2025--2026学年湖北武汉中学高一下学期3月月考数学试题-含解析

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一、单选题
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
3. 在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知函数的图象的一部分如图1，则图2中的函数图象对应的函数是（ ）

A. B. C. D.
5. 已知是两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
6. 已知平面向量，夹角为，且满足，，若当时，取得最小值，则（ ）
A. B. C. D.
7. 中，为中点，为边上靠近的三等分点，交于，交于，若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在平面斜坐标系中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则称有序数对为向量在该斜坐标系下的坐标．已知向量在该斜坐标系下的坐标分别为，，其中，．当时，的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
二、多选题
9. 若向量，，，则（ ）
A. B.
C. D. 在上的投影向量是
10. 已知点为所在平面内一点，则（ ）
A. 若，则
B. 若，且，则为等边三角形
C. 若，，则
D. 若，且，则的面积是面积的
11. 已知为锐角三角形，且，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 的最小值为4
三、填空题
12. 已知向量，.若，的夹角为锐角，则的取值范围为________.
13. 已知和的图像的连续三个交点，，构成，则的面积为________.
14. 双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，已知双曲正弦函数，双曲余弦函数，则在时的零点为______.
四、解答题
15. 已知向量，，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求向量与的夹角的余弦值.
16. 已知函数，．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若为锐角且，满足，求．
17. .如图，在△OAB中，，AD与BC交于点M，设在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设＝p，＝q，求证：＋＝1.
18. 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色。如图1，某摩天轮最高点距离地面高度为120m，直径为110m，设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min.
（1）如图2，建立平面直角坐标系，游客甲在P处坐上摩天轮的座舱，开始转动tmin后距离地面的高度为Hm，求转动一周的过程中，H关于t的函数解析式；
（2）求游客甲在开始转动10min后距离地面的高度；
（3）如图2，若甲、乙两人先后分别坐在两个相邻的座舱里，两人的位置分别用点A，B表示，在运行一周的过程中，求经过tmin后，乙距离地面的高度的函数解析式，并求出两人距离地面高度相等的时刻t(精确到0.1).
（参考公式：)
19. 设是单位圆上不同的两个定点，点为圆心，点是单位圆上的动点，点满足（为锐角）线段交于点（不包括），点在射线上运动且在圆外，过作圆的两条切线．
（1）求的范围
（2）求的最小值，
（3）若，求的最小值.
数学
考试时间：2026.3.8
一、单选题
1. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
思路：根据向量垂直的坐标表示求解.
解答过程：根据题意，，
因为，所以，得.
故选：B
2. 设，，，则有（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：
思路：先化简 ，再比较它们所对应角度的正弦值大小.
解答过程：已知 a=12cs6∘−32sin6∘ ，可得： a=sin30∘cs6∘−cs30∘sin6∘=sin30∘−6∘=sin24∘
根据二倍角的正弦公式，对于 b=2tan13∘1+tan213∘ ，则有： b=sin2×13∘=sin26∘，
由半角公式，对于 c=1−cs50∘2 ，这里 ，则有： c=sin50∘2=sin25∘，
因为正弦函数 在 上单调递增，且 24∘