae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′=1x．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[f(x)g(x)]′=[f′(x)g(x)−f(x)g′(x)][g(x)2]．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
【命题方向】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acsx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acs（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+csx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=1x−2xln2
C．（2sin2x）′＝2cs2x D．（sinxx）′=xcsx−sinxx2
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+csx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，(lnx−2x)′=1x−2xln2成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cs2x≠2cs2x，故C不正确；
对于选项D，(sinxx)′=xcsx−sinxx2成立，故D正确．
故选C．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+m2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln22×ln33×ln44×⋯×lnnn＜1n(n≥2，n∈N∗)．
解：（Ⅰ）f′(x)=a(1−x)x(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)=−a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x)=x3+(m2+2)x2−2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g′(t)＜0g′(3)＞0(8分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：g′(1)＜0g′(2)＜0g′(3)＞0，∴−373＜m＜−9（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnnn＜n−1n
∴ln22⋅ln33⋅ln44⋅⋅lnnn＜12⋅23⋅34⋅⋅n−1n=1n(n≥2，n∈N∗)
7．由函数的单调性求解函数或参数（导数法）
【知识点的认识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
【命题方向】
导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数g(x)=x3+x2[f′(x)+m2]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln22×ln33×ln44×⋯×lnnn＜1n(n≥2，n∈N∗)．
解：（Ⅰ）f′(x)=a(1−x)x(x＞0)（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）f′(2)=−a2=1得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴g(x)=x3+(m2+2)x2−2x，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴g′(t)＜0g′(3)＞0(8分)
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：g′(1)＜0g′(2)＜0g′(3)＞0，∴−373＜m＜−9（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴0＜lnnn＜n−1n
∴ln22⋅ln33⋅ln44⋅⋅lnnn＜12⋅23⋅34⋅⋅n−1n=1n(n≥2，n∈N∗)
8．利用导数研究函数的极值
【知识点的认识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．函数在某点取得极值的条件
【知识点的认识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候F'（X）＝0是首先考虑的，但是对于F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和极小值：当这个点左边的导函数大于0时，即左边单调递增，右边的导函数小于0时，即右边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点就是极小值，情况相反．
【解题方法点拨】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
【命题方向】
例1：求函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数．
解：∵函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9
∴f'（x）＝15x4﹣15x2
令f'（x）＝0
则x＝﹣1，x＝0或x＝1
又∵当x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；
当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0；
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0
故函数f（x）＝3x5﹣5x3﹣9的极值点的个数有2个．
这个例题中首先判断的是其是否连续，然后在求导函数为0的点有几个，即它的极值点有几个．
例2：已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝3x﹣x3的极大值点的坐标为（b，c），则ad等于 ．
解：已知实数a，b，c，d成等比数列，∴ad＝bc，
∵y′＝3﹣3x2＝0，则x＝±1，
经检验，x＝1是极大值点．极大值为2．
∴b＝1，c＝2
由等比数列的性质可得：ad＝bc＝2．
这个有两个极值点，但要求的是极大值，这个时候我们可以联想到波峰，即在这个点的左边必须要大于0，要是单调递增的，右边必须小于0，既是单调递减的，这样这个点才处于波峰的位置，这个时候就是极大值，这里的验证其实就是做这个工作．
10．利用导数研究函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
11．利用导数求解函数的最值
【知识点的认识】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）=1x在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣极值点：求解f'（x）＝0以找到极值点．
﹣边界条件：结合函数的定义域边界点计算函数值，比较得到最值．
【命题方向】
常见题型包括利用导数求解函数的最值，结合函数的定义域进行分析．
设函数f(x)=1x+2lnx．求f（x）的最小值；
解：因为f(x)=1x+2lnx，
所以f′(x)=−1x2+2x=2x−1x2(x＞0)，
令f'（x）＞0得x＞12；令f'（x）＜0得0＜x＜12．
所以f（x）的单调增区间为(12，+∞)；单调减区间为(0，12)．
所以当x=12时，f（x）得极小值f(12)=2−2ln2；
所以f（x）的最小值为2﹣2ln2．
12．利用导数研究曲线上某点切线方程
【知识点的认识】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【解题方法点拨】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
13．利用导数求解曲线在某点上的切线方程
【知识点的认识】
曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．
【解题方法点拨】
﹣求导：计算函数的导数f'（x）．
﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．
﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．
【命题方向】
常见题型包括求解曲线在特定点的切线方程，分析函数的局部行为．
曲线y=2xx2+1在点（2，45）处的切线方程为_____．
解：由题意得y′=2(x2+1)−2x⋅2x(x2+1)2=2−2x2(x2+1)2，
则曲线在点（2，45）处的切线斜率k＝y'|x＝2=2−825=−625，
故曲线y=2xx2+1在（2，45）处的切线方程为y−45=−625（x﹣2），即6x+25y﹣32＝0．
故答案为：6x+25y﹣32＝0．
14．离散型随机变量及其分布列
【知识点的认识】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
15．离散型随机变量的均值（数学期望）
【知识点的认识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn=1n，Eξ＝（x1+x2+…+xn）×1n，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
16．分步乘法计数原理
【知识点的认识】
1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．
2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；
4．注意：与分类加法计数原理区别
【解题方法点拨】
如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则可使用分步乘法计数原理．
实现步骤：
（1）分步；
（2）对每一步的方法进行计数；
（3）用分步乘法计数原理求积；
【命题方向】
与实际生活相联系，以选择题、填空题的形式出现，并综合排列组合知识成为能力型题目，主要考查学生分析问题和解决问题的能力及分类讨论思想．
例：从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为（ ）
A.432 B.288
分析：本题是一个分步计数原理，先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32，再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33种，根据分步计数原理得到结果．
解答：∵由题意知本题是一个分步计数原理，
第一步先从4个奇数中取2个再从3个偶数中取2个共C42C32=18种，
第二步再把4个数排列，其中是奇数的共A21A33=12种，
∴所求奇数的个数共有18×12＝216种．
故选C．
点评：本题考查分步计数原理，是一个数字问题，数字问题是排列中的一大类问题，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．
17．二项展开式的通项与项的系数
【知识点的认识】
﹣二项式定理是指（a+b）n的展开形式，其展开式的通项为Tk+1=Cnkan−kbk，其中Cnk为二项式系数．
﹣通项公式用于计算展开式中特定项的系数和幂次，特别是在涉及较大指数时，通过通项公式可以直接找到所需项．
【解题方法点拨】
﹣熟练掌握二项式定理的通项公式，并理解通项公式中各项的意义．
﹣在涉及系数计算时，确定通项中k的值，并代入公式计算系数．对于较复杂的问题，可以先确定项数，再代入计算．
﹣在应用中，可能需要对展开式进行逆运算，即通过已知某一项的系数或幂次，反推出通项公式中的参数．
【命题方向】
﹣可能要求考生直接求解二项展开式中某一特定项的系数或幂次，或分析展开式中的通项规律．
﹣命题可能涉及二项式定理在不完全展开中的应用，要求考生逆向推导或分析已知条件．
18．二项式系数与二项式系数的和
【知识点的认识】
﹣二项式系数是二项展开式中各项的系数，其性质包括对称性、递推关系以及系数和的计算．例如：系数和的性质k=0n Cnk=2n．
﹣这些性质在二项式定理的扩展应用中有重要作用，特别是涉及系数和的计算与证明．
【解题方法点拨】
﹣掌握二项式系数的基本性质，并应用这些性质简化计算或证明问题．
﹣在涉及系数和的计算问题中，可以直接应用性质公式，或通过二项展开式的求和进行推导．
﹣对于较复杂的系数和问题，考虑使用递推公式或对称性来简化求解过程．
【命题方向】
﹣可能要求考生计算二项式系数的总和、特定项的系数和，或证明二项式系数的恒等式．
﹣命题可能涉及二项式系数的递推关系、对称性分析，以及在复杂求和问题中的应用．
19．二项式系数的性质
【知识点的认识】
﹣二项式系数具有多种性质，如对称性、递推关系（帕斯卡三角形）以及生成函数．理解这些性质对于复杂二项式展开的求解与证明至关重要．
﹣特别地，二项式系数的对称性Cnk=Cnn−k和递推关系Cnk=Cn−1k−1+Cn−1k是常用的基本工具．
【解题方法点拨】
﹣熟练运用二项式系数的对称性和递推关系，特别是在复杂展开式或求和问题中，这些性质可以简化计算．
﹣在涉及多项式展开或二项式定理应用时，可以通过生成函数或其他工具进一步理解二项式系数的分布规律．
﹣对于证明问题，使用二项式系数的性质来构造证明路径，尤其是递推关系可以有效帮助推导复杂的等式．
【命题方向】
﹣常见命题包括二项式系数性质的直接应用、二项式系数递推关系的推导与证明，或要求考生利用二项式系数的性质解决复杂展开问题．
﹣命题可能涉及二项式系数在其他数学领域中的应用，如在数列、组合问题中的延伸应用．
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题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
A
A
B
B
A
A
A
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
X
0
1
2
3
P
130
310
12
16
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
计算“完成一件事”的方法种数
不同点
分类完成，类类相加
分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事
每步依次完成才算完成这件事情（每步中的每一种方法不能独立完成这件事）
注意点
类类独立，不重不漏
步步相依，步骤完整